全等三角形全章復(fù)習(xí)與鞏固(提高)知識(shí)講解(共12頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上全等三角形全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 了解全等三角形的概念和性質(zhì)，能夠準(zhǔn)確地辨認(rèn)全等三角形中的對(duì)應(yīng)元素；2探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等進(jìn)行證明，掌握綜合法證明的格式；3會(huì)作角的平分線(xiàn)，了解角的平分線(xiàn)的性質(zhì)，能利用三角形全等證明角的平分線(xiàn)的性質(zhì)， 會(huì)利用角的平分線(xiàn)的性質(zhì)進(jìn)行證明.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】【高清課堂： 全等三角形單元復(fù)習(xí)，知識(shí)要點(diǎn)】一般三角形直角三角形判定邊角邊（SAS）角邊角（ASA）角角邊（AAS）邊邊邊（SSS）兩直角邊對(duì)應(yīng)相等一邊一銳角對(duì)應(yīng)相等斜邊、直角邊定理（HL）性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等（其他對(duì)應(yīng)元素也相等，如對(duì)應(yīng)邊

2、上的高相等）備注判定三角形全等必須有一組對(duì)應(yīng)邊相等要點(diǎn)一、全等三角形的判定與性質(zhì)要點(diǎn)二、全等三角形的證明思路要點(diǎn)三、角平分線(xiàn)的性質(zhì)1.角的平分線(xiàn)的性質(zhì)定理 角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.2.角的平分線(xiàn)的判定定理 角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上.3.三角形的角平分線(xiàn) 三角形角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)，且到三邊的距離相等.4.與角平分線(xiàn)有關(guān)的輔助線(xiàn) 在角兩邊截取相等的線(xiàn)段，構(gòu)造全等三角形； 在角的平分線(xiàn)上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線(xiàn)段.要點(diǎn)四、全等三角形證明方法全等三角形是平面幾何內(nèi)容的基礎(chǔ)，這是因?yàn)槿热切问茄芯刻厥馊切巍⑺倪呅?、相似圖形、圓等圖形性質(zhì)的有力工具，是解決與線(xiàn)段、角相

3、關(guān)問(wèn)題的一個(gè)出發(fā)點(diǎn).運(yùn)用全等三角形，可以證明線(xiàn)段相等、線(xiàn)段的和差倍分關(guān)系、角相等、兩直線(xiàn)位置關(guān)系等常見(jiàn)的幾何問(wèn)題.可以適當(dāng)總結(jié)證明方法.1 證明線(xiàn)段相等的方法： (1) 證明兩條線(xiàn)段所在的兩個(gè)三角形全等.(2) 利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)證明角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.(3) 等式性質(zhì).2 證明角相等的方法：(1) 利用平行線(xiàn)的性質(zhì)進(jìn)行證明.(2) 證明兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形全等.(3) 利用角平分線(xiàn)的判定進(jìn)行證明.(4) 同角（等角）的余角（補(bǔ)角）相等.(5) 對(duì)頂角相等.3 證明兩條線(xiàn)段的位置關(guān)系（平行、垂直）的方法：可通過(guò)證明兩個(gè)三角形全等，得到對(duì)應(yīng)角相等，再利用平行線(xiàn)的判定或垂直定義證明

4、.4 輔助線(xiàn)的添加:(1)作公共邊可構(gòu)造全等三角形；(2)倍長(zhǎng)中線(xiàn)法；(3)作以角平分線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸的翻折變換全等三角形；(4)利用截長(zhǎng)(或補(bǔ)短)法作旋轉(zhuǎn)變換的全等三角形.5. 證明三角形全等的思維方法:（1）直接利用全等三角形判定和證明兩條線(xiàn)段或兩個(gè)角相等，需要我們敏捷、快速地發(fā)現(xiàn)兩條線(xiàn)段和兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形及它們?nèi)鹊臈l件.（2）如果要證明相等的兩條線(xiàn)段或兩個(gè)角所在的三角形全等的條件不充分時(shí)，則應(yīng)根據(jù)圖形的其它性質(zhì)或先證明其他的兩個(gè)三角形全等以補(bǔ)足條件. （3）如果現(xiàn)有圖形中的任何兩個(gè)三角形之間不存在全等關(guān)系，此時(shí)應(yīng)添置輔助線(xiàn)，使之出現(xiàn)全等三角形，通過(guò)構(gòu)造出全等三角形來(lái)研究平面圖形的性質(zhì).

5、【典型例題】類(lèi)型一、巧引輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形(1)倍長(zhǎng)中線(xiàn)法1、已知，如圖，ABC中，D是BC中點(diǎn)，DEDF,試判斷BECF與EF的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【思路點(diǎn)撥】因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，按倍長(zhǎng)中線(xiàn)法，倍長(zhǎng)過(guò)中點(diǎn)的線(xiàn)段DF，使DGDF,證明EDGEDF，F(xiàn)DCGDB，這樣就把BE、CF與EF線(xiàn)段轉(zhuǎn)化到了BEG中，利用兩邊之和大于第三邊可證.【答案與解析】BECFEF；證明：延長(zhǎng)FD到G，使DGDF,連接BG、EGD是BC中點(diǎn)BDCD又DEDF在EDG和EDF中EDGEDF（SAS）EGEF在FDC與GDB中FDCGDB(SAS)CFBGBGBEEGBECFEF【總結(jié)升華】有中點(diǎn)的時(shí)候作輔助線(xiàn)

6、可考慮倍長(zhǎng)中線(xiàn)法（或倍長(zhǎng)過(guò)中點(diǎn)的線(xiàn)段）.舉一反三：【變式】已知：如圖所示，CE、CB分別是ABC與ADC的中線(xiàn)，且ACBABC求證：CD2CE【答案】證明： 延長(zhǎng)CE至F使EFCE，連接BF EC為中線(xiàn)， AEBE在AEC與BEF中， AECBEF（SAS） ACBF，AFBE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相等）又 ACBABC，DBCACBA，F(xiàn)BCABCA ACAB，DBCFBC ABBF又 BC為ADC的中線(xiàn)， ABBD即BFBD在FCB與DCB中， FCBDCB（SAS） CFCD即CD2CE(2)作以角平分線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸的翻折變換構(gòu)造全等三角形2、已知：如圖所示，在ABC中，C2B，12求證：A

7、BACCD【答案與解析】證明：在AB上截取AEAC在AED與ACD中， AEDACD（SAS） EDCD AEDC(全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相等)又 C2B AED2B由圖可知：AEDBEDB， 2BBEDB BEDB BEED即BECD ABAEBEACCD(等量代換)【總結(jié)升華】本題圖形簡(jiǎn)單，結(jié)論復(fù)雜，看似無(wú)從下手，結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn)ABAC故用截長(zhǎng)補(bǔ)短法在AB上截取AEAC這樣AB就變成了AEBE，而AEAC只需證BECD即可從而把ABACCD轉(zhuǎn)化為證兩線(xiàn)段相等的問(wèn)題舉一反三：【變式】如圖，AD是的角平分線(xiàn)，H，G分別在AC，AB上，且HDBD.(1)求證：B與AHD互補(bǔ)；(2)若B2DGA180

8、°，請(qǐng)?zhí)骄烤€(xiàn)段AG與線(xiàn)段AH、HD之間滿(mǎn)足的等量關(guān)系，并加以證明.【答案】證明：（1）在AB上取一點(diǎn)M, 使得AMAH, 連接DM. CADBAD, ADAD, AHDAMD. HDMD, AHDAMD. HDDB, DB MD. DMBB. AMDDMB 180°, AHDB180°. 即 B與AHD互補(bǔ). （2）由（1）AHDAMD, HDMD, AHDB180°. B2DGA 180°, AHD2DGA. AMD2DGM. AMDDGMGDM. 2DGMDGMGDM. DGMGDM. MDMG. HD MG. AG AMMG, AG AH

9、HD. （3）.利用截長(zhǎng)(或補(bǔ)短)法作構(gòu)造全等三角形3、（2015新賓縣模擬）如圖，ABC中，AB=AC，點(diǎn)P是三角形右外一點(diǎn)，且APB=ABC（1）如圖1，若BAC=60°，點(diǎn)P恰巧在ABC的平分線(xiàn)上，PA=2，求PB的長(zhǎng)；（2）如圖2，若BAC=60°，探究PA，PB，PC的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，若BAC=120°，請(qǐng)直接寫(xiě)出PA，PB，PC的數(shù)量關(guān)系【思路點(diǎn)撥】（1）AB=AC，BAC=60°，證得ABC是等邊三角形，APB=ABC，得到APB=60°，又點(diǎn)P恰巧在ABC的平分線(xiàn)上，得到ABP=30°，得到直角三角形，

10、利用直角三角形的性質(zhì)解出結(jié)果（2）在BP上截取PD，使PD=PA，連結(jié)AD，得到ADP是等邊三角形，再通過(guò)三角形全等證得結(jié)論（3）以A為圓心，以AP的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交BP于D，連接AD，過(guò)點(diǎn)A作AFBP交BP于F，得到等腰三角形，然后通過(guò)三角形全等證得結(jié)論【答案與解析】解：（1）AB=AC，BAC=60°，ABC是等邊三角形，APB=ABC，APB=60°，又點(diǎn)P恰巧在ABC的平分線(xiàn)上，ABP=30°，PAB=90°，BP=2AP，AP=2，BP=4；（2）結(jié)論：PA+PC=PB證明：如圖1，在BP上截取PD，使PD=PA，連結(jié)AD，APB=60°

11、;，ADP是等邊三角形，DAP=60°，1=2，PA=PD，在ABD與ACP中，ABDACP，PC=BD，PA+PC=PB；（3）結(jié)論：PA+PC=PB證明：如圖2，以A為圓心，以AP的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交BP于D，連接AD，過(guò)點(diǎn)A作AFBP交BP于F，AP=AD，BAC=120°，ABC=30°，APB=30°，DAP=120°，1=2，在ABD與ACP中，ABDACP，BD=PC，AFPD，PF=AP，PD=AP，PA+PC=PB【總結(jié)升華】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，截長(zhǎng)補(bǔ)

12、短作輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵 舉一反三：【變式】如圖，AD是ABC的角平分線(xiàn)，ABAC,求證：ABACBDDC【答案】證明：在AB上截取AEAC,連結(jié)DEAD是ABC的角平分線(xiàn)，BADCAD在AED與ACD中AEDADC（SAS）DEDC在BED中，BEBDDC即ABAEBDDCABACBDDC（4）.在角的平分線(xiàn)上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線(xiàn)段4、如圖所示，已知E為正方形ABCD的邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，且DAEFAE求證：AFADCF【思路點(diǎn)撥】四邊形ABCD為正方形，則D90°而DAEFAE說(shuō)明AE為FAD的平分線(xiàn)，按常規(guī)過(guò)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)作出到角兩邊的距離，而E到AD的距

13、離已有，只需作E到AF的距離EM即可，由角平分線(xiàn)性質(zhì)可知MEDEAEAERtAME與RtADE全等有ADAM而題中要證AFADCF根據(jù)圖知AFAMMF故只需證MFFC即可從而把證AFADCF轉(zhuǎn)化為證兩條線(xiàn)段相等的問(wèn)題【答案與解析】證明： 作MEAF于M，連接EF 四邊形ABCD為正方形， CDEMA90°又 DAEFAE， AE為FAD的平分線(xiàn)， MEDE在RtAME與RtADE中， RtAMERtADE(HL) ADAM(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)又 E為CD中點(diǎn)， DEEC MEEC在RtEMF與RtECF中， RtEMFRtECF(HL) MFFC(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)由圖可知：

14、AFAMMF， AFADFC(等量代換)【總結(jié)升華】與角平分線(xiàn)有關(guān)的輔助線(xiàn)： 在角兩邊截取相等的線(xiàn)段，構(gòu)造全等三角形；在角的平分線(xiàn)上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線(xiàn)段. 5、如圖所示，在ABC中，AC=BC，ACB=90°，D是AC上一點(diǎn)，且AE垂直BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于E， ，求證：BD是ABC的平分線(xiàn)【答案與解析】證明：延長(zhǎng)AE和BC，交于點(diǎn)F，ACBC，BEAE，ADE=BDC（對(duì)頂角相等），EAD+ADE=CBD+BDC即EAD=CBD在RtACF和RtBCD中所以RtACFRtBCD（ASA）則AF=BD（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）AE=BD，AE=AF，即AE=EF在RtBEA和RtBEF中，

15、則RtBEARtBEF（SAS）所以ABE=FBE（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等），即BD是ABC的平分線(xiàn)【總結(jié)升華】如果由題目已知無(wú)法直接得到三角形全等，不妨試著添加輔助線(xiàn)構(gòu)造出三角形全等的條件，使問(wèn)題得以解決平時(shí)練習(xí)中多積累一些輔助線(xiàn)的添加方法.類(lèi)型二、全等三角形動(dòng)態(tài)型問(wèn)題【高清課堂： 直角三角形全等的判定，鞏固練習(xí)5】6、在ABC中，ACB90°，ACBC，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)C，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作的垂線(xiàn)AE，BF，垂足分別為E，F(xiàn).（1）如圖1當(dāng)直線(xiàn)不與底邊AB相交時(shí)，求證：EFAEBF.（2）將直線(xiàn)繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使與底邊AB相交于點(diǎn)D，請(qǐng)你探究直線(xiàn)在如下位置時(shí)，EF、AE、BF之間的關(guān)

16、系，ADBD；ADBD；ADBD.【答案與解析】證明：（1）AE，BF，AECCFB90°，1290°ACB90°，2390°13。在ACE和CBF中，ACECBF（AAS）AECF，CEBFEFCECF，EFAEBF。（2）EFAEBF，理由如下：AE，BF，AECCFB90°，1290°ACB90°，2390°，13。在ACE和CBF中ACECBF（AAS）AECF，CEBFEFCFCE，EFAEBF。EFAEBFEFBFAE證明同.【總結(jié)升華】解決動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題時(shí)要善于抓住以下幾點(diǎn)：(1) 變化前的結(jié)論及說(shuō)理過(guò)

17、程對(duì)變化后的結(jié)論及說(shuō)理過(guò)程起著至關(guān)重要的作用；(2) 圖形在變化過(guò)程中，哪些關(guān)系發(fā)生了變化，哪些關(guān)系沒(méi)有發(fā)生變化；原來(lái)的線(xiàn)段之間、角之間的位置與數(shù)量關(guān)系是否還存在是解題的關(guān)鍵；(3) 幾種變化圖形之間，證明思路存在內(nèi)在聯(lián)系，都可模仿與借鑒原有的結(jié)論與過(guò)程，其結(jié)論有時(shí)變化，有時(shí)不發(fā)生變化.舉一反三：【變式】（2015臨沂模擬）【問(wèn)題情境】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是線(xiàn)段BG上的動(dòng)點(diǎn)，AEEF，EF交正方形外角DCG的平分線(xiàn)CF于點(diǎn)F【探究展示】（1）如圖1，若點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，證明：BAE+EFC=DCF（2）如圖2，若點(diǎn)E是BC的上的任意一點(diǎn)（B、C除外），BAE+EFC=DCF是否仍然成立？若成立，請(qǐng)予以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由【拓展延伸】（3）如圖3，若點(diǎn)E是BC延長(zhǎng)線(xiàn)（C除外）上的任意一點(diǎn)，求證：AE=EF【答案】（1）證明：取AB的中點(diǎn)M，連結(jié)EM，如圖1：M是AB的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)，在正方形ABCD中，AM=EC，CF是DCG的平分線(xiàn)，BCF=135°，AME=ECF=135°，MAE=CEF=45°，在AME與ECF中，AMEECF（SAS），BAE+EFC=FCG=DCF；（2）證明：取AB上的任意一點(diǎn)使得A