數(shù)學知識點整合的探究

1、數(shù)學知識點整合的探究廣東省順德一中初中部冼海文 【摘 要】：數(shù)學包含的知識十分廣泛，只有把各知識點重新整合，探索零散知識點間的內(nèi)在聯(lián)系， 才能有助于學生理清知識的脈絡和結(jié)構(gòu)，加強數(shù)學思想和方法的掌握與理解，達到良好的教學效果?！娟P鍵詞】：整合 螺旋上升數(shù)學是集嚴密性、邏輯性、精確性、創(chuàng)造性及想象力于一身的科學。數(shù)學知識的入門，是學生在教師設計的教學活動中通過思維的加深理解而掌握的，因此，教師如何對教學內(nèi)容有效地設計，使數(shù)學知識點并非分部分孤立存在，是搞好課堂教學的關鍵，若能采用運動的觀點，把各知識點重新整合，達到環(huán)環(huán)相扣，緊密相連，真正體現(xiàn)螺旋上升的網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)原則，有助于學生對數(shù)學知識整體性有更

2、深的認識，促進數(shù)學思想和方法的掌握與理解。筆者認為可從以下五方面處理：一 構(gòu)建代數(shù)與幾何有機結(jié)合的橋梁。初中數(shù)學分代數(shù)、幾何兩大板塊，分別側(cè)重抽象思維和形象思維，二者本是相互依存，只是傳統(tǒng)教學把代數(shù)與幾何分裂成兩個相對獨立的部分，阻礙了學生思維的跳躍式發(fā)展。針對這一現(xiàn)象，新課標下的教材把代數(shù)與幾何融為一體，教師若能幫助學生學會把數(shù)及其各種表示形式形象化，把圖形通過變形數(shù)量化，把抽象思維和形象思維有機結(jié)合，培養(yǎng)學生樹立數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，將有利地促進學生學會既能用幾何的方法去解決代數(shù)問題，又能用代數(shù)的方法解決幾何問題。數(shù)形結(jié)合的知識點具體表現(xiàn)如：(1) 一元一次方程、一元一次不等式與正比例函數(shù)、

3、一次函數(shù)；二元一次方程與直線，二元一次方程組與兩條直線的位置關系；一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)，這一切構(gòu)成了代數(shù)解析式與圖像的一一對應關系。這種關系成為實踐數(shù)學內(nèi)容中數(shù)形結(jié)合思想的核心。(2) 解直角三角形、勾股定理、圓冪定理、圓的內(nèi)接多邊形、圓周角定理及推論等教學內(nèi)容，集中體現(xiàn)了解三角形與多邊形之間的數(shù)形關系。在習題的設計上也應多安排數(shù)形結(jié)合的例子，如：例：等腰三角形的周長為12cm，腰為y (cm) 與底邊x (cm) 之間的函數(shù)關系式，并求底邊x 的取值范圍。這是一次函數(shù)題，但在求自變量的取值范圍時，卻用到了“線段的長度大于0”和“三角形兩邊之和大于第三邊”等幾何知識，把代數(shù)知

4、識與幾何知識有機結(jié)合。二構(gòu)建教學內(nèi)容螺旋上升的網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)。傳統(tǒng)教材內(nèi)容遵循逐層遞進的原則，知識的構(gòu)筑由低級到高級，由簡單到復雜，由局部到整體，呈現(xiàn)線性排列，所有規(guī)律不能逆轉(zhuǎn)，在某一時間段的知識點是零散而獨立的，與數(shù)學知識大群體相脫節(jié)，但學生對基礎知識與基本技能的掌握，不是靠按部就班聽教師講解，與逐步模仿，再把知識點簡單拼湊而成，而是通過自主地選擇舊知識體系中已有的方法，反復多次地解決實際問題中領悟而成。因此，如何構(gòu)建教學內(nèi)容螺旋上升的網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)，把知識點整合成以整體局部整體的形式出現(xiàn)，是解決問題的關鍵。以三角形全等的判定為例，教材的知識鋪排順序是，每講完一條判定公理，就出現(xiàn)許多相應練習讓學生反復單

5、一地訓練，只有當四條判定公理全部介紹完，才出現(xiàn)綜合運用。教學內(nèi)容結(jié)構(gòu)按這種“線性”編排，學生在常時間沒有建立知識間的關系，導致在綜合運用中需選擇合適工具時，無以適從?？纱蚱平滩闹袃?nèi)容的線性安排，構(gòu)建螺旋上升的網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)：先在同一節(jié)課用實驗的方法引導學生發(fā)現(xiàn)這些公理，讓學生從一開始就全面認識這些公理及內(nèi)在聯(lián)系，與都是為了判定三角形全等的目的性，盡早在腦海中形成知識的結(jié)構(gòu)，在后幾節(jié)課再由易到難、分層次地讓學生自主選擇合適的公理解決問題，提高綜合運用能力。這種通過對教學內(nèi)容結(jié)構(gòu)的整合，既可削除學生思維的單一性和對教師的依賴性，又充分調(diào)動了學生的主觀能動性，收到更好的教學效果。三把握知識點間的連動性。數(shù)

6、學知識點難度循序漸進，前者總為后者作鋪墊，然而，學生一般不知課本上所介紹的新知識從何而來，與知識點有何聯(lián)系，認為那只是數(shù)學家們靈感突現(xiàn)時的奇思異想，唯有盲目接受。據(jù)此，教育者就無法培養(yǎng)學生的創(chuàng)造力，而如果能洞悉并再現(xiàn)發(fā)現(xiàn)者的發(fā)現(xiàn)過程，有助于學生對知識點的來源有一個深刻的認識，真正體會數(shù)學知識點間的聯(lián)系與內(nèi)在規(guī)律，感受數(shù)學的整體性，進而對新知識的發(fā)現(xiàn)與摸索產(chǎn)生濃厚的興趣，主動探索他們的未知領域。例如在“和圓有關的定理”中，可引導學生通過定點運動的方法推導出各定理：經(jīng)過一個定點作圓的弦或割線有無數(shù)條，但這些弦或割線被該定點內(nèi)分或外分成的兩條線段的積有一定關系，當定點在圓內(nèi)時，可得到相交弦定理（圖1

7、）及推論（圖2）；當定點向外移動到圓上時（圖3），積也相等，只是無實際意義；當定點移動到圓外，得到割線定理（圖4）；當割線PBA向圓外旋轉(zhuǎn)變成切線時（圖5），得到切割線定理；當割線PDC也向圓外旋轉(zhuǎn)變成切線時（圖6）得到切線長定理。 A C A A A A D B P A P B P P P P B D D C D C C C D 圖1 圖2圖3 圖4 圖5 圖6學生通過點運動的方法找到圓的這幾個有關定理后，又產(chǎn)生疑問：過一點P向O作任一直線，交O于兩點，則自定點P到兩交點的兩條線段之積相等，又是否是定值呢？進而推出課本上沒有的結(jié)論：積為常數(shù)|OP2R2| （其中R為O的半徑）。四注重題目的開

8、放性與探索性。數(shù)學知識的掌握，主要是通過對練習的加深理解而鞏固，傳統(tǒng)的習題教學卻單純地注重種類繁多的例題的講解，與學生機械化地反復練習，企圖通過“題?！?增長學生的見識面，以期望考試題目都曾見過。而未能看到這種訓練是否能鍛煉學生的靈活與深刻性，導致學生聽懂了一道題，但若把題目稍作變形，就無以適從。這種方式無法培養(yǎng)發(fā)散性思維，導致學生的思維極具單向性，不會從多角度分析問題，綜合運用能力差。根據(jù)教學實際，適當改變習題的封閉性，可使知識的使用密度得到提高，達到更好的教學效果。創(chuàng)造例題與習題的開放性與探索性的方法有很多，可以是隱去結(jié)論（結(jié)論開放），也可以是條件與結(jié)論互換（條件開放），也可以通過一題多解

9、（推理開放），聯(lián)想、類比（綜合開放）等等手段，使原來相對封閉的題型，更具活力，既可幫助學生提高思維的探究性和發(fā)散性，又可讓他們感受到數(shù)學的趣味與美感。例如，和圓有關的比例線段的一道練習，原題為：如右圖，已知O和O都經(jīng)過點A和點B，點P在BA的延長線上，過P作O的割線PCD交O于C、D，作O的切線PE切O于E。若PC4，CD8，求PE的長。可對原題進行如下重新“包裝”和拓展，要求學生根據(jù)圖形的變化及變式，探求新條件下的結(jié)論，從而鍛練學生的靈活性與深刻性。變形為：如圖1，已知O和O都經(jīng)過點A和B，直線PQ切O于點P，交O于點Q、M，交AB的延長線于點N。（1） 求證：PN2NMNQ。（2） 若M是

10、PQ的中點，設MQx，MNy,求證x3y。（3） 若O不動，把O向右向左平移，分別得到圖2、圖3、圖4，請你判斷（直接寫出判斷結(jié)論，不需證明）：（1）題結(jié)論是否仍然成立？ 在圖2中，（2）題結(jié)論是否仍然成立？在圖3、圖4中若將（2）題條件改為：M是PN的中點，設MQx,MN=y,則x3y的結(jié)論是否仍然成立？ 五加強與生活實際的聯(lián)系，把人文教育滲透于教學中。數(shù)學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進行廣泛應用的過程，它作為一種普遍適用的技術(shù)，有助于人們收集、整理、描述信息，建立數(shù)學模型，進而解決問題。但柯朗在什么是數(shù)學？中指出：“數(shù)學教育正出現(xiàn)嚴重危機，數(shù)學的教學

11、逐漸流于無意義的單純演算習題的訓練”，“忽視應用在重視智力訓練的人們中必然激起強烈的反感?！睂W生關注來源于自然、社會，及其他學科中更為廣泛的現(xiàn)象和問題，對具有挑戰(zhàn)性的內(nèi)容表現(xiàn)出極大興趣，教師應遵循他們的心理規(guī)律，讓課外知識向課內(nèi)延伸，課內(nèi)知識向課外輻射。引導學生從實際問題出發(fā)，根據(jù)觀察、實驗的結(jié)果，運用歸納、類比的方法，把實際問題抽象為數(shù)學模型，在自主探索與合作交流的過程中，真正理解和掌握數(shù)學的基礎知識和技能、數(shù)學思想和方法。例：一個由3個大人和4個孩子組成的家庭去某地旅游。甲旅行社的收費標準是：如果買4張全票，則其余人按半價優(yōu)惠；乙旅行社的收費標準是：家庭旅游算團體票，按原價的3/4收費。這兩家旅行社的原價均為每人100元。這個家庭選擇哪家旅行社所花的費用少？比較隨著孩子人數(shù)的變化，哪家旅行社的收費更優(yōu)惠？這個例子主要考查一次函數(shù)的內(nèi)容，但它并非將考查的重點放在對概念的記憶和技能的模仿上，而是提供了一個與現(xiàn)實生活密切聯(lián)系的、學生感興趣的問題情境，以考查學生運用所