三重積分習題課ppt課件

1、三重積分習題課三重積分習題課重點：重點：1.計算；計算； 2.應用應用 上邊界曲面上頂）上邊界曲面上頂）xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ),(yx dvzyxf),(.),(),(),(21 xyDyxzyxzddzzyxf 下邊界曲面下底）下邊界曲面下底）xOy 坐標面上的投影區(qū)域坐標面上的投影區(qū)域一、利用直角坐標系計算三重積分一、利用直角坐標系計算三重積分 “先一后二先一后二”（一先投影，再確定上、下面（一先投影，再確定上、下面 x0z yc1c2 d21ccz ()d dzDf x, y,zx y .zDz （二坐標軸投影法（二坐標軸投影法zyxzyxfI

2、ddd ),( zDyxczczyx ),( ,| ),(21c1, c2: 向向 z 軸的投影區(qū)間軸的投影區(qū)間 Dz : 過過 zc1, c2且垂且垂于于z軸軸的平面截的平面截 得到的截得到的截面面 0 xz yM(x, y, z)M(r, z)zrP(x, y, 0) cosrx xyz sinry 柱面坐標柱面坐標 M(x, y, z) M(r, , z) z = z. 二、利用柱面坐標計算三重積分二、利用柱面坐標計算三重積分xz y0 drrrddz底面積底面積 ：r r drddrd元素區(qū)域由六個坐標面圍成：元素區(qū)域由六個坐標面圍成：半平面半平面 及及 +d ; 半徑為半徑為 r 及

3、及 r+dr 的圓柱面；的圓柱面； 平面平面 z及及 z+dz；dz ),sin,cos(zrrf dV =zrrddd .柱面坐標下的體積元素柱面坐標下的體積元素.zyxzyxfddd),( dVzrrddd 0 xz yM(x, y, z)M(r, , )r Pyxz. cos sinrx sin sinry cosrz .球面坐標球面坐標 三、利用球面坐標計算三重積分三、利用球面坐標計算三重積分r drdxz y0 drd元素區(qū)域由六個坐標面圍成：元素區(qū)域由六個坐標面圍成：rsind球面坐標下的體積元素球面坐標下的體積元素.半平面半平面 及及 +d ； 半徑為半徑為r及及r+dr的球面；

4、的球面；圓錐面圓錐面 及及 +d zyxzyxfddd ),( r 2 sin drd d dVdV = dddsin)cos,sinsin,cossin(2rrrrrf ( (一一) )平面區(qū)域的面積平面區(qū)域的面積設有平面區(qū)域設有平面區(qū)域D, DD d( (二二) )體積體積 設曲面方程為設曲面方程為.),( , 0),(Dyxyxfz 則則D上的曲頂柱體體積為上的曲頂柱體體積為: DyxfV d),(則其面積為則其面積為:占有空間有界域占有空間有界域的立體的體積為的立體的體積為: : zyxVddd重積分在幾何上的應用重積分在幾何上的應用),(yxfz ( (三三) )曲面的面積曲面的面積

5、221dxyxyDAff(1) (1) 平面薄片的質(zhì)心平面薄片的質(zhì)心重積分在物理上的應用重積分在物理上的應用( (一一) )質(zhì)質(zhì)( (重重) )心心,d),(d),( DDyyxyxxMMx DDxyxyxyMMy d),(d),(2) (2) 空間物體的質(zhì)心空間物體的質(zhì)心 ,d),(d),( VzyxVzyxxMMxyz ,d),(d),( VzyxVzyxyMMyzx VzyxVzyxzMMzxyd),(d),( DyyxI d),( (1) (1) 平面薄片的轉動慣量平面薄片的轉動慣量 DxyxI d),( DoyxI d),( 2y2x)(22yx ( (二二) ) 轉動慣量轉動慣量

6、vzyxIxd),( )(22zy (2)(2)空間物體的轉動慣量空間物體的轉動慣量則轉動慣量為則轉動慣量為 vzyxIyd),( )(22zx vzyxIzd),( )(22yx vzyxId),(0 )(222zyx 設物體占有空間域設物體占有空間域 , ,有連續(xù)密度函數(shù)有連續(xù)密度函數(shù)),(zyx 設物體占有空間區(qū)域設物體占有空間區(qū)域V, 體密度為體密度為),(zyx 區(qū)域區(qū)域 V 之外有一質(zhì)量為之外有一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點的質(zhì)點 A(a, b, c), 求物體求物體 V 對質(zhì)點對質(zhì)點 A 的引力的引力.( (三三) ) 引力引力其中其中G為萬有引力系數(shù)。為萬有引力系數(shù)。 引力引力F在三個坐

7、標方向上的分量為在三個坐標方向上的分量為,)(,(3dvraxzyxmGFVx ,)(,(3dvrbyzyxmGFVy .)(,(3dvrczzyxmGFVz 三重積分可以用三重積分可以用 直角坐標、柱面坐標和球面坐標直角坐標、柱面坐標和球面坐標來計算來計算. . 其方法都是將三重積分化為三次積分其方法都是將三重積分化為三次積分. . 三重積分的計算三重積分的計算將三重積分化為三次積分關鍵：將三重積分化為三次積分關鍵： 根據(jù)被積函數(shù)和積分域選擇合適的坐標系根據(jù)被積函數(shù)和積分域選擇合適的坐標系; 畫出投影域、確定積分序畫出投影域、確定積分序; 定出積分限、計算要簡便定出積分限、計算要簡便 .z

8、0 xy1r=2 cos4 .M.: 20 40 r cos20 r例例1 1所所圍圍成成的的與與由由其其中中，計計算算222211)(yxzyxzdvzx 例例1 1所所圍圍成成的的與與由由其其中中，計計算算222211)(yxzyxzdvzx 解解利用球面坐標利用球面坐標奇奇函函數(shù)數(shù)，的的為為面面為為對對稱稱，關關于于xxzyxfyoz ),(. 0 xdv有有 zdvdvzx)( 2cos024020sincosdrrrdd.67 z =0y = 0 x =00y x 畫圖畫圖x0z y1121DxyDxy: x = 0, y = 0, x+2y =1 圍成圍成：上頂上頂yxz21 ：下

9、底下底121 21 010d)21(dxyyxxx481 .例例2 2：x + 2y + z =1Dxy. 1 z 2yx0 z , 0 y0, x ddd 圍圍成成及及由由，其其中中計計算算三三重重積積分分 zyxxI yxDzxyxxy210dddI =0 zx0z y111Dyz21 1-(1-)00d(1)(1)dyy-zyyyz eze41 .例例3 3：x + y + z =1.d)1(2)1(101010yeydzdxIzyzxx 計計算算三三重重積積分分 zyzyDxeyzyyz10)1(d)-1(dd2I = 解解 直接積分困難，考慮改變積分次序直接積分困難，考慮改變積分次序

10、 zyzyyxeydzdy10)1(1010d)-1(2dyeyy)1(212)-(1-10 為方便為方便采用先二后一法較采用先二后一法較為圓域為圓域的函數(shù)，截面的函數(shù)，截面被積函數(shù)僅為被積函數(shù)僅為又又)(zDz例例4 4.2:)(2222222所所圍圍的的公公共共部部分分與與，計計算算RzzyxRzyxdvxz 解解面為對稱，面為對稱，關于關于 yoz . 0 xdvzD1zD2Rzyxo2R dvzI2 202:2222RzRzyxDzdxdydzz RRzRyxDzdxdydzz2:22222.480595R a所所圍圍成成立立體體的的表表面面積積. .與與旋旋轉轉拋拋物物面面半半球球面

11、面 2 3 22222azyxyxaz 求求yxzo例例5 5xyzoDS =1S2S D : azyxyxaz2322222a2 02 222zayx即即2S2S2S1S.1S.例例5 5所所圍圍成成立立體體的的表表面面積積. .與與旋旋轉轉拋拋物物面面半半球球面面 2 3 22222azyxyxaz 求求 azyxyxaz2322222 02 : 222zayxD即即dxdyzzSyxD2211 .例例5 5所所圍圍成成立立體體的的表表面面積積. .與與旋旋轉轉拋拋物物面面半半球球面面 2 3 22222azyxyxaz 求求 解解 Ddxdyyxaa22233 ardrrada20222

12、0313 2)13(32a dxdyayaxSD222)()(1 ardrrada2022201 2)3232(a S =21SS 2316a xyzO解解先算前面部分的面積先算前面部分的面積A1由由 zzy222 22zzy ,212zzzyz , 0 xy222211zzyyzx 求交線求交線 求柱面求柱面zzy222 222xzy 222222xzyzzy所截剩下部分的面積所截剩下部分的面積.被錐面被錐面zx2例例8 8xyzxzzzzd21222 20dz8 1621 AAzx22 222211zzyyzx zxzzzxyyAxzxzDDzxdd21dd12221 xzO2,ddd)(

13、1lim, 0)0(0)(22240zyxzyxftfxxft 求求極極限限處處可可導導，且且在在設設.:2222tzyx 其其中中解解zyxzyxfddd)(222 球球rrfrd)(dsind2 rrfrtd)(402 0t 00 2xyzOttt例例9 9zyxzyxfttddd)(1lim22240 4020d)(4limtrrfrtt 3204)(4limttftt tftft)0()(lim0 )0(f 000)0(f軸軸旋旋轉轉一一周周而而成成繞繞是是由由曲曲線線設設zzyx 202 圍圍成成的的空空間間區(qū)區(qū)域域，的的曲曲面面與與平平面面4 z.d)(22vzyx 求求解解 zyx202由曲線由曲線zyx222 柱面坐標柱面坐標,cos x,sin y, zz zvdddd 例例1010旋轉曲面方程為旋轉曲面方程為軸旋轉一周而成的軸旋轉一周而成的繞繞zvzyxd)(22 22 480 20 d21d804423202 rzz 3256 4222zzyx由由8:22 yxDzyx222 旋轉曲面方程旋轉曲面方程zz d)(dd2測測 驗驗 題題A B B C z = 0的的重重心心求求均均勻勻半半球球體體 0 , : 2222 zazyxyxzo yx 則則,zyx)，（設重心為設重心為 zyxzVz ddd1球面坐標