數(shù)值線性代數(shù)課程設(shè)計

1、數(shù)值線性代數(shù)課程設(shè)計題 目學(xué) 生指導(dǎo)教師徐州師范大學(xué)課 程 設(shè) 計 任 務(wù) 書 院 班 學(xué)生 課程設(shè)計課題：矩陣的QR分解課程設(shè)計任務(wù)要求（包括課題來源、類型、目的和意義、基本要求、參考資料等）： 來源與意義:本課題來源于教材第三章第三節(jié)正交化算法，目的是通過QR 分解求解方程Ax=b，以求解最小二乘問題。 基本要求:1. 要求自編程序；2. 掌握編程思想，學(xué)會一門編程語言；3. 報告要有較強的理論分析；有較強說服力的數(shù)據(jù)表或圖像；4. 對結(jié)果進行分析；5. 給出相應(yīng)結(jié)論。 參考資料:數(shù)值線性代數(shù)：徐樹芳 高立 張平文指導(dǎo)教師簽字：一、 問題提出：在探究最小二乘問題時，我們得出結(jié)論，求解最小二

2、乘問題等價于求min|QTAx QTb|2的問題，其中Q為正交矩陣，因此，我們希望通過選取適當(dāng)?shù)恼痪仃嘠，使原問題轉(zhuǎn)化為較易求解的最小二乘問題。這里，我們將討論對任意A的QR分解的方法。二、理論基礎(chǔ)- 1 -1、QR分解定理：設(shè)ARmn(mn)，則A有QR分解：RA=Q，0其中QRmm是正交矩陣，RRnn是具有非負對角元的上三角陣；而且當(dāng)m=n且A非奇異時，上述分解還是唯一的。3）說明：在這個定理的基礎(chǔ)上，我們就可以放心的研究任意矩陣的QR分解，因為它總是存在的。2、Householder變換：1) 定義：設(shè)Rn滿足2=1，定義HRnn為H=I-2T，則稱H為Householder變換。x1

3、(1)x1x022）作用：Hx可以將x=化成x=的形式。 xn03）說明：利用Householder變換，我們可以將A的對角線下元素逐列的消為0。3、Givens變換1 ics 的矩陣稱為G= j-sc 1ij1）定義：形如Givens矩陣。x1x22）作用：Gx可以將x=化成x=xn i的形式。 j0 0003）說明：利用Givens變換，我們可以將A的對角線下元素逐個消為0。 - 2 -三、實驗內(nèi)容模型一：利用householder變換對矩陣A進行QR分解。1. 用MATLAB建立m文件house.m,程序如下：function v,b=house(x)n=length(x);v=zero

4、s(n,1);eta=norm(x,inf);x=x/eta;v(1)=1;v(2:n)=x(2:n);sig=x(2:n)*x(2:n);if (sig=0)b=0;elsea=(x(1)*x(1)+sig)(1/2);if (x(1)=0)v(1)=x(1)-a;elsev(1)=-sig/(x(1)+a);endb=2*v(1)*v(1)/(sig+v(1)*v(1);v=v/v(1);end2. 用MATLAB建立m文件：qr1.mA=input(A=);m,n=size(A);for j=1:nif jabs(a)r=a/b;s=1/sqrt(1+r*r);c=s*r;elser=b

5、/a;c=1/sqrt(1+r*r);s=c*r;endend2. 用MATLAB建立m文件：qr2.mA=input(A=);m,n=size(A);Q=eye(m);for j=1:nfor i=j+1:mc,s=givens(A(j,j),A(i,j);- 4 -G=eye(m);G(j,j)=c;G(i,i)=c;G(j,i)=s;G(i,j)=-s;A=G*A;Q=Q*G;endendR=AQR=A3.結(jié)果：利用Givens變換，我們可以將A的對角線下元素逐個消為0，從而得到R，每一步中的Givens變換矩陣G的乘積就是我們所求的Q。（程序運行的結(jié)果數(shù)據(jù)見附錄二）。四、 結(jié)果分析1.

6、兩種方法都可以求得A的QR分解，但從程序的運行代價上來看，Givens變換需要的存儲更高，速度更慢。2.兩種方法得到的Q和R可能不同，但是R一定是上三角矩陣，Q一定是正交矩陣。3.我們也可以試著探尋基于其他方法的QR分解。五、結(jié)論Householder變換和Givens變換都能夠較好的實現(xiàn)QR分解，在這個基礎(chǔ)上，我們可以更好更方便的解決最小二乘問題。但是它們所消耗的內(nèi)存空間都比較大，我們也可以試著探尋更好的方法，以節(jié)省內(nèi)存。- 5 -六、參考文獻數(shù)值線性代數(shù)：徐樹芳 高立 張平文附錄一：qr1.m的運行結(jié)果：任意鍵入一矩陣A=1,5,6;1,3,5;5,8,9;8,5,6，按enter鍵，則有

7、結(jié)果v =1.0000-0.1171-0.5855-0.9368- 6 -b =0.8952v =1.0000-1.5136-0.2854b =0.5931v =1.0000-5.6333b =0.0611Q =0.1048 0.6551 -0.0553 -0.7462 0.1048 0.3302 0.9075 0.2374 0.5241 0.5141 -0.3925 0.5540 0.8386 -0.4445 0.1388 -0.2827R =9.5394 9.2249 10.9022 0 6.1564 7.5415 0 0 1.5061ans =- 7 -1.0000 -0.0000 0.

8、0000 -0.0000 -0.0000 1.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 1.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 1.0000附錄二：qr1.m的運行結(jié)果：c =0.7071s =0.7071- 8 -c =0.2722 s =0.9623 c =0.5447 s =0.8386 c =0.3974 s =0.9177 c =0.5781 s =0.8160 c =0.8976 - 9 -s =-0.4408R =9.5394 9.2249 10.9022 0 -6.1564 -7.5415 0 0 -1.5061 0 0 -0.0000Q =0.1048 -0.3302 0.7427 -0.5730 -0.1048 0.6551 0.6243 0.4125 -0.5241 0.5141 -0.1984 -0.6493 -0.8386 -0.4