從效用角度對(duì)保險(xiǎn)費(fèi)用的分析

1、從效用角度對(duì)保險(xiǎn)費(fèi)用的分析從效用角度對(duì)保險(xiǎn)費(fèi)用的分新O李清華(河南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院河南開封475004)【摘要】在風(fēng)險(xiǎn)厭惡的假設(shè)下,消費(fèi)者通過購買保險(xiǎn),使其未來處境由不確定的狀態(tài)達(dá)到確定的狀態(tài),從而提高其效用.因此,本文在馮?紐曼的效用指數(shù)的基礎(chǔ)上,推導(dǎo)出消費(fèi)者效用的兩個(gè)臨界點(diǎn),考察消費(fèi)者所愿意支付的最低,最高保險(xiǎn)費(fèi)率及保險(xiǎn)需求量.【關(guān)鍵詞】馮?紐曼的效用指數(shù)風(fēng)險(xiǎn)厭惡保險(xiǎn)需求量效用是指消費(fèi)者在消費(fèi)某種商品時(shí)所獲得的滿足程度,經(jīng)濟(jì)學(xué)的基本假設(shè)是消費(fèi)者是理性的,其消費(fèi)目的是在既定資源約束條件下追求效用最大化.但是未來的世界總是充滿不確定性,比如對(duì)于未來可能發(fā)生的疾病,盜竊,火災(zāi),養(yǎng)老,失業(yè),子女教育等

2、等,都需要較大貨幣支出,影響到我們?cè)谖磥砩畹馁|(zhì)量,所以購買保險(xiǎn)成為我們提高效用的明智選擇.一,人們面對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的不同態(tài)度面對(duì)財(cái)富,人們的態(tài)度可能是大相徑庭的.有的人,當(dāng)他掙得第二個(gè)100元時(shí)所帶來的滿足程度比他所掙的第一個(gè)100元還要大,即隨著財(cái)富的增長,給他帶來的效用不是遞減的,而是遞增的,那么這種人就會(huì)為了掙更多的錢而付出更多努力,從而也冒更大風(fēng)險(xiǎn),我們把這種人稱為風(fēng)險(xiǎn)愛好者,其財(cái)富與財(cái)富帶來的效用之間的關(guān)系如左圖所示:隨著財(cái)富的增長,其效用不僅增長,而且增長速度更快.即風(fēng)險(xiǎn)愛好者的財(cái)富效用曲線是下凸的,用數(shù)學(xué)的語言來表達(dá)就是:其效用函數(shù)u=u的一階導(dǎo)數(shù)大于0,二階導(dǎo)數(shù)也大于0.風(fēng)險(xiǎn)愛好者的

3、特征也可以用另外一種方式表示:根據(jù)馮,紐曼的效用指數(shù)的連續(xù)性公理,若W各W:代表風(fēng)險(xiǎn)條件下持有的資產(chǎn)額,且風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生的概率p一定,則必存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)額WJ,且Wo<ttJJ<ttJ2,滿足u(ttJJ)=pu(tJo)+(1-p)U(W:),即在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)Wo和W:之間必然存在無風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)額W,使無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)W2的效用與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的Wo,W:的效用的期望值無差異.所以對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)愛好者來說,必然有:pU(wo)+(1-p)U(w2)>Upwo+(1一p2而更多的人面對(duì)財(cái)富可能與上述態(tài)度相反,隨著所擁有的財(cái)富增加,財(cái)富給他帶來的滿足程度是遞減的,符合邊際效用遞,0當(dāng)

4、代經(jīng)濟(jì))2007年第3期(下)減規(guī)律.可以預(yù)測(cè),這種人面對(duì)風(fēng)險(xiǎn)是比較保守的,不會(huì)為了掙得更多的財(cái)富而冒更大的風(fēng)險(xiǎn),我們稱之為風(fēng)險(xiǎn)回避者.現(xiàn)實(shí)生活中大部分人屬于這種類型,他們的財(cái)富與效用的關(guān)系曲線可用上圖表示:隨著財(cái)富的增長,其效用也在增長,但是增長速度較慢.即風(fēng)險(xiǎn)回避者的財(cái)富效用曲線是下凹的.其效用函數(shù)U=U)的一階導(dǎo)數(shù)大于0,二階導(dǎo)數(shù)小于0.或者從另外一個(gè)角度來說,所以對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)回避者,必然有:pU(Wo)+(卜p)U(w2)<u(pWo+(1一p)ttJ2)第三種人稱為風(fēng)險(xiǎn)中立的,其效用函數(shù)曲線如下:即風(fēng)險(xiǎn)回避者的財(cái)富效用曲線是直線.仍假設(shè)其效用函數(shù)為:u:w),則該效用函數(shù)的

5、一階導(dǎo)數(shù)等于某一常數(shù),二階導(dǎo)數(shù)等于零.也可以從W另外一個(gè)角度來說,對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)中立者必然有:pU(o)+(卜p)U(w2)=Upwo+(1一p)ttJ2事實(shí)上,不僅不同的人對(duì)風(fēng)險(xiǎn)表現(xiàn)出不同的態(tài)度,即使是同一個(gè)人,隨著其財(cái)富及環(huán)境的變化等原因,在不同的情況下也會(huì)表現(xiàn)出不同的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度.由于未來生活總是處于不確定性的狀態(tài)之中,在風(fēng)險(xiǎn)厭惡的假設(shè)下,人們可以通過購買保險(xiǎn),使其未來處境由不確定的狀態(tài)達(dá)到確定的狀態(tài),從而提高其效用.因此,在風(fēng)險(xiǎn)厭惡的假設(shè)下,人們存在自然的保險(xiǎn)需求傾向.二,最佳保險(xiǎn)需求量的分析在上述分析中,假設(shè)人們是風(fēng)險(xiǎn)回避的,有轉(zhuǎn)嫁風(fēng)險(xiǎn),消除不確定性的需求,而保險(xiǎn)契約恰好可以滿足個(gè)體轉(zhuǎn)嫁風(fēng)險(xiǎn),

6、消除不確定性的需求.那么什么是保險(xiǎn)契約呢?我們一般把保險(xiǎn)契約理解為投保人繳納保險(xiǎn)費(fèi),以換取保險(xiǎn)人在約定的保險(xiǎn)事故發(fā)生時(shí)履行賠償或者給付責(zé)任的一種契約.如果投保人購買保險(xiǎn),保險(xiǎn)費(fèi)率為n,保險(xiǎn)金額為q,也就是說,投保人預(yù)先繳納nq的保險(xiǎn)費(fèi),得到一個(gè)損失發(fā)生時(shí)保險(xiǎn)人賠償q的承諾.在保險(xiǎn)合同中,當(dāng)事人雙方分別稱為投保人和保險(xiǎn)人,投保人對(duì)保險(xiǎn)的需求可以描述如下:.1,保險(xiǎn)契約成立的條件這里,我們可以假設(shè):(1)投保人為風(fēng)險(xiǎn)厭惡者,w代表其擁有的財(cái)富,效用函數(shù)為u;(2)可能發(fā)生兩種情況:損失發(fā)生的概率為p;損失不發(fā)生的概率為1一p;(3)如果發(fā)生損失,則投保人的損失為L.投保人是否投保不改變損失發(fā)生的概

7、率,即不考慮信息不對(duì)稱和敗德行為.消費(fèi)者如果不購買保險(xiǎn),存在以下兩種情況:狀態(tài)1:損失發(fā)生,消費(fèi)者的財(cái)富為wL;效用為:U(wL)狀態(tài)2:損失不發(fā)生,消費(fèi)者的財(cái)富為w;效用為gu(w)其期望效用為:u:pu(wL)+(1一p)u(w)(1)消費(fèi)者如果購買保險(xiǎn)的話,也存在以下兩種情況:狀態(tài)1:損失發(fā)生,投保人的財(cái)富為wnqL+q狀態(tài)2:損失不發(fā)生,投保人的財(cái)富為wnq投保人在這種條件下的期望效用為:L2=pu(w一”qL+q)+(1一p)u(w-nq)(2)根據(jù)期望效用最大化原理,投保人購買保險(xiǎn)的條件是:u1u2,即:pu(wL)+(1一p)u(w)pu(wnqL+q)+(1一p)u(wnq)(

8、3)顯然,只有滿足(3)式的要求,消費(fèi)者才可能購買保險(xiǎn).2,消費(fèi)者的最佳保險(xiǎn)需求量與最低保險(xiǎn)費(fèi)率那么,如果滿足(3)的話,消費(fèi)者對(duì)保險(xiǎn)的最佳需求q為多少呢?在此,可以把W,L視為常數(shù),消費(fèi)者實(shí)際是通過確定最佳的的q,以達(dá)到效用最大化的問題,即:Max(U2),通過對(duì)(2)式中自變量q取導(dǎo)數(shù),并令此導(dǎo)數(shù)等于零,得到:絲=(1一n)pU(wnqL+q)一n(1一p)U(w一”q)=0叫即:pU一(wp-)nq-一L+q)=1-n(4)l:一p)己和一,口)一t如果符合條件(4)的話,消費(fèi)者通過購買保險(xiǎn)使得自身所面臨的兩種狀態(tài)進(jìn)行交換,達(dá)到了承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的最優(yōu).也就是說,在既定的w,L,P的前提下,投保

9、人的保險(xiǎn)需求受保險(xiǎn)費(fèi)率n的影響;投保人總會(huì)根據(jù)市場(chǎng)給定的保險(xiǎn)費(fèi)率n的情況,選擇最大的保險(xiǎn)需求q.即保險(xiǎn)需求量q可以表示為wLPn的函數(shù):q=f【w,L,P,n)對(duì)于購買保險(xiǎn)的消費(fèi)者即投保人來說,最低可能的費(fèi)率n是多少呢?顯然,如果消費(fèi)者投保后財(cái)富的期望值等于其投保前財(cái)富的期望值是最理想的,此時(shí)保險(xiǎn)公司的利潤為零.我們稱這一保險(xiǎn)費(fèi)率為”公平精算保險(xiǎn)費(fèi)率”,公平費(fèi)率n滿足條件:p(wL)+(1一p)wp(wnqL+q)+(1一p)(wnq)(5)解這個(gè)方程得n=p.也就是說,只有在保險(xiǎn)費(fèi)率與損失概率一致的情況下,投保人在兩種狀態(tài)(損失發(fā)生與不發(fā)生)下財(cái)富的期望值相等,但是投保人獲得了保險(xiǎn),增加了效

10、用.這種情況是投保人最優(yōu)的選擇.此時(shí),把n=p代入(4)式,可得投保人的最佳保險(xiǎn)需求量為L,即q=L.這就是說,如果保險(xiǎn)費(fèi)率與損失發(fā)生的概率一致,投保人會(huì)選擇全額保險(xiǎn).那么,無論損失發(fā)生與否,投保人在投保后將面臨一個(gè)確定的,最優(yōu)的狀態(tài).3,消費(fèi)者所愿意支付的最高保費(fèi)率上述條件n=p只不過是從消費(fèi)者的角度看最優(yōu)的保費(fèi)率與最佳保險(xiǎn)額,從保險(xiǎn)公司的角度看一般是難以接受的,因?yàn)榇藭r(shí)其利潤為零.所以保險(xiǎn)公司所制定的保險(xiǎn)費(fèi)率n一般會(huì)大于損失發(fā)生的概率P.那么保險(xiǎn)費(fèi)率最高只能達(dá)到什么程度呢?也就是說,只要高于這一程度,消費(fèi)者購買保險(xiǎn)的效用反而不如不購買保險(xiǎn).我們依然從消費(fèi)者效用的角度來考察這一條件.假設(shè)消費(fèi)

11、者仍選擇全額保險(xiǎn),即q=L,則設(shè)其所能夠接受的最高保險(xiǎn)費(fèi)率為a,那么a應(yīng)符合這一條件:u(waL)=pU(wL)+(1一p)U(w)可以解出a的數(shù)值,它會(huì)高于損失發(fā)生的概率P,從而使保險(xiǎn)公司盈利.,4,一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)字例子假設(shè)某家庭為風(fēng)險(xiǎn)回避者,財(cái)富w對(duì)于他來說效用為u=,他的初始財(cái)富量為90000元,家庭發(fā)生火災(zāi)的概率p=0,05,一旦發(fā)生火災(zāi),損失為L=80000元.如果保險(xiǎn)公司收取公平保險(xiǎn)費(fèi)率n=O.05,那么對(duì)于他來說,最佳投保金額為其損失額80000,所要交納的保險(xiǎn)費(fèi)nq=0.05x80000=4000,此時(shí)該家庭投保前后財(cái)富的期望值相等:投保前財(cái)富的期望值:pU(wL)+(卜p)u(

12、w)=0.05x10000)+095×90000=860o0投保后財(cái)富的期望值:pU(wnqL+q)+(卜p)U(wnq)=0.05×86000+0.95×86000=8600O所不同的是在投保前后,該家庭的效用水平提高了:投保前的效用水平:pU(wL)+(1一p)u(w)0.05x,90000-80000+0.959o4ooo=290投保后的效用水平:86ooo=293.26當(dāng)然由于保險(xiǎn)公司收取的是公平保險(xiǎn)費(fèi)率,對(duì)于消費(fèi)者來說是最低費(fèi)率.此時(shí)保險(xiǎn)公司的利潤為零.那么,對(duì)于該家庭來說,如果仍然要購買80000的保險(xiǎn)額,他所愿意承受的最高保費(fèi)率是多少呢?根據(jù):u(w

13、aL)=pU(wL)+(1.p)u(w)即:49ootx-a;:0.05x49000080000+0.95×490000可以得到該家庭支出的總保險(xiǎn)費(fèi)用為aL=5900,若保險(xiǎn)額L仍為80000,則保險(xiǎn)費(fèi)率a=O.07375三,對(duì)保險(xiǎn)原理與保險(xiǎn)本質(zhì)的再認(rèn)識(shí)從表面上看,保險(xiǎn)是保險(xiǎn)公司提供的,投保人通過向保險(xiǎn)公司購買保險(xiǎn),以繳納一定的保險(xiǎn)費(fèi)為代價(jià)將風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)嫁給了保險(xiǎn)人.但事實(shí)上,保險(xiǎn)是通過在投保人之間分散風(fēng)險(xiǎn)以滿足人們轉(zhuǎn)嫁風(fēng)險(xiǎn)的需求,保險(xiǎn)的本質(zhì)特征就是通過將風(fēng)險(xiǎn)在投保人之間進(jìn)行分散,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)補(bǔ)償損失的作用.隨著所匯集的個(gè)體投保人數(shù)量的不斷擴(kuò)大,只要在損失概率即公平保險(xiǎn)費(fèi)率n=p的基礎(chǔ)上籌集保險(xiǎn)費(fèi),投保人群體之間就可以解決內(nèi)部每個(gè)投保人的損失補(bǔ)償問題.也就是說,對(duì)于作為風(fēng)險(xiǎn)回避者的消費(fèi)者而言,是將自身面臨的風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)嫁給了整體投保人群體;而對(duì)于投保人整體而言,則是將可能的損失在群體之間進(jìn)行分散.而且,只要投保人群體充分大,僅僅依賴其整體內(nèi)的期望損失,所有投保人作為一個(gè)整