宏觀經(jīng)濟學分析方法系列：(課堂放映版、11碩已講)拓撲空間、不動點定理

1、附錄:宏觀經(jīng)濟學分析方法：不動點定理（09、10、11碩已講，2009年01月21日，精細訂正）我們開始討論不動點定理，那么什么是不動點定理？所謂不動點，就是使方程f（X）= X有解的點X，這里f可以是單變量函數(shù)，也可以是度量空間到自身上的映射。因為點X是在f的映射下固定不變的點，我們稱為不動點。所謂不動點定理就是描述方程f（X）= X的解的存在條件的定理。不動點的存在性問題就稱為 不動點問題，不動點定理由此得名。有許多不同的不動點定理 。其中一些是構(gòu)造性的，但大多數(shù)不是構(gòu)造性的，例如，最著名的布勞威爾不動點定理就不是構(gòu)造性的，布勞威爾不動點理只告訴我們不動點是存在 的，但沒有說明尋找不動點的

2、方法。在數(shù)學中，有許多類似描述解的存在性 定理，其中最著名的就是 代數(shù)基本定理 和微積分中的各種 中值定理，正如我們已經(jīng)看到的一樣，這樣的存在性定理在理論上和實際應用 中都是非常重要的。設(shè)想使用計算機去尋找近似解，如果我們知道解是存在的，我們就不 會無的放矢。(不講，跳過)事實上，不動點問題是普遍存在的，我們知道的許多問題都可以轉(zhuǎn)化為不動點問題。例如：設(shè)g:R“一 Rn是一個映射，我們欲解方程g(x) =0,其中x- Rn。這個問題就等價于不動點方程x g(x) = x 或 x 70g(x) = x ；更一般地，等價于xY(g(x) =x，式中G : Rn > Rn滿足，門(y)=0當且

3、僅當y=0。我們將介紹三個重要的不動點定理：巴拿赫(Banach)不動點定理，布勞威爾(Brouwer)不動點定理和角谷(Kakutani )不動點定理。一、壓縮映射與巴拿赫不動點定理我們首先介紹巴拿赫不動點定理，這個定理也稱為壓縮映射原理。這是一構(gòu)造性定理， 定理的證明提供一個構(gòu)造不動點的方法，這個方法稱為逐次逼近 法(即迭代法)。在介紹巴拿赫不動點定理之前，先引進 壓縮映射的概念。定義16.26 設(shè)(X, )是度量空間，f:XX是一個映射，如果對任意x，y X，有:?(f(x), f(y)乞 k'(x, y)( 16-14)其中0乞k ”：1，我們說f滿足李普希茨(Lipschit

4、z )條件，并稱為f為壓縮映射，稱k為 壓縮常數(shù)。雖然，壓縮映射是連續(xù)的，對于壓縮映射我們有：定理16.23 (巴拿赫不動點定理)設(shè)(X, 是完備度量空間，f：XX是一個壓縮映射，則f在X上存在唯一的不動點 X，任取X。 X，并令Xn二f(xnJ) (n二1,2-)， 有kn(1) '(Xn,X)(Xi，Xo)，1 -k(2) lim Xn =X，其中，k是壓縮常數(shù)。證明：先證明唯一性：設(shè)x, x X是f的兩個不動點，即f (x) =x, f (%)=為，f是壓縮映射。(x必)、(f(x), f (xj)乞 k(x,xj(相同)(相同)由于 0 一 k : 1，故：、(x, xj =0

5、，從而 X 二乂.再證明存在性：任取x0x，取 禺=珂人(n = 1,2,)(這就是 遞推式！)，根據(jù)李普希茨條件，有：(Xn 1,Xn) = '(f (Xn), f g)乞 k '(Xn,Xn4)= k(fg), f(Xn4)乞 k<?(Xn,Xn) 二 k2 (f (XnR, f (XnJ)二 s 二 knT(X1,x°) (n =1,2, )因此，對于任何 正整數(shù)m 時，由三角不等式 及李普希茨條件，得mJT(Xm,Xn)l、(Xm,XmJ TXm 丄,XmJ * ：、(Xn.1,Xn) = 7 珥冷1必) m)_(kml kmS川'kn) r(x

6、1,X0)= 'k1"(X1,X0)i蘭1-k1-k其中：；(X1, X0)_0，當且僅當X1=X0時取0，所以，(X1, X0)為非零定數(shù)，且0 一 k :： 1，n)時k r 0，故Xn是柯西序列，滿足柯西收斂準則，由于X是完備空間，存在x X，使得lim Xn = X，由連續(xù)性得lim f (Xn) = f (X)，于是n：(X, f (X) 一 ：(X,Xn J珥Xn i, f (X)"X,Xn.i)，(f(Xn), f(X)0 (n > ：)故f (X)二X。這就證明了不動點的存在性。k在不等式中，(Xm,Xn)乞(Xi，Xo)，令m ，即證得(1

7、)中的估計式。1 - k例16-25 設(shè)f : a,b > a,b, f'(x)存在，且| f'(x)恬k : 1，則根據(jù)微分中值定理，我們得f是區(qū)間a,b上的壓縮映射，所以f在區(qū)間a,b上有不動點。例16-26 考慮非線性積分方程1 tx(t)二 oe cos( x(s)ds (0 一 t 一 1),( 16-15)其中0：' ：1，應用壓縮映射原理，證明積分方程(16-15 )存在唯一的實值連續(xù)函數(shù)解x(t).證明 在連續(xù)函數(shù)空間 C0,1上，取距離為T(x(t),y(t) =0；Xi|x(t) -y(t)|,則C0,1是一個完備度量空間，定義映射f：C0,1

8、)C0,1,1Stf(x)=y(t) = 0e cos仇x(s)ds(0 蘭t 蘭 1).由于 0 ： 1，有| cos a- cos b I- - | a _ b |.設(shè) = f (xj，于是1 |y(t) %(t)國 oe | cos x(s) - cos x1 (s) | ds1t-: (x(t),X1(t) 0e ds-r(X(t),X1(t).于是，左邊取最大值，得 T(f(x), f(xj) r(X(t),X1(t)，故f是壓縮映射。由壓縮映射 原理，存在唯一的不動點x(t)，使得f(x) =x，即積分方程(16-15 )有唯一解x(t)。巴拿赫不動點定理的應用是非常廣泛的，它可以

9、很容易地導出非線性常微分方程解的存在唯一性定理，也可以導出隱函數(shù)定理。下面兩個例子說明定理的條件不滿足時，結(jié)論不成立。例16-27設(shè)X =R 是實數(shù)空間R的子空間，f:X > X,x > (X2 1)1/2.易見，f是連續(xù)的，滿足d(f(x), f (y) : d(x, y)，并且沒有不動點。例16-28 設(shè)X =(0,1 1是實數(shù)空間R的子空間，f:XX,x > -.顯然f是壓縮映射,4但沒有不動點。(想一想，為什么？)二、布勞威爾不動點定理布勞威爾不動點定理是現(xiàn)代數(shù)學中最重要的結(jié)果之一。它的敘述簡單，但證明卻很困 難，直觀上，任何人都能理解布勞威爾不動點定理的結(jié)論，其證明

10、通常需要在研究生的課 程代數(shù)拓撲中介紹。布勞威爾不動點定理在數(shù)學的許多分支中有大量的應用。例如：它是常微分方程理論中的基本工具，它在無限維空間上的推廣一肖德(Schauder)定理被用于偏微分方程和積分方程領(lǐng)域中，建立了許多重要的結(jié)果。在經(jīng)濟學領(lǐng)域，著名諾貝爾獎獲得者納什就是因 為用布勞威爾不動點定理證明了多人非合作對策的基本定理而獲獎的?，F(xiàn)在我們敘述布勞威爾不動點定理。定理16.24 (布勞威爾不動點定理)設(shè)f是n維單位球Dn到自身的連續(xù)映射，則至少存在D中的一點x，使得f (x ) = x .換句話說，Rn中的單位球到自身的連續(xù)映射必有一個不動點，用我們?nèi)粘５耐ㄋ渍Z言解釋是:設(shè)想有一杯牛奶

11、放在桌子上，輕輕地、連續(xù)地轉(zhuǎn)動幾下杯子使牛奶在杯中運動。當牛奶停止運動后，牛奶中至少有一點恰好回到它原來所在杯中的位置。對于n =1的情形，布勞威爾不動點定理為：如果f (x)是區(qū)間-1,1上的連續(xù)函數(shù)，且滿足-仁f(x)叮，則存在x -1,1，使得f(x*)二X*.此時，對函數(shù)f(x)-x利用連續(xù)函數(shù)零點定理易證。參見圖16-8 .必須注意，我們用到了所有的假設(shè)條件，如果有條件不滿足，則定理不成立，例如:函數(shù)f(x)=x_1在區(qū)間一1,1上沒有不動點，這里|f(x)|1不成立；另外設(shè)分段定義函數(shù)g(x)二0.5x(x = 0)，且g(0) = 1，則g(x)也沒有不動點，這時 g(x)不連續(xù)

12、。_ 2對于n =2的情形，布勞威爾不動點定理成為：單位圓盤D上到自身的連續(xù)映射，必有一點X： D2，其映象為自己。同樣，如果有條件不滿足，則定理不成立，還有一點需要 注意，如果把D2換成其他區(qū)域，定理也可能不成立。 例如：在圓環(huán)xR2 |0.5勻 上，繞原點旋轉(zhuǎn)(0 ： r ：2二)角度的旋轉(zhuǎn)映射沒有不動點，如圖16-9 .布勞威爾不動點定理的證明方法有很多，大都需要代數(shù)拓撲或微分形式的結(jié)論。我們 將介紹一個初等的證明，在給出勞威爾不動點定理的證明之前，先作一些說明。設(shè)X是一個度量空間，如果任意X到自身的連續(xù)映射均有不動點，則稱X具有不動點性質(zhì)，我們有引理16.3 設(shè)X與Y同胚，則如果 X具

13、有不動點性質(zhì)，那么 Y也具有不動點性質(zhì)。證明 設(shè)h : X > Y是同胚映射，且X具有不動點性質(zhì)，如果g是Y到其自身的連續(xù) 映射，那么hgh是X到自身的連續(xù)映射，見下面 交換圖表。依 假設(shè)，存在 x° X ，使得(h'gh)(x0)= X。，即 h(x°) = g(h(x。).令 y° =h(x0) 丫，則有g(shù)(y°) = y°，即丫也具有不動點性質(zhì)。根據(jù)定理16.14，Rn中的任意凸體與某一個Dm(mn)同胚。因此，如果布勞威爾不動點定理成立，則 Rn中的任意凸體具有不動點性質(zhì)。事實上，我們將對一類特殊的凸體證 明其具有不動點性

14、質(zhì)，從而證明布勞威爾不動點定理。設(shè) Rn 中 m 1 個點v0,v,v2,vmRn 是幾何無關(guān)的，即V1-V°,V2- V。,Vm- V。線性無關(guān)，我們稱 Rn的子集二X=X°V0 XMXmVm | 人 一 0, X。Xm = 1為一個m維單形，記作厶-Vo,ViV2, ,vm ；常數(shù)Xo,Xi,X2,，Xm稱為點X的重心 坐標，點Vo,Vi,V2, ,Vm稱為單形厶的頂點。根據(jù)定義，容易證明，單形中任意一點重心坐標是唯一的；任意單形都是凸體。以單形=: Vo,Vi ,V2,Vm 的部分頂點Vio ,Vii，如定義的k維單形Vi0,vM,vik稱為.i的一個k維面。易見，如

15、果 x : Vi0,VM,Vik ，則X的重心坐標滿足X = 0 (i = i°1,，i k)，(16-16)所以當k : m時，k維面中的點都是單形.:的邊界點。顯然，一個m維單形有Cl；個不同的k維面。依定義可見，一維單形是線段，二維單形是三角形，三維單形是四面體，如圖16-10所示，從定理16.14的證明中，可以看出m維單形與Dm同胚，我們將證明布勞威爾不動點定理的一個簡單形式。定理16.25任意單形具有不動點性質(zhì)。以下的討論都是在給定m維單形： = Vo,V1,V2 / ,Vm 內(nèi)進行的，設(shè)f是厶到自身的連續(xù)映射，我們用 f0(x), f1(x), f2(x),fm(x)表示

16、f (x)的重心坐標。引理16.4 X*是f的不動點，當且僅當Xi* - fi(x*)(i =0,1,2,m).( 16-17)* *證明 如果X是不動點，則X二f(x )，于是X和f(x )有相同的重心坐標，即X* = fi(x*)(i =0,1,2, ,m)，( 16-18)顯然不等式(16-17 )成立；反之，如果不等式(16-17 )成立，則由于對任意 X，有mm' Xi =1 八 fi(x),( 16-19)i =0i =0即得式(16-18 )也成立。根據(jù)引理16.4，我們證明定理16.25的思路是：假設(shè)f沒有不動點，即任意點都是 f 的動點，不滿足不等式(16-17)，然

17、后找到一點x*滿足不等式(16-17)，矛盾，由此證明 不動點定理成立。為此需要研究動點重心坐標的性質(zhì)。設(shè)X是一動點，即f(X)= X，則依等式(16-19)，存在0叮乞m，使得Xifj (x)。我們定義映射 f在X處的指數(shù)I(x)是滿足重心坐標嚴格不等式的最小下標，即l(x) =mini |Xjfj (x).( 16-20)引理16.5 如果X是k維面：:Vi0,Vi1,，Vik 中的點，則有l(wèi)(x) io,h,，ik.此時, 我們說指數(shù)I(x)滿足邊界條件。證明 由式(16-16)，當i門01,ik時，有Xi =0乞fi(x)，故根據(jù)指數(shù)的定義，l(x) 只能取dh,，ik其中之一，圖16

18、-11是m=2的情形。F面考察單形 也的n重分。對于任意正整數(shù)n和非負整數(shù)k0,k1,k2"1 ,km，滿足k。k2km =n.1取點v(n) = (k0v0 +心切+k2v2十+kmvm)EA.這樣我們得到個點，由這些點n為頂點可以得以nm個大小相同的 m維小單形，這些小單形只可能在它們的邊界上相交，它們就像細胞一樣，一個緊貼一個，組成整個單形:，因此我們稱這些小單形為單形:的胞 腔。如圖16-12，這是m =2, n=4的情形。設(shè)單形 厶的直徑是d，在厶的n重分中，每個胞腔的直徑是 -，即當nr胞腔的直徑趨于零。n現(xiàn)在我們來做一個填數(shù)字的游戲：對于厶的n重分中每個頂點x，從0,1

19、,2 - ,m中選一個數(shù)字，填在該點上，稱為x的指數(shù)，記作l(x).對于已經(jīng)定義指數(shù)的單形，如果某一胞腔在其m 1個頂點處的指數(shù)取遍所有數(shù)字0,1,2，,m，那么就稱這個胞腔是全指數(shù)的。如圖16-13所示，陰影胞腔是全指數(shù)的。 一般來說，全指數(shù)胞腔不一定存在，但上面引理16.5中定義的邊界條件下，全指數(shù)胞腔一定存在，這就是 斯潘納(Sperner )引理。引理16.6 (斯潘納引理)設(shè).:v0,v1,v2 ,vm 是m維單形,)為厶的n重分;并且l(x)表示在.半)中所有頂點x上的指數(shù)，滿足條件：如果 XVi0,Vi1, ,Vik -，有 l(x) io,h； ,ik,則存在一個全指數(shù)胞腔。證

20、明 事實上，我們將證明全指數(shù)胞腔的個數(shù)是奇數(shù)。我們稱 =(n)中任意一個胞腔的每個k維面為k維子胞腔。如果 人是一個k維子胞腔，其k 1個頂點的指數(shù)分別是1。，丨1,12,，Ik，則稱厶k的類型為(10,丨1,丨2,k)，記作= k(I0,I1,I2, I k )這里不考慮I j的順序，需要考慮某一值重數(shù)。例如：(2,1,0,0)珂0,1,2,0) =(2,0,0,1)= (0,1,2,2).我們用N(I°,I1,I2,Ik)表示"=(n)中類型為(I°,I1,I2,Ik)的k維子胞腔的個數(shù)，我們要證：N(0,1,2,m)=奇數(shù).當m =1時，一維胞腔的面是其端點

21、。 設(shè)是珍上一維胞腔，如果的類型是(0,0 ), 則其兩個端點的指數(shù)均是 0;如果也1的類型是(0,1 ),則一個端點的指數(shù)是 0,另一個端 點的指數(shù)是1;如果 冷的類型是(1,1)，則兩個端點的指數(shù)均是 1。因此，2N(0,0)N(0,1)表示指數(shù)為零的頂點出現(xiàn)在所有胞腔中總的次數(shù)。但如果指數(shù)為零的頂點是單形.:的內(nèi)點，則該頂點恰是兩個胞腔的端點，即出現(xiàn)兩次；如果是 二的邊界點，則只出現(xiàn)在一個胞腔中， 即出現(xiàn)一次，邊界只有一個指數(shù)為零，故2N(0,0)N(0,1) -2Ni(0) 1,( 16-21)式中M(0)表示指數(shù)為零的內(nèi)部頂點個數(shù)。這說明 N(0,1)是奇數(shù)。圖16-14是一個5 重

22、分的例子，這里N(0,0)=1,N(0,1)=3,Nj(0) = 2，滿足式(16-21)，故全指數(shù)胞腔有三 個(用粗線段表示)。下面考察一般情形，如果胞腔.-：m的類型是(0,1，m-1,k)，其中0_k_m-1，則它有兩個類型為(0,1, ,m-1)的面：如果.-：m的類型是(0,1, m1,m)，則它有一個類型為(0,1, ,m -1)的面。因此，m AS =2、N(0,1, ,m -1, k) N(0,1, ,m-1,m)k=0表示類型為(0,1，m-1)的子胞腔.-：mJ在所有胞腔中出現(xiàn)的次數(shù)總和。如果.-：mJ在人的內(nèi)部，則它是兩個胞腔的面：如果咕在人的邊界，則它只是一個胞腔的面，

23、故S=2Ni(0,1； ,m-1) Nb(0,1/ ,m-1),式中叫(0,1，m-1),表示類型為(0,1 / ,m-1)的內(nèi)部子胞腔的個數(shù)，2(0,1，m-1),表示類型為(0,1，,m -1)的邊界子胞腔的個數(shù)。根據(jù)邊界條件，類型為(0,1，m-1)的邊界子胞腔只能出現(xiàn)在：:v0,v,v2,，vmj內(nèi)。由此利用歸納法原理，可得Nb(0,1，m-1)是奇數(shù)，故N(0,1，,m)也是奇數(shù)。現(xiàn)在我們可以證明布勞威爾不動點定理。布勞威爾不動點定理的證明設(shè)f是單形厶到自身的連續(xù)映射，且沒有不動點，則對于任意X 厶，則式(16-20 )定義的指數(shù)|(x)是有意義的，并且滿足邊界條件，根據(jù)斯潘 納定理

24、，對于任意整數(shù)n，在厶的n重分.-;(n)中存在一個胞腔是全指數(shù)胞腔，設(shè)其頂點為x(n)(0),x(n)(1),x(n)(2), ,x(n)(m)，滿足l(x(n)(k)二k(k =0,1,m).由指數(shù)的定義，我們知道：xkn)(k) fk(x(n)(k) (k=0,1,m)，( 16-22)并且由于當n二時，胞腔的直徑是趨于零的，故nim：0；ax_m|X(n)(k)X(n)(l)| > 0.(16-23)考察序列x(n) (0)，由于是緊集，存在收斂子列x(nr) (0) x*(r )，由式(16-23) 得，n睪x(nr)(k)T x* (k=0,1，,m).由連續(xù)性，得f(x(n

25、r)(k)r f(x*)(r-')，注意x的重心坐標是點x的連續(xù)函數(shù)， 由此在不等式(16-22 )中，取n =nr，并令r ，得關(guān)于坐標的不等式xk - fk(x*) (k =0,1,m).故由引理16.4得，x二f(X)，我們完成了布勞威爾不動點定理的證明。三、角谷不動點定理許多經(jīng)濟學家都引用過角谷不動點定理，但角谷不動點定理對我們來說是全新的，這里由于它涉及的對象不是通常的映射，而是一種被稱為集值映射 的對應。定義16.27 設(shè)X和Y為任意集合，如果對每個 XX，總有一個確定的非空子集合 (X)二Y與之對應，則稱 為從X到Y(jié)的集值映射，記作:X .Y.一個直觀的例子是， 對某個學

26、校的每一個學生X, (X)表示由X知道姓名的人組成的集合。在經(jīng)濟學中集值映射是非常重要的概念。許多問題的解往往不止一個，因此經(jīng)濟學家必須討論集值映射而不是函數(shù)，我們以前討論的映射都是集值映射的特例。設(shè)集值映射： X二丫，則X Y的子集合G()=(x,y)|y(X)稱為的圖像，如圖16-15。另一方面，X Y中的每個子集 A確定了一個關(guān)系 G："(X)二y |(x, y) A如果對于每一個xX,G(x)=G,則門是X到Y(jié)的一個集值映射。為了討論不動點的存在性，我們必須討論集值映射的連續(xù)性。直觀上說，連續(xù)是指當x在一個很小的范圍內(nèi)變化，因變量集合(x)也應該在很小的范圍內(nèi)變化，我們用距離

27、來描述遠近和范圍，因此在下面的討論中均假設(shè)X和Y是度量空間。定義16.28 設(shè):X Y是集值映射，x X，如果對于X中任意收斂于xo的序列 Xn，當y (xn)，且yn收斂于y°時，則有y (xo)，我們就稱在xo處上半連續(xù)； 如果在每個X，X處都是上半連續(xù)的，則稱集值映射 是上半連續(xù)的。根據(jù)定義，容易證明集值映射:X Y是上半連續(xù)的當且僅當其圖像G()是X Y的閉集，上半連續(xù)可以看作是函數(shù)連續(xù)概念的推廣。事實上，如果f:X > Y是單值映射，且 Y是緊集，則f連續(xù)的充分必要條件是其圖像G(f )為X 丫的閉集，必要性是顯然的，下面我們證明充分性，設(shè)G(f)是X Y的閉集，任給

28、Xo X和收斂于xo的序列Xn，令yn二f (Xn)，且丫0二f(X°)，則(Xn, yn )是 G(f)中的序列，由于 Y是緊集，yn存在一收斂子列 ynr，設(shè)其收斂點為 y，于是 (Xnr , ynr )收斂于(Xo,y)，依照設(shè)，(Xo,y)G(f)，故 y= f (Xo)= y°.同理，可得佃的 任意收斂子列都收斂于 yo，因此yn收斂于yo,故f是連續(xù)的。要注意：當Y不是緊集時，圖像為閉集的函數(shù)不一定連續(xù)，例如:I1, xhOf(X)= x'0,x = 0的圖像是R R中的閉集，但f在x=0不連續(xù)?，F(xiàn)在我們可以敘述角谷不動點定理。定理16.26 (角谷不動

29、點定理)設(shè)X RN是凸集，集值映射:X ；Y是上半連續(xù)的，并且對每個X，集值(x)是凸集，則存在X： X，使得x(x*)。證明 我們首先證明當X是rn中的m維單形的情形。設(shè)X =vo ,V1, v2,vm ，在其n重分.(n)上定義映射f(n)： .$)_；二(n)如下:當X是任意胞腔的頂點時，取f(x)等于(X)中的一點；如果 X不是任何胞腔的頂點，而是某一胞腔 v0n),v1(n) ,v2n),vmn)- 中的點，設(shè)其重心坐標是(晉1(n),叨)，第)，即m.(n) (n)X-iVii =0m、計n =1.i =0(16-24)記 y(n)=f(n)(Vi(n)(i =0,1,m)，定義m f (n)(x)八i =0(16-25)注意，當X在兩個胞腔的公共面時，由兩個胞腔定義的f (n)(x)是一致的，因此f(n)是(n)映射，顯然，f( n)在每個胞腔上是連續(xù)的，依粘接定理得f(n)是X上的連續(xù)映射。根據(jù)布15#勞威爾定理，存在x(n X，使得(