第五章無(wú)窮級(jí)數(shù)1ppt課件

1、第五章 無(wú)窮級(jí)數(shù)第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第二節(jié)第二節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)第三節(jié)第三節(jié) 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)第一節(jié) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義與性質(zhì)一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義與性質(zhì)二、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法二、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義與性質(zhì)1. 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義 給定一個(gè)數(shù)列 則由這數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式 叫做常數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)，記為其中第 項(xiàng) 叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)或通項(xiàng)。 ,321nuuuu nuuuu321 1nnunnu部分和數(shù)列部分和數(shù)列niinnuuuuS121級(jí)數(shù)的部分和級(jí)數(shù)的部分和,11uS,212uuS,3213uuuS,21nnuuuS級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散余項(xiàng)nnSSr2

2、1nnuu1iinu0limnnr如果級(jí)數(shù)收斂，則有解解時(shí)時(shí)如如果果1 q12 nnaqaqaqasqaqan 1,11qaqqan ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q0lim nnqqasnn 1lim,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q nnqlim nnslim 收斂 發(fā)散時(shí)時(shí)如果如果1 q,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q nasn 發(fā)散 aaaa級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)變變?yōu)闉椴徊淮娲嬖谠趎ns lim 發(fā)散 綜上 發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)收收斂斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),1,10qqaqnn等比級(jí)數(shù)是一個(gè)常等比級(jí)數(shù)是一個(gè)常用的級(jí)數(shù)用的級(jí)數(shù) 性質(zhì)性質(zhì)2 如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù) ， 都收斂，那么都收斂，那么級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 也收斂，也收斂，性質(zhì)性質(zhì)1 如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù) 收斂于和

3、收斂于和 ，則級(jí)數(shù)，則級(jí)數(shù) 也也斂，斂， 且其和為且其和為 。其中。其中c為任一常數(shù)。為任一常數(shù)。2. 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 1nnu1nncucS 1nnu1nnv)(1nnnvu 111)(nnnnnnnvuvuS注意：兩發(fā)散級(jí)數(shù)的和或差可能收斂也可能發(fā)散，如注意：兩發(fā)散級(jí)數(shù)的和或差可能收斂也可能發(fā)散，如11111111,) 1(1,) 1(,1nnnnnn發(fā)散收斂而發(fā)散發(fā)散性質(zhì)性質(zhì)3 一個(gè)級(jí)數(shù)增加或減少有限項(xiàng)，不改變級(jí)數(shù)的斂散性一個(gè)級(jí)數(shù)增加或減少有限項(xiàng)，不改變級(jí)數(shù)的斂散性 性質(zhì)性質(zhì)4 收斂級(jí)數(shù)各項(xiàng)之間按順序任意加括號(hào)后形成的新級(jí)收斂級(jí)數(shù)各項(xiàng)之間按順序任意加括號(hào)后形成的新級(jí)

4、數(shù)收斂于原來(lái)的和數(shù)收斂于原來(lái)的和S。 )()()(1111211kknnnnnuuuuuu注意注意收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂. . )11()11( 1111推推論論 如如果果加加括括弧弧后后所所成成的的級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散, ,則則原原來(lái)來(lái)級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù)也也發(fā)發(fā)散散. . 收斂收斂 發(fā)散發(fā)散例如例如性質(zhì)性質(zhì)5 （級(jí)數(shù)收斂的必要條件）（級(jí)數(shù)收斂的必要條件）如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù) 收斂，那么收斂，那么 1nnu0lim nnu 注意注意 級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)趨于零并不是級(jí)數(shù)收斂的充分條件。級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)趨于零并不是級(jí)數(shù)收斂的充分條件。例例 調(diào)和級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù)n131211的一

5、般項(xiàng)趨于零，但它卻是發(fā)散的。的一般項(xiàng)趨于零，但它卻是發(fā)散的。二、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法1.正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法 定理定理1 1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是：它正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是：它的部分和數(shù)列的部分和數(shù)列 SnSn有界。有界。 正項(xiàng)級(jí)數(shù)概念正項(xiàng)級(jí)數(shù)概念:各項(xiàng)都是正數(shù)或零的級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。各項(xiàng)都是正數(shù)或零的級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。1) 比較審斂法比較審斂法（比較審斂法）（比較審斂法） 設(shè)設(shè) 和和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且(1)(1)若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)收斂，收斂， 則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)收斂；收斂；發(fā)散，則級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù) 也發(fā)散。也發(fā)散。定理定理2 1nnu 1nnv1nnv1nnu1n

6、nv1nnunnvu )., 2 , 1( n(2)(2)若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)解解, 1 p設(shè)設(shè),11nnp .級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散則則 P, 1 p設(shè)設(shè)oyx)1(1 pxyp1234由圖可知由圖可知 nnppxdxn11pppnns131211 nnppxdxxdx1211)11,11,1(ppnxnxnxn npxdx11)11(1111 pnp111 p,有界有界即即ns.級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂則則 P 發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)收斂收斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù),1,1ppP 重要參考級(jí)數(shù)重要參考級(jí)數(shù): : 幾何級(jí)數(shù)等比級(jí)數(shù)）幾何級(jí)數(shù)等比級(jí)數(shù)）, P-, P-級(jí)級(jí)數(shù)數(shù), , 調(diào)和級(jí)數(shù)實(shí)際上就是調(diào)和級(jí)數(shù)實(shí)際上就是P=1P=

7、1的的P-P-級(jí)數(shù)）級(jí)數(shù)）. .2) 2) 達(dá)朗貝爾比值判別法達(dá)朗貝爾比值判別法 例例 判別級(jí)數(shù)判別級(jí)數(shù)的斂散性的斂散性證明證明所以級(jí)數(shù)收斂3) 3) 柯西根值判別法柯西根值判別法2.交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法例如例如,交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)nn1)1(4131211滿足條件滿足條件),2, 1(111)1(1nunnunn01limlim)2(nunnn所以該級(jí)數(shù)是收斂的所以該級(jí)數(shù)是收斂的,且且11nrn3.級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂和相對(duì)收斂級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂和相對(duì)收斂概念概念 設(shè)設(shè) 為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果它的各項(xiàng)的絕對(duì)值所構(gòu)成的為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果它的各項(xiàng)的絕對(duì)值所構(gòu)成的 正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 收斂，則稱級(jí)數(shù)收斂，則稱級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂；如果級(jí)絕對(duì)收斂；如果級(jí) 數(shù)數(shù) 收斂，而級(jí)數(shù)收斂，而級(jí)數(shù) 發(fā)散，則稱級(jí)數(shù)發(fā)散，則稱級(jí)數(shù) 條件收斂條件收斂 1nnu 1nnu 1nnu 1nnu 1nnu 1nnu定理定理 絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)必收斂絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)必收斂例例判