在較強(qiáng)的磁場(chǎng)下(

1、第七章自 旋第七章 目 錄§7.1 電子自旋存在的實(shí)驗(yàn)事實(shí)3（1）Stern-Gerlach實(shí)驗(yàn)（1922年）3（2）電子自旋存在的其他證據(jù)4§7.2 自旋微觀客體的一個(gè)動(dòng)力學(xué)變量5（1）電子的自旋算符和它的矩陣表示5（2）考慮自旋后，狀態(tài)和力學(xué)量的描述9（3）考慮自旋后，電子在中心勢(shì)場(chǎng)中的薛定諤方程13§7.3 堿金屬的雙線結(jié)構(gòu)14（1）總角動(dòng)量14（2）堿金屬的雙線結(jié)構(gòu)19§7.4 兩自旋為1/2的粒子的自旋波函數(shù)20(1) 表象中兩自旋為的粒子的自旋波函數(shù)20(2) 表象中兩自旋為的粒子的自旋波函數(shù)20(3) Bell基22§7.5 Ei

2、nstein-Podolsky-Rosen佯謬和Bell不等式22(1) Einstein-Podolsky-Rosen佯謬22(2) Bell Inqualities23§7.6 全同粒子交換不變性波函數(shù)具有確定的置換對(duì)稱(chēng)性27(1)交換不變性27(2)全同粒子的波函數(shù)結(jié)構(gòu)，泡利原理29(3)全同粒子的交換不變性的后果32第七章 自旋在較強(qiáng)的磁場(chǎng)下（），我們發(fā)現(xiàn)一些類(lèi)氫離子或堿金屬原子有正常塞曼效應(yīng)的現(xiàn)象，而軌道磁矩的存在，能很好的解釋它但是，當(dāng)這些原子或離子置入弱磁場(chǎng)（）的環(huán)境中，或光譜分辨率提高后，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并不是那么簡(jiǎn)單，這就要求人們進(jìn)一步探索。大量實(shí)驗(yàn)事實(shí)證明，認(rèn)為電子僅用三

3、個(gè)自由度來(lái)描述并不是完全的。我們將引入一個(gè)新的自由度自旋，它是粒子固有的。當(dāng)然，自旋是Dirac電子的相對(duì)論性理論的自然結(jié)果?，F(xiàn)在我們從實(shí)驗(yàn)事實(shí)來(lái)引入。§7.1 電子自旋存在的實(shí)驗(yàn)事實(shí)（1）Stern-Gerlach實(shí)驗(yàn)（1922年）當(dāng)一狹窄的原子束通過(guò)非均勻磁場(chǎng)時(shí)，如果原子無(wú)磁矩，它將不偏轉(zhuǎn)；而當(dāng)原子具有磁矩，那在磁場(chǎng)中的附加能量為如果經(jīng)過(guò)的路徑上，磁場(chǎng)在方向上有梯度，即不均勻，則受力從經(jīng)典觀點(diǎn)看取值（從）,因此，不同原子（磁矩取向不同）受力不同，而取值 所以原子分裂成一個(gè)帶。但Stern-Gerlach發(fā)現(xiàn)，當(dāng)一束處于基態(tài)的銀原子通過(guò)這樣的場(chǎng)時(shí)，僅發(fā)現(xiàn)分裂成二束，即僅二條軌道（兩

4、個(gè)態(tài)）。而人們知道，銀原子（）基態(tài)，所以沒(méi)有軌道磁矩，而分成二個(gè)狀態(tài)（二個(gè)軌道），表明存在磁矩，而這磁矩在任何方向上的投影僅取二個(gè)值。這磁矩既然不是由于軌道運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，因此，只能是電子本身的（核磁矩可忽），這磁矩稱(chēng)為內(nèi)稟磁矩，與之相聯(lián)系的角動(dòng)量稱(chēng)為電子自旋，它是電子的一個(gè)新物理量，也是一個(gè)新的動(dòng)力學(xué)變量。（2）電子自旋存在的其他證據(jù)A堿金屬光譜的雙線結(jié)構(gòu)鈉原子光譜中有一譜線，波長(zhǎng)為5893Å，但精細(xì)測(cè)量發(fā)現(xiàn)，實(shí)際上，這是由兩條譜線組成。ÅÅ這一事實(shí)，從電子僅具有三個(gè)自由度是無(wú)法解釋的。B反常塞曼效應(yīng)（Anomalous Zeeman effect）原子序數(shù)為奇數(shù)的

5、原子，其多重態(tài)是偶數(shù)，在弱磁場(chǎng)中分裂的光譜線條數(shù)為偶（如鈉和的兩條光譜線，在弱磁場(chǎng)中分裂為條和條）。這種現(xiàn)象稱(chēng)為反常塞曼效應(yīng)。不引入電子自旋也是不能解釋的。C在弱磁場(chǎng)中，能級(jí)分裂出的多重態(tài)的相鄰能級(jí)間距，并不一定為，而是。對(duì)于不同能級(jí)，可能不同，而不是簡(jiǎn)單為 (稱(chēng)因子)。根據(jù)這一系列實(shí)驗(yàn)事實(shí)，G. Uhlenbeck（烏倫貝克）和S.Goudsmit（古德斯密特）提出假設(shè) 電子具有自旋，并且有內(nèi)稟磁矩，它們有關(guān)系 電子自旋在任何方向上的測(cè)量值僅取兩個(gè)值，所以 以為單位，則（而）自旋的回磁比為 現(xiàn)在很清楚，電子自旋的存在可由Dirac提出的電子相對(duì)論性理論自然得到?？紤]到輻射修正§7.

6、2 自旋微觀客體的一個(gè)動(dòng)力學(xué)變量既然電子有自旋，這表明描述電子運(yùn)動(dòng)的變量就不能僅取，還應(yīng)有第四個(gè)變量，相應(yīng)算符為。（1）電子的自旋算符和它的矩陣表示由于電子具有自旋，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，它也具有內(nèi)稟磁矩所以，自旋這個(gè)動(dòng)力學(xué)變量是具有角動(dòng)量性質(zhì)的量，當(dāng)然它又不同于軌道角動(dòng)量（僅取二個(gè)值，）。對(duì)于這樣一個(gè)力學(xué)量，當(dāng)然仍應(yīng)用線性厄密算符來(lái)表征它。于是我們假設(shè)：自旋算符有三個(gè)分量，并滿(mǎn)足角動(dòng)量所具有的對(duì)易關(guān)系。A. 對(duì)易關(guān)系B. 由于它在任意方向上的分量測(cè)量?jī)H取二個(gè)數(shù)值, ，所以于是 是一常數(shù)C. 矩陣形式由于其分量?jī)H取二個(gè)數(shù)值，也即本征值有二個(gè)，所以可用矩陣表示。1若選作為力學(xué)量完全集，即取表象，那在自身表象

7、中的表示自然為對(duì)角矩陣，而對(duì)角元就是它的本征值相應(yīng)的本征矢其對(duì)應(yīng)的表示為，2在表象中的矩陣表示我們知道，這只要將作用于的基矢并以基矢展開(kāi)，從展開(kāi)系數(shù)來(lái)獲得由因此 由即同理可得 得系數(shù)矩陣為轉(zhuǎn)置得而 系數(shù)矩陣為轉(zhuǎn)置得對(duì)于在方向有 則本征矢 Pauli Operator；為方便起見(jiàn)，引入泡利算符 于是，在表象中有（或稱(chēng)Pauli表象） ， ， 稱(chēng)為泡利矩陣。的本征值為。， 由此得 于是有 為使我們對(duì)表象變換及算符矩陣表示以及由矩陣表示求本征值，本征矢有進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，我們舉一些例子。例1求的本征值，本征矢因已知在表象中矩陣形式為 矩陣形式的本征方程為 要不同時(shí)為，系數(shù)行列式應(yīng)為 對(duì)于 ， ， 例2表象

8、變換對(duì)于兩表象變換 , 顯然，列，實(shí)為表象基矢在表象中的表示 我們知在自身表象為，所以，它在表象中表示為當(dāng)然由的變換矩陣 （2）考慮自旋后，狀態(tài)和力學(xué)量的描述A. 自旋波函數(shù)（電子的自旋態(tài)）對(duì)于的本征方程為 由于的本征值僅取, 在其自身表象 而相應(yīng)本征態(tài)的表示為（即：，）， 是的本征值為的本征態(tài)在表象中的表示 是的本征值為的本征態(tài)在表象中的表示 顯然正交， 對(duì)于任何一旋量在表象中，其表示為若是歸一化的，則為以描述的電子處于的幾率，即自旋向的幾率。而和可由與標(biāo)積獲得 ( 即由表示計(jì)算振幅 ）B. 考慮自旋后狀態(tài)的描述：由于電子除了之外，還有第四個(gè)動(dòng)學(xué)變量，它的特點(diǎn)僅取二個(gè)值，而，所以，可在表象中

9、表示體系波函數(shù)。僅有兩個(gè)本征函數(shù)。因此，對(duì)于處于某狀態(tài)的體系可按自旋波函數(shù)展開(kāi)。 這即在表象中表示。如令 則在表象中的表示為 若是歸一化的態(tài)矢量，則 代表體系處于而自旋向上的幾率密度代表體系處于而自旋向下的幾率密度如同一般變量可分離型一樣，當(dāng)對(duì)和是變量可分離型的，則其特解為 C考慮自旋后，力學(xué)量的表述 在表象中 的表示為 而在表象中的表示為 方程在表象中可表為 事實(shí)上，直接由在表象中表示來(lái)獲得 對(duì)任一算符的平均值為 例：求 在態(tài)矢量中的平均值解：在表象中表示 而 （3）考慮自旋后，電子在中心勢(shì)場(chǎng)中的薛定諤方程A. 動(dòng)能項(xiàng) 在非相對(duì)論極限下，電子的動(dòng)能為 當(dāng)計(jì)及電子的自旋后，波函數(shù)是兩分量。并注

10、意到我們有 而置于電磁場(chǎng)中時(shí)，則B自旋軌道耦合項(xiàng)由Dirac方程可以證明，當(dāng)電子在中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，哈密頓量（在非相對(duì)論極限下）中將出現(xiàn)自旋軌道耦合項(xiàng)（Thomas項(xiàng)）（核提供的庫(kù)侖屏敝場(chǎng)和自旋的作用導(dǎo)致） ， C電子置于電磁場(chǎng)中的哈密頓量 D.處于中心場(chǎng)中的電子，并置于電磁場(chǎng)中的薛定諤方程為 應(yīng)該注意，在表象中，這時(shí)是兩分量的，即 （1，2，3項(xiàng)是對(duì)角矩陣）§7.3 堿金屬的雙線結(jié)構(gòu)引進(jìn)電子自旋后，我們就能夠利用量子力學(xué)理論來(lái)解釋原子光譜中的復(fù)雜結(jié)構(gòu)及在外電磁場(chǎng)中的現(xiàn)象。（1）總角動(dòng)量A. 總角動(dòng)量引入：當(dāng)考慮電子具有自旋后，電子在中心力場(chǎng)中的 Hamiltonian為 由于自旋軌道

11、耦合項(xiàng)，和都不是運(yùn)動(dòng)常數(shù)例： 因此，()不能構(gòu)成力學(xué)量完全集。(與不對(duì)易)但 即 引入 當(dāng)然 而 由于有心勢(shì) 可證：由上述可見(jiàn)，當(dāng)計(jì)及自旋軌道耦合后，不再是運(yùn)動(dòng)常數(shù)，代之是運(yùn)動(dòng)常數(shù)（在中心場(chǎng)下）所以，可選為力學(xué)的完全集（如無(wú)項(xiàng)，可選）B. 的共同本征矢的表示（在表象中） 1. 它是的本征函數(shù) 這表明 取 2它們是的本征函數(shù) 因此 3由 而 在表象中矩陣表示 于是有 要求不同時(shí)為，則其系數(shù)行列式為， 得 即得的本征值為 當(dāng)給定 ， 于是有 由此可見(jiàn)，取確定值，而不具有確定值，它們?nèi)≈禐?可見(jiàn)，由自旋為態(tài)和軌道角動(dòng)量為的態(tài)可以耦合為總角動(dòng)量為和的態(tài)顯然，態(tài)的數(shù)目是一樣多的 事實(shí)上，上述就是基矢以基

12、矢展開(kāi)，即 即從表象 表象 B表象 A表象a,b就是平常稱(chēng)的幺正變換系數(shù) 人們習(xí)慣稱(chēng)為clebsch-Gordan coefficients（它們形成維的幺正矩陣）。自旋和軌道角動(dòng)量的耦合是兩角動(dòng)量耦合的特例。于是在中心勢(shì)中，考慮了電子的自旋，則其特解 例：電四極矩電四極矩算符在原子物理和原子核物理學(xué)中，測(cè)量給出的的電四極矩值的定義為 （對(duì)于一個(gè)電荷均勻分布的帶電體，其大小，符號(hào)，反映了體系的形狀）先看 由 而 注意到與自旋無(wú)關(guān)，而是正交的 由此可見(jiàn)，時(shí)，。這是由于算符是角動(dòng)量為的算符。當(dāng)它作用于后，態(tài)將從當(dāng)，則將 ，所以與正交。因此，這時(shí)在帶電體外，顯示“電荷”是球形分布。（2）堿金屬的雙線

13、結(jié)構(gòu)堿金屬原子有一個(gè)價(jià)電子，它受到來(lái)自原子核和其他電子提供的屏蔽庫(kù)侖場(chǎng)的作用。 價(jià)電子的哈密頓量為 如選力學(xué)量完全集（運(yùn)動(dòng)常數(shù)的完全集）則 由于 可表為 因?yàn)槲齽?shì) 所以。而隨單調(diào)上升，于是 因此，根據(jù)Hellmann-Feynman定理可證 原來(lái)能級(jí) 這即觀測(cè)到納光譜的雙線結(jié)構(gòu)。§7.4 兩自旋為的粒子的自旋波函數(shù) (1) 表象中兩自旋為的粒子的自旋波函數(shù)設(shè)：兩粒子的自旋分別為，顯然，如選表象則可能的態(tài)為 (2) 表象中兩自旋為的粒子的自旋波函數(shù)如令 則滿(mǎn)足角動(dòng)量的對(duì)易關(guān)系并有 可選表象由 （推論：無(wú)論多少冪次，都能化為，可化為） 令 是的本征態(tài)則 ，于是有 這時(shí)有 個(gè)態(tài) 而 由

14、（對(duì)于） 因此 當(dāng) 是交換算符 推得 我們稱(chēng) 為自旋三重態(tài) （對(duì)稱(chēng)的）為自旋單態(tài) （反對(duì)稱(chēng)的）當(dāng)兩自旋為的全同粒子，其相互作用對(duì)空間坐標(biāo)和自旋變量是變量可分離型時(shí)，則特解為 但是，這并不是體系可處的狀態(tài)。微觀世界還有一重要規(guī)律，使體系波函數(shù)不可任意選擇，這就是微觀粒子的全同性問(wèn)題。(3) Bell基若 ， 。 因，可選的共同本征態(tài)作為兩自旋為粒子的自旋波函數(shù)§7.5 Einstein-Podolsky-Rosen佯謬和Bell不等式學(xué)習(xí)量子力學(xué)，不僅能用它來(lái)計(jì)算一些物理量，還必須正確地解釋與觀察相關(guān)聯(lián)的結(jié)果。(1) Einstein-Podolsky-Rosen佯謬愛(ài)因斯坦，帕多爾斯

15、基和羅森認(rèn)為：兩個(gè)粒子構(gòu)成一個(gè)量子力學(xué)態(tài)。對(duì)一個(gè)粒子的測(cè)量將直接得知另一個(gè)粒子的狀態(tài)。例： 該態(tài)在動(dòng)量表象中的表示為 愛(ài)因斯坦等認(rèn)為，當(dāng)測(cè)量第一個(gè)粒子的坐標(biāo)，測(cè)得值為，則第二個(gè)粒子的坐標(biāo)必為；測(cè)量第二個(gè)粒子的動(dòng)量，測(cè)得值為，那第一個(gè)粒子的動(dòng)量必為。所以，都是物理實(shí)在（即都有確定值），且坐標(biāo)和動(dòng)量可同時(shí)具有確定值。這與兩個(gè)自旋為 的粒子處于自旋的態(tài)是等價(jià)的。考慮兩個(gè)自旋為 的粒子處于自旋單態(tài)。在初始時(shí)，它們?cè)谝黄?，而后分開(kāi)很大的距離，但仍處于自旋單態(tài)。一旦測(cè)量第一個(gè)粒子的自旋，那直接允許我們?nèi)ネ茢嗟诙€(gè)粒子的自旋，它始終與第一個(gè)粒子的自旋相反。愛(ài)因斯坦等人進(jìn)一步認(rèn)為，由于我們的測(cè)量并未接觸到第二

16、個(gè)粒子，所以測(cè)量第一個(gè)粒子自旋前，第二個(gè)粒子的狀態(tài)應(yīng)當(dāng)與測(cè)量第一個(gè)粒子自旋后是相同的。所以第二個(gè)粒子的自旋分量的值，應(yīng)當(dāng)是確定的，甚至是在測(cè)量第一個(gè)粒子自旋分量前就有確定值。我們又可將這一論證應(yīng)用于對(duì)第一個(gè)粒子自旋 或 分量的測(cè)量，從而也推得，測(cè)量第一個(gè)粒子自旋或分量前，第二個(gè)粒子的自旋或分量也有確定的值。這是與量子力學(xué)的描述相矛盾的。而愛(ài)因斯坦，帕多爾斯基和羅森則認(rèn)為，若用態(tài)矢量來(lái)作為量子力學(xué)的描述是不完全的。態(tài)矢量必須被補(bǔ)充或被某額外的隱變量所替代。自旋分量必然是這些隱變量的函數(shù)，所以，自旋分量能同時(shí)確定。量子力學(xué)否認(rèn)這些假設(shè)，認(rèn)為即使兩個(gè)粒子離開(kāi)很遠(yuǎn)，對(duì)第一個(gè)粒子的測(cè)量將影響第二個(gè)粒子的

17、狀態(tài)；另外，粒子本身并沒(méi)有這種實(shí)在性（即粒子的所有物理量都有確定值）。這種爭(zhēng)論持續(xù)很久。要判斷這兩種觀念誰(shuí)是誰(shuí)非，只能由特定的實(shí)驗(yàn)來(lái)認(rèn)證。(2) Bell Inqualities兩個(gè)自旋為 的粒子系統(tǒng)處于自旋單態(tài)這是一個(gè)糾纏態(tài)。它是體系兩部分狀態(tài)的乘積之和，即不能表示為體系的一部分狀態(tài)和體系的另一部分的狀態(tài)的單個(gè)乘積。顯然，在這個(gè)態(tài)中，測(cè)量第一個(gè)粒子（在 方向）得到某一結(jié)果，則知道第二個(gè)粒子隨之測(cè)量（在 方向）的結(jié)果。現(xiàn)考慮對(duì)它們的自旋沿不同方向進(jìn)行相繼測(cè)量。第一個(gè)粒子沿 方向測(cè)量，第二個(gè)粒子沿 方向測(cè)量。它們的測(cè)量結(jié)果都為 。如，方向相同，則平均值為。如 ， 方向相不同，這一相關(guān)聯(lián)測(cè)量的平均

18、值為 證： 不失一般性，假設(shè) 在 方向， 在平面 令 與 軸間的夾角為 ，則A. 對(duì)兩個(gè)處于自旋單態(tài)的粒子，在三個(gè)不同方向測(cè)量它們的自旋。根據(jù)定域隱變量理論，它們的關(guān)聯(lián)測(cè)量平均值的關(guān)系為這稱(chēng)為Bell不等式。論證：令關(guān)聯(lián)量 在定域隱變量理論中，對(duì)第一個(gè)粒子的測(cè)量將不影響第二個(gè)粒子的狀態(tài)。每個(gè)粒子同時(shí)有確定的自旋分量。因此，在這理論中，沿三個(gè)方向的自旋分量都有確定值。當(dāng)然，重復(fù)的測(cè)量所得值可以是不同的。的平均值為于是有所以，。而對(duì)這一關(guān)聯(lián)測(cè)量平均值的關(guān)系，量子力學(xué)的預(yù)言為若在測(cè)量時(shí)，取 三個(gè)方向共面，且 于是實(shí)驗(yàn)結(jié)果與量子力學(xué)的預(yù)言符合。B. 對(duì)兩個(gè)處于自旋單態(tài)的粒子，在四個(gè)不同方向測(cè)量它們的自

19、旋。根據(jù)定域隱變量理論，它們的關(guān)聯(lián)測(cè)量平均值的關(guān)系為這為另一個(gè)Bell不等式。 論證：根據(jù)定域隱變量理論，對(duì)任一物理量的測(cè)量都有確定值，所以 由定域隱變量理論的假設(shè)，我們知當(dāng) 時(shí)，則 ；當(dāng) 時(shí)，則 。因此，。于是 的平均值的絕對(duì)值滿(mǎn)足不等式而根據(jù)量子力學(xué)， 的平均值的絕對(duì)值應(yīng)為顯然，當(dāng) 共面，并取這時(shí)。這與定域隱變量理論所推得的不等式是不相符合的。若取 共面， 則有同樣，實(shí)驗(yàn)的測(cè)量結(jié)果是與量子力學(xué)的預(yù)言符合。實(shí)驗(yàn)證實(shí)了定域隱變量理論是不正確的。Einstein-Podolsky-Rosen的假設(shè)是不成立的。§7.6 全同粒子交換不變性波函數(shù)具有確定的置換對(duì)稱(chēng)性各種微觀粒子有一定屬性，

20、具有一定質(zhì)量、電荷、自旋，人們根據(jù)它的屬性的不同分別稱(chēng)為電子，質(zhì)子，介子，等等。實(shí)驗(yàn)證明，每一種粒子，都是完全相同的（如兩個(gè)氫原子中的質(zhì)子或電子都一樣）經(jīng)典物理學(xué)中，我們習(xí)慣稱(chēng)這是電子，那是電子，它們?cè)谕饬ψ饔孟?，按自己的軌道運(yùn)動(dòng)，我們?cè)谌魏螘r(shí)刻都能跟蹤它，我們不會(huì)誤認(rèn)電子為電子。即按軌道來(lái)區(qū)分同一類(lèi)粒子。但從量子力學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看，情況就發(fā)生變化。它不能用軌道的概念來(lái)描述，而只能用波函數(shù)來(lái)描述。根據(jù)波函數(shù)來(lái)描述出現(xiàn)在 的體積之中幾率大?。换蚋鶕?jù)一些力學(xué)量完全集來(lái)描述粒子所處狀態(tài)。即個(gè)粒子處于態(tài)；個(gè)粒子處于態(tài)，或這些態(tài)的疊加態(tài)上。但它不可能告訴你，那一個(gè)粒子處于態(tài)，那一個(gè)粒子處于態(tài)。如是可能的二種

21、態(tài)，對(duì)它進(jìn)行測(cè)量是分不清兩者的差別。它們每一個(gè)都不能用于對(duì)二個(gè)全同粒子的描述。全同粒子交換是不可觀測(cè)的。（1）交換不變性設(shè)：氦原子的兩個(gè)質(zhì)子固定不動(dòng)，那么描述氦原子中的兩個(gè)電子組成的體系，其哈密頓量為 若為粒子交換算符，將 ，則 由于任意，所以若 是交換不變，即 則 是運(yùn)動(dòng)常數(shù)（若是交換不變）或如此看，由于體系具有交換不變性，所以經(jīng)交換后演化到，應(yīng)等于演化到再進(jìn)行交換，即由于的任意性，所以 由于可任取 即 則是運(yùn)動(dòng)常數(shù)若是的本征態(tài)，則 ， 因此，有兩種態(tài)，一種是交換下不變，則為對(duì)稱(chēng)態(tài)；另一種是交換下改號(hào)，則為反對(duì)稱(chēng)態(tài)。顯然由于它是運(yùn)動(dòng)常數(shù)，因此，一開(kāi)始，體系處于置換對(duì)稱(chēng)態(tài)時(shí)，那以后任何時(shí)候都處

22、于這態(tài)下與其他運(yùn)動(dòng)常數(shù)有本質(zhì)不同之處是：體系要么處于對(duì)稱(chēng)態(tài)，要么處于反對(duì)稱(chēng)態(tài)。這是粒子本身所固有的特性。而不是人們能夠人為地給一個(gè)初條件，讓體系處于一個(gè)沒(méi)有確定的置換對(duì)稱(chēng)性的狀態(tài)下。所以，下面一些結(jié)論是重要的：A. 由于是一運(yùn)動(dòng)常數(shù)，因此一開(kāi)始體系處于某種交換對(duì)稱(chēng)態(tài)下，則以后任何時(shí)刻都處于這態(tài)下；B. 與其他運(yùn)動(dòng)常數(shù)有本質(zhì)不同之處在于，體系要么處對(duì)稱(chēng)態(tài)，要么處于反對(duì)稱(chēng)態(tài)。這是粒子固有的屬性，而不是人為地給初條件所致；C. 實(shí)驗(yàn)表明：具有自旋為半整數(shù)的粒子體系，當(dāng)兩粒子交換，波函數(shù)反號(hào)，即處于反對(duì)稱(chēng)態(tài)；而自旋為整數(shù)的粒子，兩者交換，波函數(shù)不變，即處于對(duì)稱(chēng)態(tài)。在統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中，具有自旋為的半整數(shù)的粒

23、子作為單元構(gòu)成的體系，遵守Fermi-Dirac統(tǒng)計(jì)（稱(chēng)為Fermion）。具有自旋為的整數(shù)倍的粒子作為單元構(gòu)成的體系，遵守Bose-Einstain統(tǒng)計(jì)（稱(chēng)為Boson）. (2) 全同粒子的波函數(shù)結(jié)構(gòu)，泡利原理忽略粒子間的相互作用，則個(gè)全同粒子的哈氏量為單粒子哈氏量之和顯然，對(duì)任何一粒子，其哈氏量的形式完全相同單粒子的能量本征方程為 它的一個(gè)特解為但它不能作為體系的態(tài)函數(shù)，因體系真正的態(tài)函數(shù)必須滿(mǎn)足一定的交換對(duì)稱(chēng)性。AN個(gè)費(fèi)米子的波函數(shù)，泡利原理由于費(fèi)米子的波函數(shù)交換一對(duì)費(fèi)米子是反對(duì)稱(chēng)的，因此，它可以如此來(lái)構(gòu)成：取 作為標(biāo)準(zhǔn)排列。 是經(jīng)過(guò)某一置換 來(lái)實(shí)現(xiàn)由于對(duì)換（transposition

24、）一對(duì)粒子，波函數(shù)改號(hào)。而對(duì)某一置換（Permutation）它相應(yīng)的對(duì)換數(shù)的奇偶性是一定的。因此，置換后的這一項(xiàng)的符號(hào)與標(biāo)準(zhǔn)排列項(xiàng)的符號(hào)差別取決于該置換的對(duì)換數(shù)的奇偶性。如 所以有5個(gè)對(duì)換，其符號(hào)為負(fù)號(hào)。對(duì)3個(gè)粒子：某一置換，即有一個(gè)對(duì)換，所以為負(fù)號(hào)。當(dāng)然可經(jīng)三個(gè)對(duì)換，但對(duì)換數(shù)的奇偶性保持不變。設(shè)一個(gè)置換對(duì)應(yīng)的對(duì)換數(shù)為，則真正的波函數(shù)應(yīng)為這即行列式定義例如：對(duì)N2可以看出，任意兩個(gè)粒子交換（即兩列交換）改號(hào)；若與態(tài)是完全相同的態(tài)，那（即兩行交換）。這表明，對(duì)兩個(gè)全同的費(fèi)米子不能處于這種態(tài)中。于是我們有下面的原理：泡利原理（pauli exclusion principle）：在客觀實(shí)際的體系中，沒(méi)有兩個(gè)或多個(gè)全同費(fèi)米子可處于一個(gè)完全相同的單態(tài)中（或：全同費(fèi)米子體系的態(tài)中，具有同樣量子數(shù)的單態(tài)不大于1）對(duì)于個(gè)粒子，有項(xiàng)（有個(gè)置換），而每一項(xiàng)中，費(fèi)米子處于這個(gè)單態(tài)上的分布是不同的，因此各項(xiàng)之間是正交的。所以，對(duì)于個(gè)無(wú)相互作用的全同費(fèi)米子體系的歸一化反對(duì)稱(chēng)波函數(shù)為B個(gè)全同玻色子的波函數(shù)由于玻色子波函數(shù)相對(duì)兩全同玻色子對(duì)換是對(duì)稱(chēng)的，即不變號(hào)： 由于玻色子不受泡利原理限制