橢圓常見題型與典型方法歸納

1、橢圓常見題型與典型方法歸納考點(diǎn)一橢圓的定義橢圓的第一定義：我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)Fi , F2的距離的和等于常數(shù)2a(2 a >|Fi. Fp )的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩定點(diǎn)Fi , F2叫做橢圓 的焦點(diǎn)，兩定點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.橢圓的第二定義：我們把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)e= c (0<e<1)的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡叫做橢圓.這個(gè)定點(diǎn)是 a橢圓的焦點(diǎn)，這條定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線，這個(gè)常數(shù)e是橢圓的離心率.注意：當(dāng)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)Fi, F2距離的和等于常數(shù) 2a(2a： FiF2)的點(diǎn)的軌跡是線段F1F2 ;當(dāng)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)Fi, F2距離的和

2、等于常數(shù) 2a(2a三£)的點(diǎn)的軌跡不存在.例 動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)Fi ( - 4,0)、F2 (4, 0)的距離之和為 8,則P點(diǎn)的軌跡為 ()A、橢圓B 、線段Fi, F2C 、直線Fi , F2D 、不能確定考點(diǎn)二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程I焦點(diǎn)在x軸上 標(biāo)準(zhǔn)方程是：-2+曠2= i (其中b2-a2-c2,a>b>0).焦點(diǎn)的坐a2 b2標(biāo)分別為(c,0),( c,0)2焦點(diǎn)在y軸上 標(biāo)準(zhǔn)方程是：2 +r2=i (其中b2=a2 - c2 , aN七>0).焦點(diǎn)的坐a2b2標(biāo)分別為(0,飛),(0, c)3焦點(diǎn)位置判斷哪項(xiàng)分母大焦點(diǎn)就在相應(yīng)的軸上如虹；上三1的焦點(diǎn)

3、79坐標(biāo)4橢圓過兩定點(diǎn)，焦點(diǎn)位置不確定時(shí)可設(shè)橢圓方程為mx2-ny2 = 1 （其中> >)m 0, n 0例已知橢圓過兩點(diǎn)A(, 1),45與3十心三1 （ a> a2 b 2二重難點(diǎn)問題探析：b>0）共焦點(diǎn)的橢圓為,2),求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程x 2 . y 2 _ 1 a2k b 2 k1.要有用定義的意識(shí)例已知F1 , F2為橢圓x2,0=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)若 259F2 A - F2B 121的離心率則AB = o 2.標(biāo)準(zhǔn)方程要注意焦點(diǎn)的定位例橢山2./二為4 m1一 m ,二 o2練習(xí).1如果方程X*ky 2:k表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則

4、實(shí)數(shù)k的取值范圍為2點(diǎn)P在橢圓xl+yl =1上，它到左焦點(diǎn)的距離是它到右焦點(diǎn)距離的兩倍，求點(diǎn) 259P的橫坐標(biāo)考點(diǎn)三橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形范圍對(duì)稱性X軸和y軸是橢圓的對(duì)稱軸離心率Fi F2= 2c （其中 c2= a2 - b長(zhǎng)軸長(zhǎng)短軸長(zhǎng)準(zhǔn)線方程 通徑二典型練習(xí)1.橢圓 絲十金=1的長(zhǎng)軸位于,軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于 ；短軸位于 一軸，短軸長(zhǎng)等 3于一；焦點(diǎn)在一軸上,焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是一和;離心率e = ;左頂點(diǎn)坐標(biāo)是口頂點(diǎn)坐標(biāo)是；橢圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍是，縱坐標(biāo)的范圍是 ；X0 + y0的取值范圍是 。2.(1)若橢圓短軸一端點(diǎn)到橢圓 一焦點(diǎn)的距離是該點(diǎn)到同側(cè)長(zhǎng)軸一端點(diǎn)距離的3倍，則橢圓的離心率

5、(2)若橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)不大于短軸長(zhǎng)的2倍，則橢圓的離心率e曰(3)若橢圓短軸長(zhǎng)的兩個(gè)三等分點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形，則橢圓的離心率e廣考點(diǎn)四 點(diǎn)、線與橢圓的位置關(guān)系.點(diǎn) p( X0, y0 )和橢圓,2+Y =1 (a > b一 0)的位置關(guān)系a2b2(1)點(diǎn)p(X0 , y0 )在橢圓外X0 2 y。 2nbn( 2)點(diǎn)p( X0 , y0)在橢圓上22X0 y0jdL _一 a2 b21(3)點(diǎn)p(x0 , y0)在橢圓內(nèi)x 2 y 0 200+1 d221a b直線與橢圓的位置關(guān)系2.判斷: 0直線與橢圓相交弦長(zhǎng)問題(1)步驟：由橢圓方程與直線匚 ”0直線與橢圓相切0直線與橢圓相離

6、1方程聯(lián)立方程組；消元得一元二次方程；用書達(dá)定理寫成兩根和積(2)弦長(zhǎng)公式直線y =kX+b(k豐0)與橢圓相交于 A( X1 , y1 ) , B( X2 , y2 )兩點(diǎn)，則當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，弦長(zhǎng)公式:11二k* X1=(1 k 2 ) -( X1 X2 )2 4X1 X2-當(dāng)k存在且不為零時(shí)11112：y1 y2k2( y/y2 ) - 4 y 1 y2 o常用方法-1的直線，與橢圓1設(shè)而不求法例經(jīng)過橢圓 &y=1的右焦點(diǎn)作一條斜率為43相交于A,B;(I )求線段 AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)；(II )求線段 AB的長(zhǎng)2點(diǎn)差法 例 求橢圓x 2 +2 y2=1中斜率為2的平行弦的中點(diǎn)的

7、軌跡方程.x2 y2【小結(jié)】設(shè)A(xi, y2 ),B( x2, y2 )是橢圓a2b21上不同的兩點(diǎn)，且xiw x2 , xi十,2yiy2 yi+y2 b x2W0, M (x0 , V。)為AB的中點(diǎn)，則兩式相減可得 <""I2 即.3,中點(diǎn)弦問題：例 若橢圓 =+12的弦被點(diǎn)(4, 2)平分，則此弦所在直線的 369斜率為練習(xí)：設(shè)Fi、F2分別是橢圓x2_ + 0 = 1的左、右焦點(diǎn).54(1)若p是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求pf1 東的最大值和最小值；(2)是否存在過點(diǎn)A ( 5, 0)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C、D,使得| F2c |=| F2D | ?若

8、存在，求直線 l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由 考點(diǎn)五焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)及應(yīng)用一定義：橢圓上任意一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形設(shè) P( x。, y。)為橢圓上一點(diǎn)，|PF 1| = r 1, |PF 2| = r2, ZF1PF2 手 )1 方法(1)定義：門+ r2 = 2a(2)余弦定理：(2 c) 2 =門2+ 12 2 2r1r2cos1 .1(3)面積 S jpF F 千一E2 sin險(xiǎn)=-2cy。| 122 22性質(zhì)已知橢圓方程為 £將#=1(a >b >0),左右兩焦點(diǎn)分別為F1 , F2 ,在焦點(diǎn)a 2b2PF1 F2 中，貝 1S .:ZF1 PF

9、2= b2 tan-若/F1PF2最大，則點(diǎn)P為橢圓短軸的端點(diǎn)2 cos ' - 1 2e2 .例 已知橢圓紅一=(a > b刈 的兩焦點(diǎn)分別為F1 , F2 ,若橢圓上存在一點(diǎn) P,a2b2使得-F1PF 2 =120。,求橢圓的離心率e的取值范圍。練習(xí)已知橢圓的焦點(diǎn)是Fl ( 1 , 0)、F2 (1 , 0) , P 為橢圓上一點(diǎn)，且Fl F2PF1PF2求橢圓的方程； (2) 若點(diǎn) P 在第三象限，且/ PFi F2 =120° 求 tan F2PF .考點(diǎn)六 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法一 常用方法 ：1 定義法，2待定系數(shù)法 步驟 定位：確定橢圓的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上；

10、設(shè)方程：根據(jù) 焦點(diǎn)位置設(shè)出相應(yīng)方程；定值：根據(jù)題目條件確定相關(guān)的系數(shù)。3當(dāng)橢圓過兩定點(diǎn)時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為mx2 ny 2 1 (m > 0, n> 0),二 應(yīng)用示例1 定義法例 1 已知 ABC 的頂點(diǎn) B， C 的坐標(biāo)分別為 ( 3 ， 0)， (3， 0) ， AB 邊上的中線CE 與 AC 邊上的中線 BF交于點(diǎn) G ，且 GF GE 5 ，求點(diǎn) G 的軌跡方程例 2 求到兩定點(diǎn) F1 ( 3,0), F 2 (3,0) 的距離和等于 10 的點(diǎn)的軌跡方程練習(xí)1已知B,C是兩個(gè)定點(diǎn)BC長(zhǎng)等于8,且 ABC的周長(zhǎng)等于20,求頂點(diǎn) A的軌跡方程2已知 ABC三邊AB,BC,C

11、A的長(zhǎng)成等差數(shù)列，且 AB長(zhǎng)大于CA長(zhǎng)，點(diǎn)B,C的坐 標(biāo)為( -2 ， 0 )，(2 ， 0 )，求頂點(diǎn) A 的軌跡方程，并說明它是什么曲線3已知橢圓x 2 y2 1(a 5)的兩個(gè)焦點(diǎn)為Fi , F2 , |且F1F2向a 2 25 ABF 2的周長(zhǎng)4橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是(_j6,0), ( /0),過點(diǎn)(J6)，求橢圓的方程。2待定系數(shù)法例 已知橢圓的焦距離為2下且過點(diǎn)(下川仁)，求焦點(diǎn)在 x軸上時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)方程.3.軌跡法例4ABC的頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-4,0 ) , (4,0 )邊AC,BC所在直線的斜率之9積等于-一，求頂點(diǎn)C的軌跡方程，并說明其軌跡是什么曲線；三典型練習(xí)練習(xí)1.求適合

12、下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(一4, 0) , (4,0),橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離之和等于10;Si,、，一，一 30,2),并且橢圓經(jīng)過點(diǎn)C3(3)長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的 3倍，并且橢圓經(jīng)過點(diǎn)A （-3,才）22練習(xí)2.已知點(diǎn)P(3, 4)是橢圓 工= 1 (a>b>0)上的一點(diǎn)，F(xiàn)i, F2是它的兩焦a b點(diǎn)，若PF1 ± PF2 ,求橢圓的方程(2) 4F2PF1的面積.3根據(jù)下列條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)和橢圓心2。-1共準(zhǔn)線，且離心率為24 201 .(2)已知P點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離分別為-4%2 3和2面，過P作

13、長(zhǎng)軸的垂線恰好過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)二3考點(diǎn)七橢圓定義與性質(zhì)的應(yīng)用一定義的運(yùn)用 二 橢圓的幾何性質(zhì)應(yīng)用1、基礎(chǔ)知識(shí)例對(duì)橢圓x2 y若A B是橢圓x_+_yJ =1（a30）上的兩個(gè)頂點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，若 AB BF ,a2b 2求橢圓的離心率。22 練習(xí)1設(shè)已知橢圓十 =1（a > b> 0）的右焦點(diǎn)為F,右準(zhǔn)線為I.若過F且垂a b直于x軸的弦長(zhǎng)等于點(diǎn)F至I的距離，求此橢圓的離心率. 2已知長(zhǎng)方形ABCD, AB= 4, BC= 3,則以A、B為焦點(diǎn)，且過C、D兩點(diǎn)的橢圓的離心率）畫出草圖（）焦點(diǎn)，焦距（一十一 三1 ,求（123）頂25 9點(diǎn)，長(zhǎng)軸的長(zhǎng)，短軸的長(zhǎng)，（4）離心率，（5）左右準(zhǔn)線方程，（6）P是橢圓上動(dòng)點(diǎn)，則P到左焦點(diǎn)的距離最值.練習(xí) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）長(zhǎng)軸是短軸的 2倍，經(jīng)過點(diǎn)（4, 0） （2） 一個(gè)焦點(diǎn)為（2, 0）,經(jīng)過點(diǎn)（-3 ,0） （ 3） 一個(gè)焦點(diǎn)為（2,0）, 一條準(zhǔn)線方程為x=-4 （4）長(zhǎng)軸在x軸上，一條準(zhǔn)線方程是x 3 =,離心率為3（全國(guó)卷出）設(shè)橢圓的兩個(gè)焦