數(shù)值計算課后習(xí)題答案

1、 習(xí) 題 一 解 答1取3.14，3.15，作為的近似值，求各自的絕對誤差，相對誤差和有效數(shù)字的位數(shù)。分析：求絕對誤差的方法是按定義直接計算。求相對誤差的一般方法是先求出絕對誤差再按定義式計算。注意，不應(yīng)先求相對誤差再求絕對誤差。有效數(shù)字位數(shù)可以根據(jù)定義來求，即先由絕對誤差確定近似數(shù)的絕對誤差不超過那一位的半個單位，再確定有效數(shù)的末位是哪一位，進(jìn)一步確定有效數(shù)字和有效數(shù)位。有了定理2后，可以根據(jù)定理2更規(guī)范地解答。根據(jù)定理2，首先要將數(shù)值轉(zhuǎn)化為科學(xué)記數(shù)形式，然后解答。解：（1）絕對誤差:e(x)=3.143.141592653.140.001590.0016。相對誤差：有效數(shù)字：因為3.141

2、59265=0.314159265×10，3.140.314×10，m=1。而3.143.141592653.140.00159所以3.140.001590.005=0.5×102所以，3.14作為的近似值有3個有效數(shù)字。（2）絕對誤差:e(x)=3.153.141592653.140.0084070.0085。相對誤差：有效數(shù)字：因為3.14159265=0.314159265×10，3.150.315×10，m=1。而3.153.141592653.150.008407所以3.150.0084070.05=0.5×101所以，3.

3、15作為的近似值有2個有效數(shù)字。（3）絕對誤差:相對誤差：有效數(shù)字：因為3.14159265=0.314159265×10，m=1。而所以所以，作為的近似值有3個有效數(shù)字。（4）絕對誤差:相對誤差：有效數(shù)字：因為3.14159265=0.314159265×10，m=1。而所以所以，作為的近似值有7個有效數(shù)字。指出：實際上，本題所求得只能是絕對誤差限和相對誤差限，而不是絕對誤差和相對誤差。為簡單計，本題相對誤差沒有化為百分?jǐn)?shù)。在求出絕對誤差后，按定義求有效數(shù)字是基本功，必須掌握。絕對不允許有了定理后就不會根據(jù)定義討論。因此，本類問題的解答應(yīng)當(dāng)是兩種方法都熟練掌握的。實際上，

4、根據(jù)基本概念分析討論問題始終是最重要的方法，由于不同的作者會提出不同的定理系統(tǒng)，因此，掌握根據(jù)最本元的定義討論問題的方法是非常重要的。 祖沖之（公元429年公元500年）是我國杰出的數(shù)學(xué)家，科學(xué)家。南北朝時期人，漢族人，字文遠(yuǎn)。生于宋文帝元嘉六年，卒于齊昏侯永元二年。祖籍范陽郡遒縣（今河北淶水縣）。在世界上最早計算出的真值在3.1415926（朒數(shù)）和3.1415927（盈數(shù)）之間，相當(dāng)于精確到小數(shù)第7位，這一紀(jì)錄直到15世紀(jì)才由阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾.卡西打破。祖沖之還給出的兩個分?jǐn)?shù)形式：（約率）和（密率），其中密率精確到小數(shù)第7位，在西方直到16世紀(jì)才由荷蘭數(shù)學(xué)家奧托重新發(fā)現(xiàn)，比祖沖之晚了一千多

5、年，數(shù)學(xué)史學(xué)界主張稱“密率”為“祖率”。近似數(shù)的有效數(shù)字只能是有限位。近似數(shù)的誤差分析中采用近似數(shù)x而不是其準(zhǔn)確數(shù)，準(zhǔn)確數(shù)是未知的。常出現(xiàn)德錯誤是，第一，不進(jìn)行具體計算，結(jié)果不可靠；第二，兩個分?jǐn)?shù)近似值（尤其第二個）取的數(shù)位不夠，結(jié)果有效數(shù)位計算錯誤；第三，認(rèn)為分?jǐn)?shù)就是精確數(shù)，就有無窮多有效數(shù)字。2、用四舍五入原則寫出下列各數(shù)的具有五位有效數(shù)字的近似數(shù)。3467854，7000009，00001324580，0600300分析：本題實際上指出，按要求截取的近似數(shù)符合有效數(shù)字定義，相關(guān)數(shù)位上的數(shù)字都是有效數(shù)字。解答方法簡單，直接寫出就可以，不需要也不應(yīng)該做形式轉(zhuǎn)化（化為科學(xué)計數(shù)法形式）解：346

6、785434679，700000970000，00001324580000013246，0600300060030。指出：注意0。只要求寫出不要求變形。3、下列各數(shù)都是對準(zhǔn)確數(shù)進(jìn)行四舍五入后得到的近似數(shù)，試分別指出他們的絕對誤差限和相對誤差限和有效數(shù)字的位數(shù)。分析：首先，本題的準(zhǔn)確數(shù)未知，因此絕對誤差限根據(jù)四舍五入規(guī)則確定。其次，應(yīng)當(dāng)先求絕對誤差限，再求相對誤差限，最后確定有效數(shù)字個數(shù)。有效數(shù)字由定義可以直接得出。解：由四舍五入的概念，上述各數(shù)的絕對誤差限分別是由絕對誤差和相對誤差的關(guān)系，相對誤差限分別是有效數(shù)字分別有3位、4位、4位、4位。指出：本題顯然是直接指出有效數(shù)位、直接寫出絕對誤差，

7、用定義求出相對誤差。4.計算的近似值，使其相對誤差不超過0.1。解：設(shè)取n個有效數(shù)字可使相對誤差小于0.1，則 ，而，顯然，此時， ，即，也即所以，n=4。此時，。5、在計算機數(shù)系F(10,4,-77,77)中，對，試求它們的機器浮點數(shù)及其相對誤差。解：其相對誤差分別是。6、在機器數(shù)系F(10,8,L,U)中，取三個數(shù)，試按兩種算法計算的值，并將結(jié)果與精確結(jié)果比較。解：精確計算得：第一種算法按從小到大計算,但出現(xiàn)了兩個數(shù)量級相差較大的數(shù)相加,容易出現(xiàn)大數(shù)吃小數(shù).而第二種算法則出現(xiàn)了兩個相近的數(shù)相減,容易導(dǎo)致有效數(shù)位的減少。計算結(jié)果證明，兩者精度水平是相同的。*在機器數(shù)系F(10,8,L,U)中

8、，取三個數(shù)，試按兩種算法計算的值，并將結(jié)果與精確結(jié)果比較。解：第一種算法是按從小到大的順序計算的，防止了大數(shù)吃小數(shù)，計算更精確。精確計算得：顯然，也是第一種算法求出的結(jié)果和精確結(jié)果更接近。7、某計算機的機器數(shù)系為F(10,2,L,U)，用浮點運算分別從左到右計算及從右到左計算試比較所得結(jié)果。解：從左到右計算得從右到左計算得從右到左計算避免了大數(shù)吃小數(shù)，比從左到右計算精確。8、對于有效數(shù)，估計下列算式的相對誤差限分析：求和差的相對誤差限采取先求出和差的絕對誤差限再求相對誤差限的方法。求積商的相對誤差限采取先求每一個數(shù)的相對誤差限再求和的方法。解：因為都是有效數(shù)，所以則指出:如果簡單地用有效數(shù)字與

9、誤差的關(guān)系計算,則不夠精確。注意是相對誤差限的討論。符號要正確，商的誤差限是誤差限的和而不是差。9、試改變下列表達(dá)式，使其計算結(jié)果比較精確（其中表示x充分接近0，表示x充分大）。(1)；(2)；(3)；(4);(5)。分析：根據(jù)算法設(shè)計的原則進(jìn)行變形即可。當(dāng)沒有簡單有效的方法時就采用泰勒展開的方法。解：(1)；(2) ；(3)或(4)(5)指出：采用等價無窮小代換的方法一般不可行。近似計算中的誤差并不是無窮小量，利用無窮小量等價代換，兩個量的差別可能恰恰是影響精度的因素。采用等價無窮小代換，可能只會得到精度水平比較低的結(jié)論。例如試與上例比較。有時候這種方法可以使用，例如因為，當(dāng)時，在這個計算中

10、，由于x是常數(shù)，x的函數(shù)值實際上放大了每一項的計算結(jié)果，使得相近的數(shù)相減的問題不很突出。而利用一階的泰勒展開，當(dāng)時，就有，因此和上面的結(jié)果一樣。但顯然，用泰勒展開的方法具有一般性并能得到精度更高的結(jié)果，而且不會有方法上出錯的可能。采用洛必達(dá)法則也是不可以的。實際上，無論是等價無窮小還是洛必達(dá)法則都是極限方法，而因為近似計算中的誤差雖然可以近似地看作是微分，但本質(zhì)上卻是一個確定的可能極小的小數(shù)而不是無窮?。ㄚ呌诹愕淖兞浚虼私朴嬎闶遣荒懿捎脴O限方法的。轉(zhuǎn)化的結(jié)果要化簡，比如化繁分式為簡分式，但不能取極限。取極限就違背的了數(shù)值計算的本意。所以，是錯誤的。極小的數(shù)做除數(shù)，實際上是型的不定型，要轉(zhuǎn)

11、化為非不定型。10、用4位三角函數(shù)表，怎樣算才能保證有較高的精度？解：根據(jù)，先查表求出再計算出要求的結(jié)果精度較高。指出：用度數(shù)就可以。不必化為弧度。11、利用求方程的兩個根，使它們至少具有4位有效數(shù)字。解：由方程的求根公式，本方程的根為因為，則如果直接根據(jù)求根公式計算第二個根，則因為兩個相近的數(shù)相減會造成有效數(shù)字的減少，誤差增大。因此根據(jù)韋達(dá)定理，在求出后這樣計算：這樣就保證了求出的根有四位有效數(shù)字。12、試給出一種計算積分，近似值的穩(wěn)定算法。解：當(dāng)n0時，。()。對In運用分部積分法()得由此得到帶初值的遞推關(guān)系式由遞推公式In1nIn1 解得，這是逆向的遞推公式，對In的值作估計，有 另有

12、 (取e的指數(shù)為最小值0，將ex取作 e0 1作為常數(shù)即可簡化公式）。則 。 那么，我們可以取其上下限的平均值作為其近似值。即取 可以看出，n越大，這個近似值越精確地接近于準(zhǔn)確值。(n越大，In的上限和下限就越接近，近似值區(qū)間的長度就越短，近似值和精確值就越接近)此時，en1=In1*In1=(In*In) en，e0= en，計算是穩(wěn)定的。實際上，如果我們要求I9，可以先求出I20，這樣求出的I9的誤差是比I20的誤差小得多的，而I20的誤差本身也并不大。實際上，這樣求出的I9比直接計算出來的精確得多。習(xí) 題 二 解 答1用二分法求方程x3-2x2-4x-7=0在區(qū)間3，4內(nèi)的根，精確到10

13、-3，即誤差不超過。分析：精確到10-3與誤差不超過10-3不同。解：因為f(3)-100，f(4)=90，所以，方程在區(qū)間3，4上有根。由有2n-11000，又為21010241000，所以n11，即只需要二分11次即可。列表討論如下：nanbnxnf(xn)的符號1343.50023.50043.75033.5003.7503.62543.6253.7503.68853.6253.6883.65763.6253.6573.64173.6253.6413.63383.6253.6333.62993.6293.6333.631103.6313.6333.632113.6313.6323.632

14、x*x11=3.632。指出：（1）注意精確度的不同表述。精確到10-3和誤差不超過10-3是不同的。（2）在計算過程中按規(guī)定精度保留小數(shù)，最后兩次計算結(jié)果相同。如果計算過程中取4位小數(shù)，結(jié)果取3位，則如下表：nanbnxnf(xn)的符號1343.500023.500043.750033.50003.75003.625043.62503.75003.687553.62503.68753.656363.62503.65633.640773.62503.64073.632983.62503.63293.629093.62903.63293.6310103.63103.63293.6320113.

15、63103.63203.6315（3）用秦九韶算法計算f(xn)比較簡單。1*求方程x3-2x2-4x-7=0的隔根區(qū)間。解：令，則當(dāng)時，有。函數(shù)單調(diào)區(qū)間列表分析如下：x(-,)2(2,+)y+00+y15因為，所以方程在區(qū)間上無根；因為，而函數(shù)在上單調(diào)增，函數(shù)值不可能變號，所以方程在該區(qū)間上無根；因為，函數(shù)在(2,+)上單調(diào)增，所以方程在該區(qū)間上最多有一個根，而(3)=-10<0,y(4)=9>0，所以方程在區(qū)間(3,4)有一個根。所以，該方程有一個根，隔根區(qū)間是(3.4)。2證明在0,1內(nèi)有一個根，使用二分法求誤差不大于的根，需要迭代多少次？分析：證明方程在指定區(qū)間內(nèi)有一個根，

16、就是證明相應(yīng)的函數(shù)在指定區(qū)間有至少一個零點。解：令，因為，則，由零點定理，函數(shù)f(x)在0,1區(qū)間有一個根。 由有2n-110000，又為2101024，2138192<10000，21416384>10000所以n15，即需要二分15次。指出：要證明的是有一個解而不是唯一解，因此不必討論單調(diào)性。3試用迭代公式，求方程的根，要求精確到。分析：精確到即誤差不超過解：令列表進(jìn)行迭代如下：01-711.538463.7596421.29502-1.5238031.401820.7031141.35421-0.3066751.375300.1372161.36593-0.0606771.3

17、70090.0270581.36824-0.0119891.369060.00531101.36870-0.00228111.368860.00110121.36879-0.00038131.368820.00025141.36881151.36881指出：精確到可以從兩個方面判定。第一，計算過程中取小數(shù)到位，最后兩個計算結(jié)果相同，終止計算。第二，計算過程中取小數(shù)到，當(dāng)終止計算。本題采用第一種方法。4將一元非線性方程寫成收斂的迭代公式，并求其在附近的根，要求精確到。解：改寫為，則，設(shè)有在處，因為所以迭代法在的鄰域內(nèi)收斂。列表迭代如下：005107120693069此時。5為求方程在附近的一個根

18、，設(shè)將方程改為下列等價形式，并建立相應(yīng)的迭代公式：試分析每種迭代公式的收斂性，并取一種公式求出具有4位有效數(shù)字的近似值。解：（1）因為，所以迭代函數(shù)為，則，滿足局部收斂性條件，所以迭代公式具有局部收斂性。（2）因為,所以迭代函數(shù)為,則,滿足局部收斂性條件,所以迭代公式具有收斂性。（3）因為，所以迭代函數(shù)為，則，不滿足收斂性條件，所以迭代公式不具有收斂性。用迭代公式列表計算如下：015114442148031457414715146261468714648146791465101466111465所以，方程的近似根為。6設(shè)，應(yīng)如何取C才能使迭代公式具有局部收斂性？解：設(shè)C為常數(shù)，因為，所以，要使

19、迭代公式具有局部收斂性，需，此時即有，也即。即只要C去滿足如上條件的常數(shù)，就可以使得迭代公式具有局部收斂性。指出：下面的討論是不合適的：因為，所以，所以，所以，由此確定方程的準(zhǔn)確值。要明確的是，方程的準(zhǔn)確值時不知道并難以獲得的，因此才需要迭代法。用解析法確定公式解在討論在邏輯上是不通的。同時，這里強調(diào)的是一類方程的迭代解法的收斂性，也不應(yīng)局限在具體的求解，關(guān)鍵是確定C的范圍。7用牛頓法求方程在初始值鄰近的一個正根，要求。解: 因為所以有，相應(yīng)的迭代公式為取x0=2為迭代的初始近似值。迭代的結(jié)果列表如下：k0123xk21.88891.87951.8794因為,符合計算的精度要求,所以。8用牛頓法解方程，導(dǎo)出計算數(shù)c的倒數(shù)而不用除法的一種簡單的迭代公式。用此公式求