有限元數(shù)值模擬中的網(wǎng)格重劃技術(shù)

1、第六章 有限元數(shù)值模擬中的網(wǎng)格重劃技術(shù) 在用有限元方法模擬形狀復(fù)雜工件的大變形過(guò)程中，隨著計(jì)算過(guò)程中變形量的增加，原始定義的計(jì)算網(wǎng)格會(huì)逐漸畸變。若把已經(jīng)畸變的網(wǎng)格作為求速度增量的參考狀態(tài)，會(huì)導(dǎo)致不精確的解，甚至無(wú)法繼續(xù)進(jìn)行計(jì)算。為了使計(jì)算順利進(jìn)行，最終得到滿(mǎn)意的解，必須嚴(yán)格控制單元的變形程度和單元節(jié)點(diǎn)的疏密布置，防止出現(xiàn)計(jì)算特性不好的單元。因此，在每一個(gè)加載結(jié)束后、下一個(gè)加載開(kāi)始之前，必須進(jìn)行網(wǎng)格畸變的判斷，以便于在網(wǎng)格變形過(guò)程中及時(shí)對(duì)計(jì)算特性不好的網(wǎng)格進(jìn)行重劃。 網(wǎng)格重劃技術(shù)是成功模擬大變形時(shí)必須解決的關(guān)鍵技術(shù)，其核心內(nèi)容是新舊網(wǎng)格之間形狀和信息的準(zhǔn)確傳遞，網(wǎng)格重劃技術(shù)一直是大變形有限元計(jì)算

2、的研究的熱點(diǎn)之一。在研究網(wǎng)格重劃技術(shù)之前，先介紹一下單元質(zhì)量的評(píng)定和網(wǎng)格自適應(yīng)技術(shù)，它們是網(wǎng)格重劃的基礎(chǔ)。6.1單元質(zhì)量的評(píng)定及網(wǎng)格自適應(yīng)技術(shù)理想的網(wǎng)格的單元應(yīng)該是等邊三角形、正方形、等邊四面體和立方體。但是對(duì)于任意的復(fù)雜的幾何形狀結(jié)構(gòu)，試圖用完全的理想的單元去離散和描述是徒勞的。所幸的是，實(shí)際情況的要求并不如此的苛刻。實(shí)際的單元只要與這些理想的單元形態(tài)足夠的接近，就可以獲得能夠接受的分析結(jié)果。 評(píng)定單元幾何形態(tài)質(zhì)量的量化標(biāo)準(zhǔn)如下： 單元邊長(zhǎng)比(Aspect Ratio)：是單元最長(zhǎng)邊與最短邊之比。理想的單元邊長(zhǎng)比是1?？山邮艿膯卧呴L(zhǎng)比的范圍是：AR3對(duì)線(xiàn)性單元，如三節(jié)點(diǎn)三角形、四節(jié)點(diǎn)四邊形

3、、四節(jié)點(diǎn)四面體或八節(jié)點(diǎn)六面體單元。AR10對(duì)二次單元，如六節(jié)點(diǎn)三角形、八節(jié)點(diǎn)四邊形、十節(jié)點(diǎn)四面體或二十節(jié)點(diǎn)六面體。此外，非線(xiàn)性分析對(duì)單元邊長(zhǎng)比的要求比線(xiàn)性分析高。扭曲度（Distorsions）：是單元在單元面內(nèi)的扭轉(zhuǎn)和單元的面翹曲程度的指標(biāo)。對(duì)三角形單元，扭曲度用相鄰?qiáng)A角與之間的差別定義；對(duì)四邊形單元，扭曲度用單元相鄰邊的角度與之間的差別描述。當(dāng)單元面的節(jié)點(diǎn)不共面時(shí)，就發(fā)生面外翹曲。網(wǎng)格疏密的過(guò)渡：網(wǎng)格疏密過(guò)渡時(shí)要求單元和節(jié)點(diǎn)必須匹配，用連續(xù)的網(wǎng)格描述單元之間的連接。方法一：是采用單元邊長(zhǎng)的漸變，方法二：是采用節(jié)點(diǎn)區(qū)域的加密。如圖6.1所示 圖6.1網(wǎng)格疏密過(guò)渡的兩種方法有限元分析的精度和效

4、率不僅與單元的幾何形態(tài)有關(guān)而且和單元的密度之間存在著密切關(guān)系。對(duì)于每一次有限元分析，我們總希望以合理的建模和計(jì)算時(shí)間，獲得最理想的計(jì)算結(jié)果。有限元分析結(jié)果的精度與離散模型的網(wǎng)格劃分是密切相關(guān)的。工程問(wèn)題結(jié)構(gòu)形狀和邊界條件往往十分復(fù)雜，初始建模劃分的網(wǎng)格并不一定保證結(jié)果計(jì)算精度和計(jì)算效率都足夠高。顯然，過(guò)密的網(wǎng)格可能會(huì)造成計(jì)算費(fèi)用的大增，而過(guò)疏的網(wǎng)格又無(wú)法精確描述場(chǎng)變量的空間變化；另外，初始預(yù)定的網(wǎng)格劃分很難適應(yīng)在不同時(shí)間點(diǎn)上變量的空間分布變化。根據(jù)誤差識(shí)別，能夠自動(dòng)調(diào)整網(wǎng)格疏密的網(wǎng)格自適應(yīng)技術(shù)，成為以合理費(fèi)用，提高復(fù)雜問(wèn)題計(jì)算效率，改進(jìn)結(jié)果精度的有效措施。自適應(yīng)網(wǎng)格技術(shù)是以某種誤差判據(jù)為依據(jù)的

5、。一旦誤差準(zhǔn)則在指定的單元中被違背，這些單元會(huì)按指定的單元細(xì)化級(jí)別在指定的載荷增量步內(nèi)被細(xì)化。常用的誤差準(zhǔn)則有：平均應(yīng)變能準(zhǔn)則。當(dāng)單元應(yīng)變能大于系統(tǒng)平均應(yīng)變能的指定倍數(shù)時(shí)細(xì)化。Zienkiewicz_Zhu應(yīng)力誤差準(zhǔn)則。定義計(jì)算應(yīng)力與磨平應(yīng)力的誤差為準(zhǔn)則。Zienkiewicz_Zhu應(yīng)變能誤差準(zhǔn)則。定義計(jì)算應(yīng)變能與磨平應(yīng)變能之差為判斷準(zhǔn)則。在一給定區(qū)域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)誤差準(zhǔn)則。落入所劃區(qū)域那些節(jié)點(diǎn)所在的單元細(xì)化。網(wǎng)格自適應(yīng)技術(shù)是有限元分析中一種難度較大的技術(shù)，就目前而言，網(wǎng)格自適應(yīng)技術(shù)還不夠完善，但由于其在有限元分析中的重要地位，許多研究者都在積極探索這一領(lǐng)域。目前，國(guó)外的一些有限元軟件，如美國(guó)的M

6、SC公司Marc提供了這種技術(shù)。6.2塑性加工有限元法中的網(wǎng)格重劃技術(shù)由于變形體形狀的復(fù)雜性，在塑性加工中采用的單元多是等參數(shù)單元，隨著塑性加工過(guò)程的進(jìn)行，初始定義的網(wǎng)格將會(huì)發(fā)生畸變，嚴(yán)重時(shí)會(huì)發(fā)生重疊，和模具發(fā)生穿透干涉，使得計(jì)算無(wú)法準(zhǔn)確地進(jìn)行下去，因此，當(dāng)計(jì)算網(wǎng)格畸變到某種程度時(shí)必須停止計(jì)算，實(shí)施網(wǎng)格重劃。通常確定網(wǎng)格是否要進(jìn)行重劃的準(zhǔn)則主要有以下幾種。1.干涉準(zhǔn)則 假設(shè)一個(gè)單元的一邊穿進(jìn)了模具，當(dāng)干涉量大時(shí)就會(huì)導(dǎo)致較差的計(jì)算結(jié)果，這時(shí)需要進(jìn)行網(wǎng)格重劃。如圖6.2，設(shè)P是單元與模具發(fā)生干涉一邊的中點(diǎn)，Q是對(duì)邊中點(diǎn)，是P點(diǎn)在PQ方向上模具表面的距離即為線(xiàn)段PO的長(zhǎng)度。是PQ之間的距離。那么該標(biāo)

7、準(zhǔn)可表示為 （7.1）其中是用戶(hù)確定的干涉標(biāo)準(zhǔn)常數(shù)，一般取值在0.010.1之間，當(dāng)比值大于該指定常數(shù)時(shí)就必須進(jìn)行網(wǎng)格重劃。這種方法也可以適用于平面三角形單元、空間四面體、六面體單元。 Die P OQ圖6.2干涉準(zhǔn)則2.畸變角準(zhǔn)則 如果采用的是等參數(shù)單元，為了保證母單元計(jì)算結(jié)果映射到整體坐標(biāo)系下的單元保持一一對(duì)應(yīng)，必須滿(mǎn)足 式中為坐標(biāo)變換的雅可比(Jacobian)矩陣在四節(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元中，假設(shè)為四邊形的任意內(nèi)角，則上式等價(jià)于 即四邊形單元必須保證外凸性，才能使得相應(yīng)的變換維持有效性。在實(shí)際的計(jì)算中，由于內(nèi)角接近于或時(shí)計(jì)算的精度都很低，應(yīng)縮小內(nèi)角的取值范圍，通常取對(duì)于其他種類(lèi)的四邊形單

8、元，理想的內(nèi)角值為，允許的偏差常采用的值為。對(duì)于三角形單元或四面體單元，理想的角度為，允許的內(nèi)角偏差為。3.增量步準(zhǔn)則 按指定的增量步間隔進(jìn)行網(wǎng)格重劃分。這種準(zhǔn)則帶有一定的盲目性。在實(shí)際的運(yùn)用中，上述的幾種準(zhǔn)則可以單獨(dú)使用，也可以將其組合后使用。6.3新網(wǎng)格的生成 在舊網(wǎng)格系統(tǒng)上生成新網(wǎng)格是網(wǎng)格重劃技術(shù)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。新網(wǎng)格的生成從總體上可分為整體重劃和局部重劃兩種。這兩種方法各有利弊：整體重劃通過(guò)網(wǎng)格的自適應(yīng)技術(shù)有利于實(shí)現(xiàn)整個(gè)分析過(guò)程的自動(dòng)化，使得整個(gè)分析過(guò)程在不停機(jī)的情況下自動(dòng)完成，但在新舊網(wǎng)格之間的場(chǎng)量數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)換將要花費(fèi)大量的計(jì)算時(shí)間。局部重劃只是針對(duì)在變形過(guò)程中網(wǎng)格畸變較大的局部區(qū)域，對(duì)網(wǎng)

9、格質(zhì)量較好的區(qū)域不予處理，這樣在數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)換的工作量上是經(jīng)濟(jì)的。但是，采用局部重劃一般是采用計(jì)算機(jī)交互式繪圖功能，通過(guò)人機(jī)對(duì)話(huà)在屏幕上顯示，進(jìn)行修改網(wǎng)格和產(chǎn)生新網(wǎng)格。不難看出這種方法往往需要在分析過(guò)程中停機(jī)的情況下才能實(shí)現(xiàn)，難以實(shí)現(xiàn)分析過(guò)程的全自動(dòng)化。但是，無(wú)論采用哪種網(wǎng)格系統(tǒng)的生成方法都應(yīng)使得新網(wǎng)格系統(tǒng)滿(mǎn)足：（1） 變形體的邊界不變，以真實(shí)地反映變形過(guò)程。（2） 網(wǎng)格系統(tǒng)下的單元形狀良好。（3） 盡量使半帶寬小，以減小計(jì)算工作量。6.4新舊網(wǎng)格系統(tǒng)的場(chǎng)量數(shù)據(jù)傳遞 重新劃分網(wǎng)格后，為了保證分析的連續(xù)性和準(zhǔn)確性，必須將舊網(wǎng)格的場(chǎng)量數(shù)據(jù)傳遞到新網(wǎng)格上。信息的傳遞是網(wǎng)格重劃的核心。需要傳遞的場(chǎng)量信息有

10、：節(jié)點(diǎn)速度場(chǎng)、變形歷史積累的場(chǎng)變量，如：等效應(yīng)力、等效應(yīng)變、等效應(yīng)變速率等。數(shù)據(jù)信息傳遞必須準(zhǔn)確、可靠，否則會(huì)使后續(xù)的分析計(jì)算失去意義，整個(gè)分析失敗。常見(jiàn)的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換的方法有：.數(shù)據(jù)網(wǎng)格法在已經(jīng)變形的變形體上覆蓋一標(biāo)準(zhǔn)網(wǎng)格，作為數(shù)據(jù)傳遞的中間網(wǎng)格，把舊網(wǎng)格上的場(chǎng)量插值到中間網(wǎng)格上，然后再把中間網(wǎng)格上的信息插值到新網(wǎng)格上。不難看出如采用該種方法，場(chǎng)量數(shù)據(jù)從舊網(wǎng)格到新網(wǎng)格將需要經(jīng)過(guò)多次轉(zhuǎn)換，計(jì)算量大。該方法是把舊網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)值直接轉(zhuǎn)換到新網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上，最后產(chǎn)生新網(wǎng)格的場(chǎng)變量值。對(duì)于二維問(wèn)題，最常用的是面積加權(quán)平均法，即按相鄰單元面積大小進(jìn)行面積加權(quán)平均，對(duì)于新網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)，可根據(jù)它在舊網(wǎng)格中包圍它的單元面積即

11、場(chǎng)量進(jìn)行加權(quán)平均，即 （7.2）式中為就網(wǎng)格中包圍新節(jié)點(diǎn)的面積，為舊網(wǎng)格單元的場(chǎng)變量值，為新網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)場(chǎng)量值。在變形體上設(shè)置跟蹤點(diǎn)，一般取網(wǎng)格初始節(jié)點(diǎn)作為跟蹤點(diǎn)，隨著變形過(guò)程的進(jìn)行跟蹤點(diǎn)也隨著變形體變形，當(dāng)網(wǎng)格畸變至需要重劃時(shí)，跟蹤點(diǎn)仍存在于新網(wǎng)格中，新網(wǎng)格場(chǎng)變量認(rèn)為是新網(wǎng)格單元所包含的跟蹤點(diǎn)之場(chǎng)變量的平均值，而跟蹤點(diǎn)的場(chǎng)變量值是通過(guò)每次變形的場(chǎng)變量之增量的積累求得。 上述的幾種方法，各有其自身的優(yōu)缺點(diǎn)，本文在綜合一些方法的基礎(chǔ)上總結(jié)出一種從處理上較為簡(jiǎn)單且適用范圍廣的方法。 有限元解題的核心思想是將研究對(duì)象離散化。利用有限單元法離散化特征，可以將畸變后的單元進(jìn)一步細(xì)化，進(jìn)行分片插值，具體的方法

12、如下： 首先，將舊網(wǎng)格單元的積分點(diǎn)的有關(guān)場(chǎng)量外推至舊網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)，獲得單元節(jié)點(diǎn)的場(chǎng)量。然后對(duì)舊網(wǎng)格的單元進(jìn)行三角形的細(xì)化處理。也就是說(shuō)將每一個(gè)二維的四邊形或三角形單元都被劃成更小的三角形單元；每一個(gè)三維的四面體、五面體或六面體單元都被離散成更小的四面體單元。用經(jīng)細(xì)化的舊網(wǎng)格的三角形角點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)描述新網(wǎng)格上任一節(jié)點(diǎn)的空間位置。通過(guò)插值，不難獲得新網(wǎng)格單元節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)場(chǎng)量和單元積分點(diǎn)的狀態(tài)變量。以平面四節(jié)點(diǎn)四邊形等參元為例，說(shuō)明這種方法的實(shí)現(xiàn)步驟。1.在舊網(wǎng)格系統(tǒng)中插值出四節(jié)點(diǎn)四邊形等參元形心的整體坐標(biāo)及其各種場(chǎng)變量不失一般性，以等效應(yīng)變的分布為例，對(duì)于四節(jié)點(diǎn)等參元有 （7.3）式中為四節(jié)點(diǎn)等參元形心處場(chǎng)

13、量值，為四節(jié)點(diǎn)等參元高斯點(diǎn)處場(chǎng)量值。2.將舊網(wǎng)格積分點(diǎn)（高斯點(diǎn)）上的場(chǎng)量值外推至單元節(jié)點(diǎn)幾乎在所有已知的插值方法中，面積加權(quán)平均法最為簡(jiǎn)潔、方便，并對(duì)于四節(jié)點(diǎn)四邊形等參元而言，由于采用雙線(xiàn)性插值函數(shù)，故可用單元形心處的場(chǎng)量值來(lái)表示整體單元的場(chǎng)量。如圖6.3所示，節(jié)點(diǎn)P由相關(guān)的單元包圍,相關(guān)的單元可以這樣確定：在全域內(nèi)對(duì)所有單元的節(jié)點(diǎn)號(hào)進(jìn)行搜索，如某單元中有節(jié)點(diǎn)則該單元為相關(guān)單元。一般來(lái)說(shuō)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)有四個(gè)相關(guān)單元，而邊界處相對(duì)較少，從中也可看出這種方法在變形體內(nèi)部的精度較邊界上高一些。假設(shè)所有相關(guān)單元的場(chǎng)量已知，節(jié)點(diǎn)點(diǎn)場(chǎng)量待求，則圖6.3 面積加權(quán)平均法求舊網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上場(chǎng)量 （7.4）式中為待求節(jié)點(diǎn)

14、的處的等效應(yīng)變值，為節(jié)點(diǎn)的第個(gè)相關(guān)單元的已知等效應(yīng)變值，為節(jié)點(diǎn)相關(guān)單元的總個(gè)數(shù)，為節(jié)點(diǎn)的第個(gè)相關(guān)節(jié)點(diǎn)對(duì)節(jié)點(diǎn)的面積貢獻(xiàn)，且定義如下 （7.5）式中為局部坐標(biāo)系下節(jié)點(diǎn)處的形函數(shù)值。3.判斷新網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)處于舊網(wǎng)格中哪個(gè)三角形單元中在舊網(wǎng)格上，將每個(gè)四節(jié)點(diǎn)等參元繞中心劃分為四個(gè)三角形單元，如圖6.4所示。 圖6.4 四邊形單元繞形心分成三角形單元對(duì)于三角形單元，二維平面中任意點(diǎn)在三角形三個(gè)定點(diǎn)的形函數(shù)的和為1，如圖6.5所示即 （7.6）式中 分別為點(diǎn)在三角形三個(gè)頂點(diǎn)的形函數(shù)值。 圖6.5 判斷新網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)是否在三角形中若點(diǎn)位于三角形內(nèi)部，則這三個(gè)形狀函數(shù)的值均介于0,1之間；否則形狀函數(shù)的值或大于1，或小于0。根據(jù)點(diǎn)于中形狀函數(shù)的特點(diǎn)，可以將 （7.7）作為判斷一點(diǎn)是否在三角形中的判據(jù)。 當(dāng)節(jié)點(diǎn)確定的三角形三個(gè)頂點(diǎn)的形函數(shù)值均介于0,1之間時(shí)，則節(jié)點(diǎn)在三角形中或在三角形的邊上。在實(shí)施過(guò)程中為了減少程序中采用過(guò)多的判斷語(yǔ)句，將判據(jù)等價(jià)為 （7.8）在編程判斷時(shí)，由于計(jì)算機(jī)浮點(diǎn)計(jì)算，它的0值并非精確的0值，而可能是一個(gè)絕對(duì)值非常接近于0的正負(fù)數(shù)，如。因而判斷節(jié)點(diǎn)是否處在三