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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上勾股定理逆定理及綜合應用教學目標:掌握勾股定理逆定理,并能結(jié)合勾股定理進行綜合應用.教學內(nèi)容解析:1勾股定理的逆定理:如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2b2c2,那么這個三角形是直角三角形2. 滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù),稱為勾股數(shù)勾股數(shù)擴大相同倍數(shù)后,仍為勾股數(shù)常用的勾股數(shù) 有3、4、5;6、8、10;5、12、13等.3. 應用勾股定理的逆定理時,先計算較小兩邊的平方和,再把它和最大邊的平方比較.4. 判定一個直角三角形,除了可根據(jù)定義去證明它有一個直角外,還可以采用勾股定理的逆定理,即 去證明三角形兩條較短邊的平方和等于較長邊的平方,這是代數(shù)方法在幾何中
2、的應用.例題解析:【例1】如圖,已知四邊形ABCD中,B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四邊形ABCD的面積.分析:根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)特征,聯(lián)想勾股數(shù),連接AC,可實現(xiàn)四邊形向三角形轉(zhuǎn)化,并運用勾股定理的逆定理可判定ACD是直角三角形.解:連接AC,在RtABC中,AC2=AB2BC2=3242=25, AC=5.在ACD中, AC2CD2=25122=169,而 AB2=132=169, AC2CD2=AD2, ACD=90°故S四邊形ABCD=SABCSACD=AB·BCAC·CD=×3×4×5
3、215;12=630=36.答:四邊形ABCD的面積為:36.【例2】如下圖,南北向MN為我國領(lǐng)域,即MN以西為我國領(lǐng)海,以東為公海.上午9時50分,我反走私A艇發(fā)現(xiàn)正東方向有一走私艇C以13海里/時的速度偷偷向我領(lǐng)海開來,便立即通知正在MN線上巡邏的我國反走私艇B.已知A、C兩艇的距離是13海里,A、B兩艇的距離是5海里;反走私艇測得離B艇的距離是12海里.若走私艇C的速度不變,最早會在什么時間進入我國領(lǐng)海?分析:為減小思考問題的“跨度”,可將原問題分解成下述“子問題”:(1)ABC是什么類型的三角形?(2)走私艇C進入我領(lǐng)海的最近距離是多少?(3)走私艇C最早會在什么時間進入?這樣問題就可
4、迎刃而解.解:設(shè)MN交AC于E,則BEC=900.又AB2+BC2=52+122=169=132=AC2,ABC是直角三角形,ABC=900.又MNCE,走私艇C進入我領(lǐng)海的最近距離是線段CE的長,則CE2+BE2=144,(13-CE)2+BE2=25,得26CE=288,CE=, ÷13=0.85(小時), 0.85×60=51(分).9時50分+51分=10時41分.答:走私艇最早在10時41分進入我國領(lǐng)海.【例3】如圖,AB為一棵大樹,在樹上距地面10m的D處有兩只猴子,它們同時發(fā)現(xiàn)地面上的C處有一筐水果,一只猴子從D處上爬到樹頂A處,利用拉在A處的滑繩AC,滑到C
5、處,另一只猴子從D處滑到地面B,再由B跑到C,已知兩猴子所經(jīng)路程都是15m,求樹高AB.解:設(shè)AD=x米,則AB為(10+x)米,AC為(15-x)米,BC為5米,(x+10)2+52=(15-x)2,解得x=2,AB=10+x=12(米)答:樹高AB為12米?!纠?】如圖所示,有一塊塑料模板ABCD,長為10,寬為4,將你手中足夠大的直角三角板PHF的直角頂點P落在AD邊上(不與A、D重合)并在AD上平行移動:能否使你的三角板兩直角邊分別通過點B與點C?若能,請你求出這時AP的長;若不能,請說明理由.再次移動三角板位置,使三角板頂點P在AD上移動,直角邊PH始終通過點B,另一直角邊PF與DC
6、的延長線交于點Q,與BC交于點E,能否使CE=2?若能,請你求出這時AP的長;若不能,請說明理由.解:設(shè)AP=x,則根據(jù)題意可得化簡可得解得x=2或8答:存在,AP=2或8.過點E作BC邊的垂線可轉(zhuǎn)化為,解得AP=4.【例5】如圖,E、F分別是正方形ABCD中BC和CD邊上的點,且AB=4,CE=BC,F(xiàn)為CD的中點,連接AF、AE,問AEF是什么三角形?請說明理由.解:由勾股定理得AE2=25,EF2=5,AF2=20,AE2= EF2 +AF2,AEF是直角三角形.【例6】如圖,已知等腰ABC的底邊BC=20cm,D是腰AB上一點,且CD=16cm,BD=12cm,求ABC的周長.解:由BD2+DC2=122+162=202=BC2,得CDAB,又AC=AB=BD+AD=12+AD,在RtADC中,AC2=AD2+DC2,即(12+AD)2=AD2+162,解得AD=,故ABC的周長為:2AB+BC=cm【例7】如圖,在ABC中,ACB=90°,AC=BC,P是ABC內(nèi)的一點,且PB=1,PC=2,PA=3,求BPC的度數(shù)解:如下圖,將APC繞點C旋轉(zhuǎn),使CA與CB重合,即APCBEC
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