專題3：動態(tài)幾何之定值問題探討

1、【2013年中考攻略】專題3：動態(tài)幾何之定值問題探討動態(tài)題是近年來中考的的一個熱點(diǎn)問題，動態(tài)包括點(diǎn)動、線動和面動三大類，解這類題目要“以靜制動”，即把動態(tài)問題，變?yōu)殪o態(tài)問題來解，而靜態(tài)問題又是動態(tài)問題的特殊情況。常見的題型包括最值問題、面積問題、和差問題、定值問題和存在性問題等。前面我們已經(jīng)對最值問題、面積問題、和差問題進(jìn)行了探討，本專題對定值問題進(jìn)行探討。結(jié)合2011年和2012年全國各地中考的實(shí)例，我們從三方面進(jìn)行動態(tài)幾何之定值問題的探討：（1）線段（和差）為定值問題；（2）面積（和差）為定值問題；（3）其它定值問題。一、線段（和差）為定值問題：典型例題：例1：（2012黑龍江綏化8分）如

2、圖，點(diǎn)E是矩形ABCD的對角線BD上的一點(diǎn)，且BE=BC，AB=3，BC=4，點(diǎn)P為直線EC上的一點(diǎn)，且PQBC于點(diǎn)Q，PRBD于點(diǎn)R（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P為線段EC中點(diǎn)時，易證：PR+PQ= （不需證明）（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P為線段EC上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)E、點(diǎn)C重合）時，其它條件不變，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P為線段EC延長線上的任意一點(diǎn)時，其它條件不變，則PR與PQ之間又具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想【答案】解：（2）圖2中結(jié)論P(yáng)RPQ=仍成立。證明如下：連接BP，過C點(diǎn)作CKBD于點(diǎn)K。四邊形ABCD為矩形，BCD=9

3、0°。又CD=AB=3，BC=4，。SBCD=BCCD=BDCK，3×4=5CK，CK=。SBCE=BECK，SBEP=PRBE，SBCP=PQBC，且SBCE=SBEPSBCP，BECK=PRBEPQBC。又BE=BC，CK=PRPQ。CK=PRPQ。又CK=，PRPQ=。（3）圖3中的結(jié)論是PRPQ=【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)，三角形的面積，勾股定理。【分析】（2）連接BP，過C點(diǎn)作CKBD于點(diǎn)K根據(jù)矩形的性質(zhì)及勾股定理求出BD的長，根據(jù)三角形面積相等可求出CK的長，最后通過等量代換即可證明。（3）圖3中的結(jié)論是PRPQ=125 。連接BP，SBPESBCP=SBEC，SBEC

4、 是固定值，BE=BC 為兩個底，PR，PQ 分別為高，從而PRPQ=。例2：（2012江西省10分）如圖，已知二次函數(shù)L1：y=x24x+3與x軸交于AB兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊），與y軸交于點(diǎn)C（1）寫出二次函數(shù)L1的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）研究二次函數(shù)L2：y=kx24kx+3k（k0）寫出二次函數(shù)L2與二次函數(shù)L1有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì)；是否存在實(shí)數(shù)k，使ABP為等邊三角形？如果存在，請求出k的值；如不存在，請說明理由；若直線y=8k與拋物線L2交于E、F兩點(diǎn)，問線段EF的長度是否發(fā)生變化？如果不會，請求出EF的長度；如果會，請說明理由【答案】解：（1）拋物線，二次函數(shù)L1的開

5、口向上，對稱軸是直線x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)（2，1）。（2）二次函數(shù)L2與L1有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì)：對稱軸為x=2；都經(jīng)過A（1，0），B（3，0）兩點(diǎn)。存在實(shí)數(shù)k，使ABP為等邊三角形，頂點(diǎn)P（2，k）A（1，0），B（3，0），AB=2要使ABP為等邊三角形，必滿足|k|=，k=±。線段EF的長度不會發(fā)生變化。直線y=8k與拋物線L2交于E、F兩點(diǎn)，kx24kx+3k=8k，k0，x24x+3=8。解得：x1=1，x2=5。EF=x2x1=6。線段EF的長度不會發(fā)生變化?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形?！痉治觥浚?）拋物線y=ax2+bx+c

6、中：a的值決定了拋物線的開口方向，a0時，拋物線的開口向上；a0時，拋物線的開口向下。拋物線的對稱軸方程和頂點(diǎn)坐標(biāo)，可化為頂點(diǎn)式或用公式求解。（2）新函數(shù)是由原函數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)同時乘以k所得，因此從二次函數(shù)的圖象與解析式的系數(shù)的關(guān)系入手進(jìn)行分析。 當(dāng)ABP為等邊三角形時，P點(diǎn)必為函數(shù)的頂點(diǎn)，首先表示出P點(diǎn)縱坐標(biāo)，它的絕對值正好是等邊三角形邊長的倍，由此確定k的值。聯(lián)立直線和拋物線L2的解析式，先求出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，從而可表示出EF的長，若該長度為定值，則線段EF的長不會發(fā)生變化。例3：（2012山東德州12分）如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、

7、點(diǎn)D重合）將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH（1）求證：APB=BPH；（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動時，PDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；（3）設(shè)AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由【答案】解：（1）如圖1，PE=BE，EBP=EPB又EPH=EBC=90°，EPHEPB=EBCEBP，即PBC=BPH。又ADBC，APB=PBC。APB=BPH。（2）PHD的周長不變?yōu)槎ㄖ?。證明如下：如圖2，過B作BQPH，垂足為Q。由（1）知A

8、PB=BPH，又A=BQP=90°，BP=BP，ABPQBP（AAS）。AP=QP，AB=BQ。又AB=BC，BC=BQ。又C=BQH=90°，BH=BH，BCHBQH（HL）。CH=QH。PHD的周長為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。（3）如圖3，過F作FMAB，垂足為M，則FM=BC=AB。又EF為折痕，EFBP。EFM+MEF=ABP+BEF=90°。EFM=ABP。又A=EMF=90°，AB=ME，EFMBPA（ASA）。EM=AP=x在RtAPE中，（4BE）2+x2=BE2，即。又四邊形PEFG與四邊形BEFC全等

9、，。，當(dāng)x=2時，S有最小值6?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問題），正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的最值?！痉治觥浚?）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出PBC=BPH，進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)得出APB=PBC即可得出答案。（2）先由AAS證明ABPQBP，從而由HL得出BCHBQH，即可得CH=QH。因此，PDH的周長=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8為定值。（3）利用已知得出EFMBPA，從而利用在RtAPE中，（4BE）2+x2=BE2，利用二次函數(shù)的最值求出即可。例4：（2012福建泉州12分）已知：A、B、C不在同一直線上.（1）若點(diǎn)A、B、

10、C均在半徑為R的O上，i）如圖一，當(dāng)A=45°時，R=1，求BOC的度數(shù)和BC的長度； ii）如圖二，當(dāng)A為銳角時，求證sinA= ；（2）.若定長線段BC的兩個端點(diǎn)分別在MAN的兩邊AM、AN（B、C均與點(diǎn)A不重合）滑動，如圖三，當(dāng)MAN=60°，BC=2時，分別作BPAM，CPAN，交點(diǎn)為點(diǎn)P ，試探索：在整個滑動過程中，P、A兩點(diǎn)的距離是否保持不變？請說明理由. 【答案】解：（1）i）A=45°， BOC=90°（同弧所對的圓周角等于其所對的圓心角的一半）。又R=1，由勾股定理可知BC=。 ii）證明：連接BO并延長，交圓于點(diǎn)E，連接EC。 可知E

11、CBC（直徑所對的圓周角為90°）， 且E=A（同弧所對的圓周角相等）。 故sinA=sinA=。 （2）保持不變。理由如下：如圖，連接AP，取AP的中點(diǎn)K，連接BK、CK，在RtAPC中，CK=AP=AK=PK。同理得：BK=AK=PK。CK=BK=AK=PK。點(diǎn)A、B、P、C都在K上。由（1）ii）sinA=可知sin60°=。AP=（為定值）。【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心，圓周角定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，直角三角形中線性質(zhì)?！痉治觥浚?）i）根據(jù)圓周角定理得出BOC=2A=90°，再利用勾股定理得出BC的長；ii）作直徑CE，則E

12、=A，CE=2R，利用sinA=sinE= ，得出即可。（2）首先證明點(diǎn)A、B、P、C都在K上，再利用sinA= ，得出AP= （定值）即可。例5：（2012山東濰坊11分）如圖，已知拋物線與坐標(biāo)軸分別交于A(2，O)、B(2，0)、C(0，l)三點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線y=kx與拋物線交于M、N兩點(diǎn)分別過點(diǎn)C、D(0，2)作平行于x軸的直線、 (1)求拋物線對應(yīng)二次函數(shù)的解析式； (2)求證以O(shè)N為直徑的圓與直線相切； (3)求線段MN的長(用k表示)，并證明M、N兩點(diǎn)到直線的距離之和等于線段MN的長【答案】解：（1）設(shè)拋物線對應(yīng)二次函數(shù)的解析式為y=ax2bxc，則 解得。拋物線對應(yīng)二次函數(shù)

13、的解析式 所以。 （2）設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，因?yàn)辄c(diǎn)M、N在拋物線上， ，x22=4(y2+1)。又，。又y2l，ON=2y2。設(shè)ON的中點(diǎn)E，分別過點(diǎn)N、E向直線作垂線，垂足為P、F， 則 ，ON=2EF，即ON的中點(diǎn)到直線的距離等于ON長度的一半，以O(shè)N為直徑的圓與相切。（3）過點(diǎn)M作MHNP交NP于點(diǎn)H，則，又y1=kx1，y2=kx2，（y2y1)2=k2(x2x1)2。MN2=(1+k2)(x2一xl)2。又點(diǎn)M、N既在y=kx的圖象上又在拋物線上，即x24kx4=0，x2x1=4k，x2·x1=4。MN2=(1+k2)(x2一xl)2=(1+k2) (x2

14、xl)24x2·xl =16(1+k2)2。MN=4(1+k2)。延長NP交于點(diǎn)Q，過點(diǎn)M作MS交于點(diǎn)S，則MSNQ=y12y22= MS+NQ=MN，即M、N兩點(diǎn)到距離之和等于線段MN的長?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，中點(diǎn)坐標(biāo)的求法，直線與圓相切的條件，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，勾股定理?！痉治觥浚?）根據(jù)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系，用待定系數(shù)法即可求出拋物線對應(yīng)二次函數(shù)的解析式。（2）要證以O(shè)N為直徑的圓與直線相切，只要證ON的中點(diǎn)到直線的距離等于ON長的一半即可。（3）運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出MN和M、N兩點(diǎn)到直線的距離

15、之和，相比較即可。例6：（2012湖北咸寧10分）如圖1，矩形MNPQ中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在NP，PQ，QM，MN上，若，則稱四邊形EFGH為矩形MNPQ的反射四邊形圖2，圖3，圖4中，四邊形ABCD為矩形，且AB=4，BC=8理解與作圖：（1）在圖2，圖3中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，試?yán)谜叫尉W(wǎng)格在圖上作出矩形ABCD的反射四邊形EFGH計(jì)算與猜想：（2）求圖2，圖3中反射四邊形EFGH的周長，并猜想矩形ABCD的反射四邊形的周長是否為定值？啟發(fā)與證明：（3）如圖4，為了證明上述猜想，小華同學(xué)嘗試延長GF交BC的延長線于M，試?yán)眯∪A同學(xué)給我們的啟發(fā)證明（2）中的猜想【答案】解：

16、（1）作圖如下： （2）在圖2中， ，四邊形EFGH的周長為。 在圖3中，四邊形EFGH的周長為。猜想：矩形ABCD的反射四邊形的周長為定值。（3）延長GH交CB的延長線于點(diǎn)N，。又FC=FC，RtFCERtFCM（ASA）。EF=MF，EC=MC。同理：NH=EH，NB=EB。MN=2BC=16。，。GM=GN。過點(diǎn)G作GKBC于K，則。四邊形EFGH的周長為。矩形ABCD的反射四邊形的周長為定值?！究键c(diǎn)】新定義，網(wǎng)格問題，作圖（應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖），勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，作出相等的角即可得到反射四邊形。（2）圖2中，利

17、用勾股定理求出EF=FG=GH=HE的長度，然后即可得到周長，圖3中利用勾股定理求出EF=GH，F(xiàn)G=HE的長度，然后求出周長，從而得到四邊形EFGH的周長是定值。（3）延長GH交CB的延長線于點(diǎn)N，再利用“ASA”證明RtFCE和RtFCM全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EF=MF，EC=MC，同理求出NH=EH，NB=EB，從而得到MN=2BC，再證明GM=GN，過點(diǎn)G作GKBC于K，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出，再利用勾股定理求出GM的長度，然后即可求出四邊形EFGH的周長。例7：（2012廣西崇左10分）如圖所示，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上移動，但點(diǎn)A到EF的

18、距離AH始終保持與AB的長度相等，問在點(diǎn)E、F移動過程中；（1）EAF的大小是否發(fā)生變化？請說明理由.（2）ECF的周長是否發(fā)生變化？請說明理由.練習(xí)題：1. （2011湖南岳陽8分）如圖，將菱形紙片AB（E）CD（F）沿對角線BD（EF）剪開，得到ABD和ECF，固定ABD，并把ABD與ECF疊放在一起（1）操作：如圖，將ECF的頂點(diǎn)F固定在ABD的BD邊上的中點(diǎn)處，ECF繞點(diǎn)F在BD邊上方左右旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時FC交BA于點(diǎn)H（H點(diǎn)不與B點(diǎn)重合），F(xiàn)E交DA于點(diǎn)G（G點(diǎn)不與D點(diǎn)重合）求證：BHGD=BF2（2）操作：如圖，ECF的頂點(diǎn)F在ABD的BD邊上滑動（F點(diǎn)不與B、D點(diǎn)重合），且CF始終

19、經(jīng)過點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AGCE，交FE于點(diǎn)G，連接DG探究：FD+DG= 請予證明2. （2011四川眉山11分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，1），B（4，4），將點(diǎn)B繞點(diǎn)A順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)C；頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）拋物線上一動點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為d1，點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為d2，試說明d2=d11；（3）在（2）的條件下，請?zhí)骄慨?dāng)點(diǎn)P位于何處時，PAC的周長有最小值，并求出PAC的周長的最小值3. （2011湖南郴州10分）如圖，RtABC中，A=30°，BC=10cm，點(diǎn)Q在線段BC上從B向C運(yùn)動，點(diǎn)P在

20、線段BA上從B向A運(yùn)動Q、P兩點(diǎn)同時出發(fā)，運(yùn)動的速度相同，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動作PMPQ交CA于點(diǎn)M，過點(diǎn)P分別作BC、CA的垂線，垂足分別為E、F（1）求證：PQEPMF；（2）當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動時，請猜想線段PM與MA的大小有怎樣的關(guān)系？并證明你的猜想；（3）設(shè)BP=，PEM的面積為，求y關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)為何值時，有最大值，并將這個值求出來4. （2011遼寧營口14分）已知正方形ABCD，點(diǎn)P是對角線AC所在直線上的動點(diǎn)，點(diǎn)E在DC邊所在直線上，且隨著點(diǎn)P的運(yùn)動而運(yùn)動，PEPD總成立(1)如圖(1)，當(dāng)點(diǎn)P在對角線AC上時，請你通過測量、觀察，猜想PE與PB有怎樣的關(guān)系？(直

21、接寫出結(jié)論不必證明)；(2)如圖(2)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到CA的延長線上時，(1)中猜想的結(jié)論是否成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由；(3)如圖(3)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到CA的反向延長線上時，請你利用圖(3)畫出滿足條件的圖形，并判斷此時PE與PB有怎樣的關(guān)系？(直接寫出結(jié)論不必證明) (1) (2) 5. （2011貴州遵義12分）如圖，梯形ABCD中，ADBC，BC20cm，AD10cm，現(xiàn)有兩個動點(diǎn)P、Q分別從B、D兩點(diǎn)同時出發(fā)，點(diǎn)P以每秒2cm的速度沿BC向終點(diǎn)C移動，點(diǎn)Q以每秒1cm的速度沿DA向終點(diǎn)A移動，線段PQ與BD相交于點(diǎn)E，過E作EFBC交CD于點(diǎn)F，射線QF交BC的延

22、長線于點(diǎn)H，設(shè)動點(diǎn)P、Q移動的時間為t（單位：秒，0<t<10）（1）當(dāng)t為何值時，四邊形PCDQ為平行四邊形？（2）在P、Q移動的過程中，線段PH的長是否發(fā)生改變？如果不變，求出線段PH的長；如果改變，請說明理由6. （2011黑龍江龍東五市8分）如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD的對角線BD上的一點(diǎn)，且BE=BC，AB=3，BC=4，點(diǎn)P為直線EC上的一點(diǎn)，且PQBC于點(diǎn)Q，PRBD于點(diǎn)R。（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P為線段EC中點(diǎn)時，易證：PR+PQ=（不需證明）。（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P為線段EC上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)E、點(diǎn)C重合）時，其它條件不變，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明

23、；若不成立，請說明理由。（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P為線段EC延長線上的任意一點(diǎn)時，其它條件不變，則PR與PQ之間又具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想。二、面積（和差）為定值問題：典型例題：例1：（2012湖北十堰3分）如圖，O是正ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA=3，OB=4，OC=5，將線段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO，下列結(jié)論：BOA可以由BOC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到；點(diǎn)O與O的距離為4；AOB=150°；其中正確的結(jié)論是【 】A B C D 【答案】A?！究键c(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理?！痉治觥空鼳

24、BC，AB=CB，ABC=600。線段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO，BO=BO，OAO=600。OBA=600ABO=OBA。BOABOC。BOA可以由BOC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到。故結(jié)論正確。 連接OO，BO=BO，OAO=600，OBO是等邊三角形。OO=OB=4。故結(jié)論正確。在AOO中，三邊長為OA=OC=5，OO=OB=4，OA=3，是一組勾股數(shù)，AOO是直角三角形。AOB=AOOOOB =900600=150°。故結(jié)論正確。故結(jié)論錯誤。如圖所示，將AOB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，使得AB與AC重合，點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至O點(diǎn)易知AOO

25、是邊長為3的等邊三角形，COO是邊長為3、4、5的直角三角形。則。故結(jié)論正確。綜上所述，正確的結(jié)論為：。故選A。例2：（2012廣西玉林、防城港12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系O中，矩形AOCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0,4），現(xiàn)有兩動點(diǎn)P、Q，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)沿線段OC（不包括端點(diǎn)O，C）以每秒2個單位長度的速度，勻速向點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段CD（不包括端點(diǎn)C，D）以每秒1個單位長度的速度勻速向點(diǎn)D運(yùn)動.點(diǎn)P，Q同時出發(fā)，同時停止，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，當(dāng)t=2秒時PQ=.（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)，并直接寫出t的取值范圍；（2）連接AQ并延長交軸于點(diǎn)E,把AE沿AD翻折交CD延長線于點(diǎn)F,連接EF，則A

26、EF的面積S是否隨t的變化而變化？若變化，求出S與t的函數(shù)關(guān)系式；若不變化，求出S的值.（3）在（2）的條件下，t為何值時，四邊形APQF是梯形？【答案】解：（1）由題意可知，當(dāng)t=2（秒）時，OP=4，CQ=2，在RtPCQ中，由勾股定理得：PC=4，OC=OP+PC=4+4=8。又矩形AOCD，A（0，4），D（8，4）。t的取值范圍為：0t4。（2）結(jié)論：AEF的面積S不變化。AOCD是矩形，ADOE，AQDEQC。，即，解得CE=。由翻折變換的性質(zhì)可知：DF=DQ=4t，則CF=CD+DF=8t。S=S梯形AOCFSFCESAOE=（OA+CF）OC+CFCEOAOE= 4（8t）&#

27、215;8+（8t）×4×（8）?；喌茫篠=32為定值。所以AEF的面積S不變化，S=32。（3）若四邊形APQF是梯形，因?yàn)锳P與CF不平行，所以只有PQAF。由PQAF可得：CPQDAF。CP：AD=CQ：DF，即82t：8= t：4t，化簡得t212t16=0，解得：t1=6+2，t2=。由（1）可知，0t4，t1=6+2不符合題意，舍去。當(dāng)t=秒時，四邊形APQF是梯形。【考點(diǎn)】動點(diǎn)和翻折問題，矩形的性質(zhì)，勾股定理，翻折對稱的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，梯形的性質(zhì)，解一元二次方程?！痉治觥浚?）由勾股定理可求PC而得點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得點(diǎn)D的坐標(biāo)。點(diǎn)P

28、到達(dá)終點(diǎn)所需時間為8÷2=4秒，點(diǎn)Q到達(dá)終點(diǎn)所需時間為4÷1=4秒，由題意可知，t的取值范圍為：0t4。（2）根據(jù)相似三角形和翻折對稱的性質(zhì)，求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，由于關(guān)系式為常數(shù)，所以AEF的面積S不變化，S=32。（3）根據(jù)梯形的性質(zhì)，應(yīng)用相似三角形即可求解。例3：（2012江蘇蘇州9分）如圖，正方形ABCD的邊AD與矩形EFGH的邊FG重合，將正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移動，移動開始前點(diǎn)A與點(diǎn)F重合.在移動過程中，邊AD始終與邊FG重合，連接CG，過點(diǎn)A作CG的平行線交線段GH于點(diǎn)P，連接PD.已知正方形ABCD的邊長為1cm，矩形EFGH的邊FG

29、、GH的長分別為4cm、3cm.設(shè)正方形移動時間為x（s），線段GP的長為y（cm），其中0x2.5. 試求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出y =3時相應(yīng)x的值；記DGP的面積為S1，CDG的面積為S2試說明S1S2是常數(shù)；當(dāng)線段PD所在直線與正方形ABCD的對角線AC垂直時，求線段PD的長.【答案】解：（1）CGAP，CGD=PAG，則。GF=4，CD=DA=1，AF=x，GD=3x，AG=4x。，即。y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為。當(dāng)y =3時，解得:x=2.5。（2），為常數(shù)。（3）延長PD交AC于點(diǎn)Q.正方形ABCD中，AC為對角線，CAD=45°。PQAC，ADQ=45°。

30、GDP=ADQ=45°。DGP是等腰直角三角形，則GD=GP。，化簡得：，解得：。0x2.5，。在RtDGP中，?！究键c(diǎn)】正方形的性質(zhì)，一元二次方程的應(yīng)用，等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥浚?）根據(jù)題意表示出AG、GD的長度，再由可解出x的值。（2）利用（1）得出的y與x的關(guān)系式表示出S1、S2，然后作差即可。（3）延長PD交AC于點(diǎn)Q，然后判斷DGP是等腰直角三角形，從而結(jié)合x的范圍得出x的值，在RtDGP中，解直角三角形可得出PD的長度。例4：（2012四川自貢12分）如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=12

31、0°，AEF為正三角形，點(diǎn)E、F分別在菱形的邊BCCD上滑動，且E、F不與BCD重合（1）證明不論E、F在BCCD上如何滑動，總有BE=CF；（2）當(dāng)點(diǎn)E、F在BCCD上滑動時，分別探討四邊形AECF和CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個定值；如果變化，求出最大（或最?。┲怠敬鸢浮拷猓海?）證明：如圖，連接AC四邊形ABCD為菱形，BAD=120°，BAE+EAC=60°，F(xiàn)AC+EAC=60°，BAE=FAC。BAD=120°，ABF=60°。ABC和ACD為等邊三角形。ACF=60°，AC=AB。ABE=AFC。

32、在ABE和ACF中，BAE=FAC，AB=AC，ABE=AFC，ABEACF（ASA）。BE=CF。（2）四邊形AECF的面積不變，CEF的面積發(fā)生變化。理由如下：由（1）得ABEACF，則SABE=SACF。S四邊形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是定值。作AHBC于H點(diǎn)，則BH=2，。由“垂線段最短”可知：當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短故AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短時，正三角形AEF的面積會最小， 又SCEF=S四邊形AECFSAEF，則此時CEF的面積就會最大SCEF=S四邊形AECFSAEF。CEF的面積的最大值是?！究?/p>

33、點(diǎn)】菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，垂直線段的性質(zhì)?！痉治觥浚?）先求證AB=AC，進(jìn)而求證ABC、ACD為等邊三角形，得ACF =60°，AC=AB，從而求證ABEACF，即可求得BE=CF。（2）由ABEACF可得SABE=SACF，故根據(jù)S四邊形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC即可得四邊形AECF的面積是定值。當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短時，正三角形AEF的面積會最小，根據(jù)SCEF=S四邊形AECFSAEF，則CEF的面積就會最大。例5：（2012

34、湖南益陽12分）已知：如圖1，在面積為3的正方形ABCD中，E、F分別是BC和CD邊上的兩點(diǎn)，AEBF于點(diǎn)G，且BE=1（1）求證：ABEBCF；（2）求出ABE和BCF重疊部分（即BEG）的面積；（3）現(xiàn)將ABE繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到ABE（如圖2），使點(diǎn)E落在CD邊上的點(diǎn)E處，問ABE在旋轉(zhuǎn)前后與BCF重疊部分的面積是否發(fā)生了變化？請說明理由【答案】（1）證明：四邊形ABCD是正方形，ABE=BCF=90°，AB=BC。ABF+CBF=90°。AEBF，ABF+BAE=90°。BAE=CBF。在ABE和BCF中，ABE=BCF，AB=BC，BAE=CBF，AB

35、EBCF（ASA）。 （2）解：正方形面積為3，AB=。在BGE與ABE中，GBE=BAE，EGB=EBA=90°，BGEABE。又BE=1，AE2=AB2+BE2=3+1=4。練習(xí)題：1. （2011山東東營12分）如圖所示，四邊形OABC是矩形點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為()，(0，1)，點(diǎn)D是線段BC上的動點(diǎn)(與端點(diǎn)B、C不重含)，過點(diǎn)D作直線交折線OAB于點(diǎn)E。 (1) 記ODE的面積為S求S與b的函數(shù)關(guān)系式： (2) 當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時，且tanDEO=。若矩形OABC關(guān)于直線DE的對稱圖形為四邊形試探究四邊形與矩形OABC的重疊部分的面積是否發(fā)生變化，若不交，求出該重疊部分妁面

36、積；若改變請說明理由。2. （2011浙江舟山、嘉興12分）已知直線（0）分別交軸、軸于A、B兩點(diǎn)，線段OA上有一動點(diǎn)P由原點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動，速度為每秒1個單位長度，過點(diǎn)P作軸的垂線交直線AB于點(diǎn)C，設(shè)運(yùn)動時間為秒（1）當(dāng)時，線段OA上另有一動點(diǎn)Q由點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動，它與點(diǎn)P以相同速度同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動（如圖1） 直接寫出1秒時C、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)； 若以Q、C、A為頂點(diǎn)的三角形與AOB相似，求的值（2）當(dāng)時，設(shè)以C為頂點(diǎn)的拋物線與直線AB的另一交點(diǎn)為D（如圖2）， 求CD的長； 設(shè)COD的OC邊上的高為，當(dāng)為何值時，的值最大？ 三、其它定值問題：典型例題：例1：（2012浙江

37、義烏12分）如圖1，已知直線y=kx與拋物線交于點(diǎn)A（3，6）（1）求直線y=kx的解析式和線段OA的長度；（2）點(diǎn)P為拋物線第一象限內(nèi)的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線PM，交x軸于點(diǎn)M（點(diǎn)M、O不重合），交直線OA于點(diǎn)Q，再過點(diǎn)Q作直線PM的垂線，交y軸于點(diǎn)N試探究：線段QM與線段QN的長度之比是否為定值？如果是，求出這個定值；如果不是，說明理由；（3）如圖2，若點(diǎn)B為拋物線上對稱軸右側(cè)的點(diǎn)，點(diǎn)E在線段OA上（與點(diǎn)O、A不重合），點(diǎn)D（m，0）是x軸正半軸上的動點(diǎn)，且滿足BAE=BED=AOD繼續(xù)探究：m在什么范圍時，符合條件的E點(diǎn)的個數(shù)分別是1個、2個？【答案】解：（1）把點(diǎn)A（3，6）代入y=kx

38、得；6=3k，即k=2。 y=2x。（2）線段QM與線段QN的長度之比是一個定值，理由如下：如圖1，過點(diǎn)Q作QGy軸于點(diǎn)G，QHx軸于點(diǎn)H當(dāng)QH與QM重合時，顯然QG與QN重合，此時。當(dāng)QH與QM不重合時，QNQM，QGQH不妨設(shè)點(diǎn)H，G分別在x、y軸的正半軸上，MQH=GQN。又QHM=QGN=90°，QHMQGN。當(dāng)點(diǎn)P、Q在拋物線和直線上不同位置時，同理可得。線段QM與線段QN的長度之比是一個定值。（3）如圖2，延長AB交x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FCOA于點(diǎn)C，過點(diǎn)A作ARx軸于點(diǎn)R。AOD=BAE，AF=OF。OC=AC=。ARO=FCO=90°，AOR=FOC，AOR

39、FOC。OF=。點(diǎn)F（，0）。設(shè)點(diǎn)B（x，），過點(diǎn)B作BKAR于點(diǎn)K，則AKBARF。，即。解得x1=6，x2=3（舍去）。點(diǎn)B（6，2）。BK=63=3，AK=62=4。AB=5。在ABE與OED中，BAE=BED，ABE+AEB=DEO+AEB。ABE=DEO。BAE=EOD，ABEOED。設(shè)OE=x，則AE=x （），由ABEOED得，即。頂點(diǎn)為。如圖3，當(dāng)時，OE=x=，此時E點(diǎn)有1個；當(dāng)時，任取一個m的值都對應(yīng)著兩個x值，此時E點(diǎn)有2個當(dāng)時，E點(diǎn)只有1個，當(dāng)時，E點(diǎn)有2個?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，銳角三角函數(shù)定義，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)?！?/p>

40、分析】（1）利用待定系數(shù)法求出直線y=kx的解析式，根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)用勾股定理求出線段OA的長度。（2）如圖1，過點(diǎn)Q作QGy軸于點(diǎn)G，QHx軸于點(diǎn)H，構(gòu)造相似三角形QHM與QGN，將線段QM與線段QN的長度之比轉(zhuǎn)化為相似三角形的相似比，即為定值需要注意討論點(diǎn)的位置不同時，這個結(jié)論依然成立。（3）由已知條件角的相等關(guān)系BAE=BED=AOD，可以得到ABEOED。在相似三角形ABE與OED中，運(yùn)用線段比例關(guān)系之前需要首先求出AB的長度，如圖2，可以通過構(gòu)造相似三角形，或者利用一次函數(shù)（直線）的性質(zhì)求得AB的長度。設(shè)OE=x，則由相似邊的比例關(guān)系可以得到m關(guān)于x的表達(dá)式，這是一個二次函數(shù)借助此二次函

41、數(shù)圖象（如圖3），可見m在不同取值范圍時，x的取值（即OE的長度，或E點(diǎn)的位置）有1個或2個。這樣就將所求解的問題轉(zhuǎn)化為分析二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題。例2：（2012山東淄博4分）如圖，將正方形對折后展開（圖是連續(xù)兩次對折后再展開），再按圖示方法折疊，能夠得到一個直角三角形，且它的一條直角邊等于斜邊的一半這樣的圖形有【 】(A)4個(B)3個(C)2個(D)1個【答案】C?！究键c(diǎn)】正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，等腰三角形的判定，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理?！痉治觥咳鐖D，圖中，ABC=ABD×450DBE， 即ABC22.50。

42、根據(jù)含30度角的直角三角形中30度角所對的直角邊是斜邊的一半的性質(zhì)，CDBC。 圖中，由折疊的性質(zhì)，ABC=ABF，ECFB， ABC=ABF=ADE=BDC。BC=DC。 又由正方形對折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，知AD=BD， 根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，得DC=AB，即BC=AB。 滿足它的一條直角邊等于斜邊的一半。 圖中，由正方形對折的性質(zhì)，它的一條直角邊等于另一條直角邊的一半，不可能再有一條直角邊等于斜邊的一半。 圖中，由正方形折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，知AB=CB，AB=2BD，ABE=CBE， BC=2BD。BCD=300。CBD=600。 ABECBECBD=1800。ABE =

43、600。AEB =300。 AB=BE。滿足它的一條直角邊等于斜邊的一半。 綜上所述，這樣的圖形有2個。故選C。例3：（2012四川綿陽14分）如圖1，在直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸正半軸上，二次函數(shù)y=ax2+x +c的圖象F交x軸于B、C兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，其中B（-3，0），M（0，-1）。已知AM=BC。（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）證明：在拋物線F上存在點(diǎn)D，使A、B、C、D四點(diǎn)連接而成的四邊形恰好是平行四邊形，并請求出直線BD的解析式；（3）在（2）的條件下，設(shè)直線l過D且分別交直線BA、BC于不同的P、Q兩點(diǎn)，AC、BD相交于N。若直線lBD，如圖1所示，試求的值；若

44、l為滿足條件的任意直線。如圖2所示，中的結(jié)論還成立嗎？若成立，證明你的猜想；若不成立，請舉出反例?！敬鸢浮拷猓海?）二次函數(shù)y=ax2+x +c的圖象經(jīng)過點(diǎn)B（-3，0），M（0，-1）， ，解得。二次函數(shù)的解析式為：。（2）證明：在中，令y=0，得，解得x1=3，x2=2。C（2，0），BC=5。令x=0，得y=-1，M（0，1），OM=1。又AM=BC，OA=AMOM=4。A（0，4）。設(shè)ADx軸，交拋物線于點(diǎn)D，如圖1所示，則，解得x1=5，x2=6（位于第二象限，舍去）。D點(diǎn)坐標(biāo)為（5，4）。AD=BC=5。又ADBC，四邊形ABCD為平行四邊形，即在拋物線F上存在點(diǎn)D，使A、B、C、

45、D四點(diǎn)連接而成的四邊形恰好是平行四邊形。設(shè)直線BD解析式為：y=kx+b，B（3，0），D（5，4）， ，解得：。直線BD解析式為：。（3）在RtAOB中，又AD=BC=5，ABCD是菱形。若直線lBD，如圖1所示，四邊形ABCD是菱形，ACBD。AC直線l。BA=BC=5，BP=BQ=10。若l為滿足條件的任意直線，如圖2所示，此時中的結(jié)論依然成立，理由如下：ADBC，CDAB，PADDCQ。APCQ=ADCD=5×5=25。 ?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，平行四邊形、菱形的判定和性質(zhì)，平行線間的比例線段關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，分式化簡?！痉治觥浚?）

46、利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式。（2）首先求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，可得AD=BC且ADBC，所以四邊形ABCD是平行四邊形；再根據(jù)B、D點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式。（3）本問的關(guān)鍵是判定平行四邊形ABCD是菱形。推出AC直線l，從而根據(jù)平行線間的比例線段關(guān)系，求出BP、CQ的長度，計(jì)算出。判定PADDCQ，得到APCQ=25，利用這個關(guān)系式對進(jìn)行分式的化簡求值，結(jié)論為 不變。例4：（2012四川成都12分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù) (為常數(shù))的圖象與x軸交于點(diǎn)A(，0)，與y軸交于點(diǎn)C以直線x=1為對稱軸的拋物線 (a，b，c為常數(shù)，且a0)經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，并與

47、x軸的正半軸交于點(diǎn)B （1）求的值及拋物線的函數(shù)表達(dá)式； （2）設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作直線AC的平行線交x軸于點(diǎn)F是否存在這樣的點(diǎn)E，使得以A，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)及相應(yīng)的平行四邊形的面積；若不存在，請說明理由； （3）若P是拋物線對稱軸上使ACP的周長取得最小值的點(diǎn)，過點(diǎn)P任意作一條與y軸不平行的直線交拋物線于兩點(diǎn)，試探究是否為定值，并寫出探究過程【答案】解：（1）經(jīng)過點(diǎn)（3，0），解得。直線解析式為。令x=0，得。C（0，）。拋物線y=ax2+bx+c對稱軸為x=1，且與x軸交于A（3，0），另一交點(diǎn)為B（5，0）。設(shè)拋物線解析式為y=

48、a（x+3）（x5），拋物線經(jīng)過C（0，），=a3（5），解得。拋物線解析式為y= （x+3）（x5），即。（2）假設(shè)存在點(diǎn)E使得以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則ACEF且AC=EF，如答圖1。（i）當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)E位置時，過點(diǎn)E作EGx軸于點(diǎn)G，ACEF，CAO=EFG。又COA=EOF=900，AC=EF，CAOEFG（AAS）。EG=CO=，即yE=。，解得xE=2（xE=0與C點(diǎn)重合，舍去）。E（2，），SACEF=。（ii）當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)E位置時，過點(diǎn)E作EGx軸于點(diǎn)G，同理可求得E（），SACEF=。（3）要使ACP的周長最小，只需AP+CP最小即可。如答圖2，連接BC交x=

49、1于P點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)A、B關(guān)于x=1對稱，根據(jù)軸對稱性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線段最短，可知此時AP+CP最?。ˋP+CP最小值為線段BC的長度）。B（5，0），C（0，），直線BC解析式為。xP=1，yP=3，即P（1，3）。令經(jīng)過點(diǎn)P（1，3）的直線為y=kx+3k，聯(lián)立得x2+（4k2）x4k3=0，x1+x2=24k，x1x2=4k3。y1=kx1+3k，y2=kx2+3k，y1y2=k（x1x2）。根據(jù)勾股定理得：M1M2=，M1P=，M2P=。M1PM2P=M1PM2P=M1M2。=1為定值。【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，平行四邊形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，勾股定理?！痉治觥浚?）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入即可求出的值。由拋物線的對稱軸和點(diǎn)A的坐標(biāo)可得拋物線與x軸另一交點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而設(shè)拋物線的交點(diǎn)式，由點(diǎn)C在拋物線求出待定系數(shù)得到拋物線解析式。（2）分點(diǎn)E在x軸上方和下方兩種情況討論即可。（3）設(shè)出M1M2的解析式，與拋物線聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得M1、M2兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系：x1+x2=2