數(shù)學(xué)與物理的結(jié)合圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)

1、選校網(wǎng) 高考頻道 專業(yè)大全 歷年分?jǐn)?shù)線 上萬張大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的證明及應(yīng)用初探 源于課本一份閱讀材料的探究反思內(nèi)蒙古巴彥淖爾市奮斗中學(xué)：王玨 指導(dǎo)教師：張紅學(xué)習(xí)完圓錐曲線的方程和性質(zhì)后，課本上有一則閱讀材料引起了同學(xué)們的興趣，在老師的指導(dǎo)下，我們不僅了解了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)這一常見現(xiàn)象，而且進(jìn)一步對它進(jìn)行了證明和探究，并對它在 數(shù)學(xué)解題和生產(chǎn)科技等方面的應(yīng)用有了一定的認(rèn)識。課后我經(jīng)過反思與整理，寫成此文。一、 圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)11橢圓的光學(xué)性質(zhì)： 從橢圓一個焦點發(fā)出的光，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個焦點上； (見圖1.1)橢圓的這種光學(xué)特性，常被用來

2、設(shè)計一些照明設(shè)備或聚熱裝置例如在F1處放置一個熱源，那么紅外線也能聚焦于F2處，對F2處的物體加熱12雙曲線的光學(xué)性質(zhì) ：從雙曲線一個焦點發(fā)出的光，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上；(見圖1.2)雙曲線這種反向虛聚焦性質(zhì)，在天文望遠(yuǎn)鏡的設(shè)計等方面，也能找到實際應(yīng)用13 拋物線的光學(xué)性質(zhì) ： 從拋物線的焦點發(fā)出的光，經(jīng)過拋物線反射后，反射光線都平行于拋物線的軸（如圖1.3） 拋物線這種聚焦特性，成為聚能裝置或定向發(fā)射裝置的最佳選擇例如探照燈、汽車大燈等反射鏡面的縱剖線是拋物線，把光源置于它的焦點處，經(jīng)鏡面反射后能成為平行光束，使照射距離加大，并可通過轉(zhuǎn)動拋物線的

3、對稱軸方向，控制照射方向衛(wèi)星通訊像碗一樣接收或發(fā)射天線，一般也是以拋物線繞對稱軸旋轉(zhuǎn)得到的，把接收器置于其焦點，拋物線的對稱軸跟蹤對準(zhǔn)衛(wèi)星，這樣可以把衛(wèi)星發(fā)射的微弱電磁波訊號射線，最大限度地集中到接收器上，保證接收效果；反之，把發(fā)射裝置安裝在焦點，把對稱軸跟蹤對準(zhǔn)衛(wèi)星，則可以使發(fā)射的電磁波訊號射線能平行地到達(dá)衛(wèi)星的接收裝置，同樣保證接收效果最常見的太陽能熱水器，它也是以拋物線鏡面聚集太陽光，以加熱焦點處的貯水器的圖1.3F2F1圖1.2AF1F2DO圖1.1B要探究圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，首先必須將這樣一個光學(xué)實際問題，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，進(jìn)行解釋論證。二、問題轉(zhuǎn)化及證明21圓錐曲線的切線與法線的定義

4、設(shè)直線與曲線交于，兩點，當(dāng)直線連續(xù)變動時，兩點沿著曲線漸漸靠近，一直到，重合為一點,此時直線稱為曲線在點處的切線，過與直線垂直的直線稱為曲線在點處的法線。此時，我們可以借助圓錐曲線的切線和法線，對這一問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化：2.2圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的證明預(yù)備定理 1.若點是橢圓上任一點，則橢圓過該點的切線方程為：。證明：由1當(dāng)時，過點的切線斜率一定存在，且對式求導(dǎo)：切線方程為點在橢圓上，故 代入得而當(dāng)時， 切線方程為，也滿足式故是橢圓過點的切線方程.預(yù)備定理2. 若點是雙曲線上任一點，則雙曲線過該點的切線方程為：證明：由1當(dāng)時，過點的切線斜率一定存在，且對式求導(dǎo)：切線方程為點在雙曲線上，故 代入得而當(dāng)時，

5、 切線方程為，也滿足式故是雙曲線過點的切線方程.預(yù)備定理 3.若點是拋物線上任一點，則拋物線過該點的切線方程是證明：由，對求導(dǎo)得：當(dāng)時，切線方程為即而而當(dāng)時，切線方程為也滿足式故拋物線在該點的切線方程是.定理1. 橢圓上一個點P的兩條焦半徑的夾角被橢圓在點P處的法線平分（圖2.1）已知：如圖，橢圓的方程為，分別是其左、右焦點，是過橢圓上一點的切線，為垂直于且過點的橢圓的法線，交軸于設(shè)，求證：.xy2L圖2.1證法一：在上，L則過點的切線方程為：是通過點且與切線垂直的法線，則法線與軸交于又由焦半徑公式得：是的平分線，故可得證法二：由證法一得切線的斜率，而的斜率，的斜率到所成的角滿足在橢圓上同理，

6、到所成的角滿足而證法三：如圖，作點，使點與關(guān)于切線對稱，連結(jié)，交橢圓于點下面只需證明點與重合即可一方面，點是切線與橢圓的唯一交點，則，是上的點到兩焦點距離之和的最小值（這是因為上的其它點均在橢圓外）另一方面，在直線上任取另一點即也是直線上到兩焦點的距離這和最小的唯一點，從而與重合即而得證定理2 雙曲線上一個點P的兩條焦半徑的夾角被雙曲線在點P處的切線平分（圖2.2）；已知：如圖，雙曲線的方程為，分別是其左、右焦點，是過雙曲線上的一點的切線，交軸于點，設(shè)，xy圖2.2求證：證明：兩焦點為， 在雙曲線上則過點的切線切線與軸交于。由雙曲線的焦半徑公式得雙曲線的兩焦點坐標(biāo)為，故故 ，切線為之角分線。y

7、x圖2.3定理3 拋物線上一個點P的焦半徑與過點P且平行于軸的直線的夾角被拋物線在點P處法線平分（圖2.3）。已知：如圖，拋物線的方程為為，直線是過拋物線上一點的切線，交軸于，反射線與所成角記為，求證：證明： 如圖 ，拋物線的方程為，點在該拋物線上，則過點的切線為切線與軸交于焦點為，(同位角)通過以上問題轉(zhuǎn)化可知，圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)是可以用我們學(xué)過的知識證明的。那么它在解題和生產(chǎn)生活中有何應(yīng)用呢？三、圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)的應(yīng)用31解決入射與反射問題例1. 設(shè)拋物線，一光線從點A(5，2)射出，平行 的對稱軸，射在 上的P點，經(jīng)過反射后，又射到上的Q點，則P點的坐標(biāo)為_，Q點的坐標(biāo)為_。解：如圖，

8、直線平行于對稱軸且A(5，2)，則P點的坐標(biāo)為（4，2）圖3.1.1反射線過點設(shè)，則解得：圖3.1.2圖3.1.1例2. 已知橢圓方程為+= 1，若有光束自焦點A(3，0)射出，經(jīng)二次反射回到A點，設(shè)二次反射點為B，C，如圖所示，則ABC的周長為。解：橢圓方程為+= 1中，A(3，0)為該橢圓的一個焦點自A(3，0)射出的光線AB反射后，反射光線AC定過另一個焦點 (-3，0)故ABC的周長為圖3.1.3例3.雙曲線，又，已知A(4，2)，F(xiàn)(4，0)，若由F射至A的光線被雙曲線反射，反射光通過P(8，k)，則k =。解：入射線FA反射后得到的光線AP的反向延長線定過雙曲線的另一個焦點32 解

9、決一類“距離之和”的最值問題張奠宙教授說“在一般情況下，光線在傳播過程中，總是選擇最近的路線從一點傳播到另一點。這雖然還只是一種停留“經(jīng)驗、感覺”層面上的結(jié)論，但卻為我們研究一類“距離之和” 取值范圍問題時指明了思考的方向，從而解決了一個從“想不到”到“想得到”的關(guān)鍵問題。如果再輔以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，這種“經(jīng)驗、感覺”依然是很有價值的、不可替代的?！蔽易x了他的文章，深受啟發(fā)，并用圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)解決了我們經(jīng)常見到而又覺得復(fù)雜的一類最值問題。例4已知橢圓C：，F(xiàn)1、F2為分別是其左右焦點，點Q(2，1)，P是C上的動點，求|MF1|+|MQ|的取值范圍。圖3.2.1圖3.2.2圖3.2.3（一）

10、分析猜想：（1）經(jīng)計算，Q（2，2）點在橢圓內(nèi),由于橢圓是封閉圖形，因此|MF1|+|MQ|應(yīng)該有一個封閉的取值范圍，既有最小值也有最大值。（2）同樣根據(jù)光線的“最近傳播法則”，結(jié)合橢圓的光學(xué)性質(zhì)，可得：從F1射出被橢圓反射后經(jīng)過點Q的光線所經(jīng)過的路程往往是最短的。這種情況又分為兩類，一是被上半橢圓反射（如圖，光線從F1P11P2F2|P1F1|+|P1Q|P2F1|+|P2Q|但是，最大值又是多少呢？圖所示的光線又有什么特點呢？將圖2Q| +|P2F1|+|P1Q|+|P1F1|是定值4a(a為橢圓長半軸長)，而|P1Q|+|P1F1|由前面知最小，由此猜測|P2Q| +|P2F1|可能就是

11、最大值。（二）證明|P1F1|+|P1Q|是最小值。如圖，連接Q F2，延長交橢圓于P2，在橢圓上另取一點，由橢圓定義知：|P2Q|-|QF2| +|PF1| = |F1| +|F2|（*），因為|F2|Q|-|QF2|，代入（*）式得|P2Q|-|QF2| +|P2F1|F1| +|Q|-|QF2|所以，|P2Q| +|P2F1|F1| +|Q|。猜想得證。（三）計算：綜上所述，只需求出可得最小值為最大值為.例5已知雙曲線C：， F1、F2為分別是其左右焦點，點，M是C上的動點，求|MF2|+|MQ|的取值范圍。分析猜想：經(jīng)計算，Q點在雙曲線右支開口內(nèi)部。由于雙曲線是不封閉曲線，顯然|MF2

12、|+|MQ|可以無限大，故要求|MF2|+|MQ|的取值范圍，關(guān)鍵是求出|MF2|+|MQ|的最小值。根據(jù)光線的“最近傳播”特點，我們猜想：從F1射出經(jīng)雙曲線反射后經(jīng)過點Q的光線所經(jīng)過的路程往往是最短的，再結(jié)合雙曲線的光學(xué)性質(zhì)（從一個焦點射出的光線經(jīng)橢圓周反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過另一個焦點），可作出從F1射出被雙曲線反射后經(jīng)過點Q的光線：連接F1Q，與雙曲線的交點即為使得|MF2|+|MQ|最小的點，設(shè)為P點，光線從F2PQ。（見圖2）圖3.2.5（二）證明：如圖2：按猜想作出點P，由于所求點P顯然不在雙曲線的左支上（此時顯然距離之和不會最小），故在右支上另取一點，由雙曲線定義知：|PF

13、1|-|PF2| = |F1| -|F2|，即|PF1|+|F2| = |F1| +|PF2|，因為|PF1|+|PQ|Q| +|F1|，兩邊同加|PF2|得：所以|PF1|+|PQ| +|PF2|Q| +|F1|+ |PF2|=|Q| +|PF1|+|F2|，故|PQ|+|PF2|Q|+|F2|，猜想得證。（三）計算：由題意知=例6已知拋物線C：， F是其焦點，點，M是C上的動點，求|MF|+|MQ|的取值范圍。分析：由于拋物線不是封閉曲線，顯然沒有最大值，因此關(guān)鍵是求最小值。根據(jù)拋物線光學(xué)性質(zhì)（從焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射，反射光線與對稱軸平行，反之也成立），結(jié)合光線的“最近傳播”特點，我

14、們猜想：過Q與對稱軸平行的直線與拋物線的交點可能就是使距離之和最小的點，設(shè)為P點（見圖）?？捎蓲佄锞€的定義證明猜想是正確的。且|PF|+|PQ|3 33 圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)在解決與“切線”相關(guān)問題時起簡捷作用。光線反射總是滿足反射定律（入射角等于反射角），光線被曲線反射也不例外，此時的法線就是過反射點的曲線的切線的垂線?？梢姡€的切線和與曲線有關(guān)的反射問題有著密切聯(lián)系。以橢圓為例：如圖，l是過橢圓周上一點P的橢圓的切線，m是P點處的法線，光線從F1（F2）射出被橢圓反射經(jīng)過F2（F1），滿足1=2，且3=4。圖3.3.1圖3.3.2例7已知l是過橢圓C：上一動點P的橢圓C的動切線，過C的左焦點

15、F1作l的垂線，求垂足Q的軌跡方程。分析：如圖，本題如果忽視了橢圓的光學(xué)性質(zhì)將很難著手，或許借助橢圓參數(shù)方程可以求解，但運算相當(dāng)繁瑣。由于l是橢圓的切線，切點為P，聯(lián)想到橢圓光學(xué)性質(zhì)及反射定律，可知：l是F1PF2的外角平分線， F1關(guān)于直線l的對稱點在F2P的延長線上。這樣，由于| P F1| =|P|，故|F2|=|P F 1|+|PF2|=2a=8，而Q、O分別是F1、F2的中點，所以|QO|=4。從而Q點軌跡是以O(shè)為圓心、以4為半徑的圓。即點Q的方程為34在生產(chǎn)生活中的作用F圖3.4.1圖3.4.28540xy5O 例8某種碟形太陽能熱水器的外形示意圖如圖，其中F為加熱點；碟形反射壁是拋物線繞對稱軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面；拋物線以cm為單位的設(shè)計尺寸如F應(yīng)距碟底多少？ 解 ：以碟形內(nèi)壁底為原點，拋物線的對稱軸為x軸，開口方向為x軸的正向，建立坐標(biāo)系如圖，則內(nèi)壁拋物線方程為y2=2px據(jù)所示尺寸，拋物線過坐標(biāo)為(40,85)的點，所以 852=2p40=80p，