線性代數(shù)4-3向量組的秩ppt課件

1、，滿滿足足個(gè)個(gè)向向量量中中能能選選出出，如如果果在在設(shè)設(shè)有有向向量量組組rrAA , 21定義定義線線性性無無關(guān)關(guān)；）向向量量組組（rA ,:1 210關(guān)關(guān)，個(gè)個(gè)向向量量的的話話）都都線線性性相相中中有有個(gè)個(gè)向向量量（如如果果中中任任意意）向向量量組組（112 rArA. 的的秩秩稱稱為為向向量量組組數(shù)數(shù)最最大大無無關(guān)關(guān)組組所所含含向向量量個(gè)個(gè)r; 0）（簡簡稱稱的的一一個(gè)個(gè)向向量量組組是是那那末末稱稱向向量量組組AA最大線性無關(guān)向量組最大線性無關(guān)向量組最大最大無關(guān)組無關(guān)組0. 它它的的秩秩為為有有最最大大無無關(guān)關(guān)組組，規(guī)規(guī)定定只只含含零零向向量量的的向向量量組組沒沒. 它它的的行行向向量量組

2、組的的秩秩量量組組的的秩秩，也也等等于于矩矩陣陣的的秩秩等等于于它它的的列列向向證證. 0,)(),( 21 rmDrrARaaaA階子式階子式并設(shè)并設(shè)，設(shè)設(shè)定理定理關(guān)關(guān)；列列線線性性無無知知所所在在的的由由定定理理根根據(jù)據(jù)rDr022 . 4 .11 個(gè)個(gè)列列向向量量都都線線性性相相關(guān)關(guān)中中任任意意階階子子式式均均為為零零，知知中中所所有有又又由由 rArA關(guān)組，關(guān)組，的列向量的一個(gè)最大無的列向量的一個(gè)最大無列是列是所在的所在的因此因此ArDr . r等于等于所以列向量組的秩所以列向量組的秩).(ARA的行向量組的秩也等于的行向量組的秩也等于類似可證類似可證的的秩秩也也記記作作向向量量組組m

3、aaa,21. 最大無關(guān)組最大無關(guān)組行即是行向量組的一個(gè)行即是行向量組的一個(gè)所在的所在的最大無關(guān)組，最大無關(guān)組，列即是列向量組的一個(gè)列即是列向量組的一個(gè)所在的所在的，則，則的一個(gè)最高階非零子式的一個(gè)最高階非零子式是矩陣是矩陣若若rDrDADrrr;1）最大無關(guān)組不唯一）最大無關(guān)組不唯一（),(21maaaR結(jié)論結(jié)論闡明闡明.2關(guān)關(guān)組組是是等等價(jià)價(jià)的的）向向量量組組與與它它的的最最大大無無（是線性無關(guān)的，是線性無關(guān)的，向量組向量組維單位坐標(biāo)向量構(gòu)成的維單位坐標(biāo)向量構(gòu)成的因?yàn)橐驗(yàn)閚eeeEn,: 21解解. 的秩的秩一個(gè)最大無關(guān)組及一個(gè)最大無關(guān)組及的的，求，求作作維向量構(gòu)成的向量組記維向量構(gòu)成的向

4、量組記全體全體nnnRRRn例1例1個(gè)個(gè)向向量量都都線線性性相相關(guān)關(guān)，中中的的任任意意知知的的結(jié)結(jié)論論定定理理又又根根據(jù)據(jù)1 )3( 32 . 4 nRn. nRREnn的秩等于的秩等于的一個(gè)最大無關(guān)組，且的一個(gè)最大無關(guān)組，且是是因此向量組因此向量組 97963422644121121112 A設(shè)設(shè)矩矩陣陣 例例2 2.用用最最大大無無關(guān)關(guān)組組線線性性表表示示屬屬最最大大無無關(guān)關(guān)組組的的列列向向量量無無關(guān)關(guān)組組，并并把把不不的的列列向向量量組組的的一一個(gè)個(gè)最最大大求求矩矩陣陣A行行階階梯梯形形矩矩陣陣施施行行初初等等行行變變換換變變?yōu)闉閷?A解解，知知3)( ARA ， 0000031000

5、0111041211初等行變換初等行變換 .3 個(gè)向量個(gè)向量組含組含故列向量組的最大無關(guān)故列向量組的最大無關(guān)三列，三列，、元在元在而三個(gè)非零行的非零首而三個(gè)非零行的非零首421.,421無無關(guān)關(guān)組組為為列列向向量量組組的的一一個(gè)個(gè)最最大大故故aaa線性無關(guān)線性無關(guān)，故，故知知421421,3),(aaaaaaR ., 42153成成行行最最簡簡形形矩矩陣陣再再變變線線性性表表示示，必必須須將將用用要要把把Aaaaaa ),421aaa（事實(shí)上事實(shí)上 763264111112 000100110111初等行變換初等行變換 00000310003011040101 初等行變換初等行變換A 4215

6、213334,aaaaaaa 即得即得. 的秩的秩的秩不大于向量組的秩不大于向量組量組量組線性表示，則向線性表示，則向能由向量組能由向量組設(shè)向量組設(shè)向量組ABAB., : ,: 1010sraaAAbbBBsr 要要證證的的一一個(gè)個(gè)最最大大無無關(guān)關(guān)組組為為向向量量組組，的的一一個(gè)個(gè)最最大大無無關(guān)關(guān)組組為為設(shè)設(shè)向向量量組組 證證定理定理. 00組組線線性性表表示示組組能能由由表表示示，組組線線性性組組能能由由組組線線性性表表示示，組組能能由由因因AAABBB.00組組線線性性表表示示組組能能由由故故AB使得使得即存在系數(shù)矩陣即存在系數(shù)矩陣),(ijsrkK srsrsrkkkkaabb11111

7、1),(),(），有有非非零零解解（因因簡簡記記為為，則則方方程程組組如如果果rsKRKxxxKsrrsr )( )0( 0 1有有非非零零解解，從從而而方方程程組組0),( 1 Kxaas有非零解，有非零解，即即0),( xbbr. 0srsrB 不能成立，所以不能成立，所以線性無關(guān)矛盾，因此線性無關(guān)矛盾，因此組組這與這與. rsBA和和的的秩秩依依次次為為與與向向量量組組設(shè)設(shè)向向量量組組證證. 等價(jià)的向量組的秩相等等價(jià)的向量組的秩相等推論推論1 1,同時(shí)成立同時(shí)成立與與故故srrs 示，示，表表兩個(gè)向量組能相互線性兩個(gè)向量組能相互線性因兩個(gè)向量組等價(jià)，即因兩個(gè)向量組等價(jià)，即. rs 所以所

8、以).()(),()( BRCRARCRBACnssmnm ，則則設(shè)設(shè)推論推論2 2用其列向量表示為用其列向量表示為和和設(shè)矩陣設(shè)矩陣AC 證證).,(),(11snaaAccC ，而而)(ijbB snsnsnbbbbaacc111111),(),( 由由).()(ARCR 因因此此),()(, TTTTTBRCRABC 由由上上段段證證明明知知因因的的列列向向量量組組線線性性表表示示，的的列列向向量量組組能能由由知知矩矩陣陣AC).()(BRCR 即即思索思索？有有什什么么異異同同與與推推論論定定理理 22, rrB個(gè)向量，則它的秩為個(gè)向量，則它的秩為含含設(shè)向量組設(shè)向量組 證證. 3的的一一

9、個(gè)個(gè)最最大大無無關(guān)關(guān)組組是是向向量量組組則則向向量量組組線線性性表表示示，能能由由向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān)，且且向向量量組組組組的的部部分分組組，若若向向量量是是向向量量組組設(shè)設(shè)向向量量組組推推論論ABBABAB.1條條件件所所規(guī)規(guī)定定的的最最大大無無關(guān)關(guān)組組的的滿滿足足定定義義所所以以向向量量組組B，組的秩組的秩組線性表示，故組線性表示，故組能由組能由因因rABA 個(gè)個(gè)向向量量線線性性相相關(guān)關(guān)，組組中中任任意意從從而而1 rA., 等等價(jià)價(jià)與與向向量量組組秩秩相相等等，證證明明向向量量組組且且它它們們的的線線性性表表示示能能由由向向量量組組設(shè)設(shè)向向量量組組BAAB例例3 3.線性表示線性

10、表示能由向量組能由向量組只要證明向量組只要證明向量組BA,:,:1010rrbbBaaABAr和和的最大無關(guān)組依次為的最大無關(guān)組依次為組組組和組和，并設(shè)，并設(shè)設(shè)兩個(gè)向量組的秩都為設(shè)兩個(gè)向量組的秩都為 使使階階方方陣陣表表示示，即即有有組組線線性性組組能能由由組組線線性性表表示示，故故組組能能由由因因rKrABAB00證一證一rrrKaabb),(),(11 rbbRKRrr ),()( 221，有有推推論論根根據(jù)據(jù)定定理理.),(10rbbRBr 組線性無關(guān)，故組線性無關(guān)，故因因.)()(rKRrKRrr ，因因此此但但,),(),(111 rrrrKbbaaK 可可逆逆，并并有有于于是是矩矩

11、陣陣.00組組線線性性表表示示組組能能由由即即BA. 組組線線性性表表示示組組能能由由從從而而BA,0個(gè)向量個(gè)向量含含組的最大無關(guān)組組的最大無關(guān)組故故組的秩為組的秩為又因又因rBBrB .),(,),(組線性表示組線性表示組總能由組總能由故故組的部分組組的部分組組是組是而而BAABAA 證二證二. rBA 的秩都為的秩都為和和設(shè)向量組設(shè)向量組.),(,組線性表示組線性表示能由能由成的向量組成的向量組組合并而組合并而組和組和故故組線性表示組線性表示組能由組能由因因ABABAAB .),(,),(rBAABA組組的的秩秩也也為為因因此此組組等等價(jià)價(jià)組組與與所所以以 .),(,),(00組組等等價(jià)價(jià)

12、組組與與而而從從組組的的最最大大無無關(guān)關(guān)組組組組也也是是因因此此BBABAB .),(;., 000000的最大無關(guān)組的最大無關(guān)組都是向量組都是向量組與與證法二實(shí)質(zhì)上是證明證法二實(shí)質(zhì)上是證明性表示的系數(shù)矩陣可逆性表示的系數(shù)矩陣可逆線線用用證法一證明證法一證明等價(jià)等價(jià)與與們的最大無關(guān)組們的最大無關(guān)組轉(zhuǎn)換為證明它轉(zhuǎn)換為證明它等價(jià)等價(jià)與與本例把證明兩向量組本例把證明兩向量組BABAABBABA.,),(),( 0組組等等價(jià)價(jià)與與組組推推知知等等價(jià)價(jià)與與組組等等價(jià)價(jià)，組組與與由由BABBABAA留意留意,59354645),( ,13112032),( 2121 bbaa已知已知例4例4.),(),(

13、2121等價(jià)等價(jià)與與證明向量組證明向量組bbaa.),(),( ,),(),( ,2 21212121YbbaaXaabbYX 使使階方陣階方陣要證存在要證存在證明證明.X先求先求 5913351146204532),(2121bbaa最最簡簡形形矩矩陣陣：施施行行初初等等行行變變換換變變?yōu)闉樾行嘘囮噷υ鲈鰪V廣矩矩的的方方法法類類似似于于線線性性方方程程組組求求解解),(, 2121bbaa 5913453246203511 5913351146204532),(2121bbaa31rr 591345324620351131rr 462010155046203511132rr 143rr )

14、2(2 r 46201015502310351113312rrrr 143rr 462010155046203511 0000000023103511)2(2 r 462010155023103511235rr 242rr 0000000023103511235rr 242rr .0000000023101201 21rr 11 r X.,., 01 21211等價(jià)等價(jià)與與此向量組此向量組因因即為所求即為所求取取可逆可逆知知因因bbaaXYXX 0000000023101201),(2121初初等等行行變變換換bbaa 即即得得 2312最大線性無關(guān)向量組的概念：最大線性無關(guān)向量組的概念：最大性、線性無關(guān)性最大性、線性無關(guān)性 矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系：矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系：矩陣的秩矩陣列向量組的秩矩陣的秩矩陣列向量組的秩矩陣行向量組的秩矩陣行向量組的秩 關(guān)于向量組秩的一些結(jié)論：關(guān)于向量組秩的一些結(jié)論：一個(gè)定理、三個(gè)推論一個(gè)定理、三個(gè)推論 求向量組的秩以及最大無關(guān)組的方法：求向量組的秩以及最大無關(guān)組的方法：將向量組中的向量作為列向量構(gòu)成一個(gè)矩將向量組中的向量作為列向量構(gòu)成一個(gè)矩陣，然后進(jìn)行初等行變換陣，然后進(jìn)行初等行變換 比較教材例比較教材例7 7的證法一、二、三，并總的證法一、二、三，并總結(jié)這類題的證法結(jié)這類題的證法證法一根據(jù)向量組等價(jià)的定義