數(shù)學(xué)知識點(diǎn)整合的探究

1、數(shù)學(xué)知識點(diǎn)整合的探究廣東省順德一中初中部冼海文 【摘 要】：數(shù)學(xué)包含的知識十分廣泛，只有把各知識點(diǎn)重新整合，探索零散知識點(diǎn)間的內(nèi)在聯(lián)系， 才能有助于學(xué)生理清知識的脈絡(luò)和結(jié)構(gòu)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想和方法的掌握與理解，達(dá)到良好的教學(xué)效果?！娟P(guān)鍵詞】：整合 螺旋上升數(shù)學(xué)是集嚴(yán)密性、邏輯性、精確性、創(chuàng)造性及想象力于一身的科學(xué)。數(shù)學(xué)知識的入門，是學(xué)生在教師設(shè)計(jì)的教學(xué)活動(dòng)中通過思維的加深理解而掌握的，因此，教師如何對教學(xué)內(nèi)容有效地設(shè)計(jì)，使數(shù)學(xué)知識點(diǎn)并非分部分孤立存在，是搞好課堂教學(xué)的關(guān)鍵，若能采用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)，把各知識點(diǎn)重新整合，達(dá)到環(huán)環(huán)相扣，緊密相連，真正體現(xiàn)螺旋上升的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)原則，有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識整體性有更

2、深的認(rèn)識，促進(jìn)數(shù)學(xué)思想和方法的掌握與理解。筆者認(rèn)為可從以下五方面處理：一 構(gòu)建代數(shù)與幾何有機(jī)結(jié)合的橋梁。初中數(shù)學(xué)分代數(shù)、幾何兩大板塊，分別側(cè)重抽象思維和形象思維，二者本是相互依存，只是傳統(tǒng)教學(xué)把代數(shù)與幾何分裂成兩個(gè)相對獨(dú)立的部分，阻礙了學(xué)生思維的跳躍式發(fā)展。針對這一現(xiàn)象，新課標(biāo)下的教材把代數(shù)與幾何融為一體，教師若能幫助學(xué)生學(xué)會把數(shù)及其各種表示形式形象化，把圖形通過變形數(shù)量化，把抽象思維和形象思維有機(jī)結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生樹立數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，將有利地促進(jìn)學(xué)生學(xué)會既能用幾何的方法去解決代數(shù)問題，又能用代數(shù)的方法解決幾何問題。數(shù)形結(jié)合的知識點(diǎn)具體表現(xiàn)如：(1) 一元一次方程、一元一次不等式與正比例函數(shù)、

3、一次函數(shù)；二元一次方程與直線，二元一次方程組與兩條直線的位置關(guān)系；一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)，這一切構(gòu)成了代數(shù)解析式與圖像的一一對應(yīng)關(guān)系。這種關(guān)系成為實(shí)踐數(shù)學(xué)內(nèi)容中數(shù)形結(jié)合思想的核心。(2) 解直角三角形、勾股定理、圓冪定理、圓的內(nèi)接多邊形、圓周角定理及推論等教學(xué)內(nèi)容，集中體現(xiàn)了解三角形與多邊形之間的數(shù)形關(guān)系。在習(xí)題的設(shè)計(jì)上也應(yīng)多安排數(shù)形結(jié)合的例子，如：例：等腰三角形的周長為12cm，腰為y (cm) 與底邊x (cm) 之間的函數(shù)關(guān)系式，并求底邊x 的取值范圍。這是一次函數(shù)題，但在求自變量的取值范圍時(shí)，卻用到了“線段的長度大于0”和“三角形兩邊之和大于第三邊”等幾何知識，把代數(shù)知

4、識與幾何知識有機(jī)結(jié)合。二構(gòu)建教學(xué)內(nèi)容螺旋上升的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。傳統(tǒng)教材內(nèi)容遵循逐層遞進(jìn)的原則，知識的構(gòu)筑由低級到高級，由簡單到復(fù)雜，由局部到整體，呈現(xiàn)線性排列，所有規(guī)律不能逆轉(zhuǎn)，在某一時(shí)間段的知識點(diǎn)是零散而獨(dú)立的，與數(shù)學(xué)知識大群體相脫節(jié)，但學(xué)生對基礎(chǔ)知識與基本技能的掌握，不是靠按部就班聽教師講解，與逐步模仿，再把知識點(diǎn)簡單拼湊而成，而是通過自主地選擇舊知識體系中已有的方法，反復(fù)多次地解決實(shí)際問題中領(lǐng)悟而成。因此，如何構(gòu)建教學(xué)內(nèi)容螺旋上升的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，把知識點(diǎn)整合成以整體局部整體的形式出現(xiàn)，是解決問題的關(guān)鍵。以三角形全等的判定為例，教材的知識鋪排順序是，每講完一條判定公理，就出現(xiàn)許多相應(yīng)練習(xí)讓學(xué)生反復(fù)單

5、一地訓(xùn)練，只有當(dāng)四條判定公理全部介紹完，才出現(xiàn)綜合運(yùn)用。教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)按這種“線性”編排，學(xué)生在常時(shí)間沒有建立知識間的關(guān)系，導(dǎo)致在綜合運(yùn)用中需選擇合適工具時(shí)，無以適從?？纱蚱平滩闹袃?nèi)容的線性安排，構(gòu)建螺旋上升的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)：先在同一節(jié)課用實(shí)驗(yàn)的方法引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些公理，讓學(xué)生從一開始就全面認(rèn)識這些公理及內(nèi)在聯(lián)系，與都是為了判定三角形全等的目的性，盡早在腦海中形成知識的結(jié)構(gòu)，在后幾節(jié)課再由易到難、分層次地讓學(xué)生自主選擇合適的公理解決問題，提高綜合運(yùn)用能力。這種通過對教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)的整合，既可削除學(xué)生思維的單一性和對教師的依賴性，又充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的主觀能動(dòng)性，收到更好的教學(xué)效果。三把握知識點(diǎn)間的連動(dòng)性。數(shù)

6、學(xué)知識點(diǎn)難度循序漸進(jìn)，前者總為后者作鋪墊，然而，學(xué)生一般不知課本上所介紹的新知識從何而來，與知識點(diǎn)有何聯(lián)系，認(rèn)為那只是數(shù)學(xué)家們靈感突現(xiàn)時(shí)的奇思異想，唯有盲目接受。據(jù)此，教育者就無法培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力，而如果能洞悉并再現(xiàn)發(fā)現(xiàn)者的發(fā)現(xiàn)過程，有助于學(xué)生對知識點(diǎn)的來源有一個(gè)深刻的認(rèn)識，真正體會數(shù)學(xué)知識點(diǎn)間的聯(lián)系與內(nèi)在規(guī)律，感受數(shù)學(xué)的整體性，進(jìn)而對新知識的發(fā)現(xiàn)與摸索產(chǎn)生濃厚的興趣，主動(dòng)探索他們的未知領(lǐng)域。例如在“和圓有關(guān)的定理”中，可引導(dǎo)學(xué)生通過定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方法推導(dǎo)出各定理：經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)作圓的弦或割線有無數(shù)條，但這些弦或割線被該定點(diǎn)內(nèi)分或外分成的兩條線段的積有一定關(guān)系，當(dāng)定點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，可得到相交弦定理（圖1

7、）及推論（圖2）；當(dāng)定點(diǎn)向外移動(dòng)到圓上時(shí)（圖3），積也相等，只是無實(shí)際意義；當(dāng)定點(diǎn)移動(dòng)到圓外，得到割線定理（圖4）；當(dāng)割線PBA向圓外旋轉(zhuǎn)變成切線時(shí)（圖5），得到切割線定理；當(dāng)割線PDC也向圓外旋轉(zhuǎn)變成切線時(shí)（圖6）得到切線長定理。 A C A A A A D B P A P B P P P P B D D C D C C C D 圖1 圖2圖3 圖4 圖5 圖6學(xué)生通過點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方法找到圓的這幾個(gè)有關(guān)定理后，又產(chǎn)生疑問：過一點(diǎn)P向O作任一直線，交O于兩點(diǎn)，則自定點(diǎn)P到兩交點(diǎn)的兩條線段之積相等，又是否是定值呢？進(jìn)而推出課本上沒有的結(jié)論：積為常數(shù)|OP2R2| （其中R為O的半徑）。四注重題目的開

8、放性與探索性。數(shù)學(xué)知識的掌握，主要是通過對練習(xí)的加深理解而鞏固，傳統(tǒng)的習(xí)題教學(xué)卻單純地注重種類繁多的例題的講解，與學(xué)生機(jī)械化地反復(fù)練習(xí)，企圖通過“題?！?增長學(xué)生的見識面，以期望考試題目都曾見過。而未能看到這種訓(xùn)練是否能鍛煉學(xué)生的靈活與深刻性，導(dǎo)致學(xué)生聽懂了一道題，但若把題目稍作變形，就無以適從。這種方式無法培養(yǎng)發(fā)散性思維，導(dǎo)致學(xué)生的思維極具單向性，不會從多角度分析問題，綜合運(yùn)用能力差。根據(jù)教學(xué)實(shí)際，適當(dāng)改變習(xí)題的封閉性，可使知識的使用密度得到提高，達(dá)到更好的教學(xué)效果。創(chuàng)造例題與習(xí)題的開放性與探索性的方法有很多，可以是隱去結(jié)論（結(jié)論開放），也可以是條件與結(jié)論互換（條件開放），也可以通過一題多解

9、（推理開放），聯(lián)想、類比（綜合開放）等等手段，使原來相對封閉的題型，更具活力，既可幫助學(xué)生提高思維的探究性和發(fā)散性，又可讓他們感受到數(shù)學(xué)的趣味與美感。例如，和圓有關(guān)的比例線段的一道練習(xí)，原題為：如右圖，已知O和O都經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)P在BA的延長線上，過P作O的割線PCD交O于C、D，作O的切線PE切O于E。若PC4，CD8，求PE的長?？蓪υ}進(jìn)行如下重新“包裝”和拓展，要求學(xué)生根據(jù)圖形的變化及變式，探求新條件下的結(jié)論，從而鍛練學(xué)生的靈活性與深刻性。變形為：如圖1，已知O和O都經(jīng)過點(diǎn)A和B，直線PQ切O于點(diǎn)P，交O于點(diǎn)Q、M，交AB的延長線于點(diǎn)N。（1） 求證：PN2NMNQ。（2） 若M是

10、PQ的中點(diǎn)，設(shè)MQx，MNy,求證x3y。（3） 若O不動(dòng)，把O向右向左平移，分別得到圖2、圖3、圖4，請你判斷（直接寫出判斷結(jié)論，不需證明）：（1）題結(jié)論是否仍然成立？ 在圖2中，（2）題結(jié)論是否仍然成立？在圖3、圖4中若將（2）題條件改為：M是PN的中點(diǎn)，設(shè)MQx,MN=y,則x3y的結(jié)論是否仍然成立？ 五加強(qiáng)與生活實(shí)際的聯(lián)系，把人文教育滲透于教學(xué)中。數(shù)學(xué)是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進(jìn)行廣泛應(yīng)用的過程，它作為一種普遍適用的技術(shù)，有助于人們收集、整理、描述信息，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而解決問題。但柯朗在什么是數(shù)學(xué)？中指出：“數(shù)學(xué)教育正出現(xiàn)嚴(yán)重危機(jī)，數(shù)學(xué)的教學(xué)

11、逐漸流于無意義的單純演算習(xí)題的訓(xùn)練”，“忽視應(yīng)用在重視智力訓(xùn)練的人們中必然激起強(qiáng)烈的反感。”學(xué)生關(guān)注來源于自然、社會，及其他學(xué)科中更為廣泛的現(xiàn)象和問題，對具有挑戰(zhàn)性的內(nèi)容表現(xiàn)出極大興趣，教師應(yīng)遵循他們的心理規(guī)律，讓課外知識向課內(nèi)延伸，課內(nèi)知識向課外輻射。引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問題出發(fā)，根據(jù)觀察、實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，運(yùn)用歸納、類比的方法，把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型，在自主探索與合作交流的過程中，真正理解和掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和技能、數(shù)學(xué)思想和方法。例：一個(gè)由3個(gè)大人和4個(gè)孩子組成的家庭去某地旅游。甲旅行社的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：如果買4張全票，則其余人按半價(jià)優(yōu)惠；乙旅行社的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：家庭旅游算團(tuán)體票，按原價(jià)的3/4收費(fèi)。這兩家旅行社的原價(jià)均為每人100元。這個(gè)家庭選擇哪家旅行社所花的費(fèi)用少？比較隨著孩子人數(shù)的變化，哪家旅行社的收費(fèi)更優(yōu)惠？這個(gè)例子主要考查一次函數(shù)的內(nèi)容，但它并非將考查的重點(diǎn)放在對概念的記憶和技能的模仿上，而是提供了一個(gè)與現(xiàn)實(shí)生活密切聯(lián)系的、學(xué)生感興趣的問題情境，以考查學(xué)生運(yùn)用所