2013高考數(shù)學(xué) 考前解題基本方法二 換元法

1、二、換元法解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得容易處理。換元法又稱(chēng)輔助元素法、變量代換法。通過(guò)引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來(lái)，隱含的條件顯露出來(lái)，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來(lái)。或者變?yōu)槭煜さ男问剑褟?fù)雜的計(jì)算和推證簡(jiǎn)化。它可以化高次為低次、化分式為整式、化無(wú)理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用。換元的方法有：局部換元、三角換元、均

2、值換元等。局部換元又稱(chēng)整體換元，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來(lái)代替它從而簡(jiǎn)化問(wèn)題，當(dāng)然有時(shí)候要通過(guò)變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4220，先變形為設(shè)2t（t>0），而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程的問(wèn)題。三角換元，應(yīng)用于去根號(hào)，或者變換為三角形式易求時(shí)，主要利用已知代數(shù)式中與三角知識(shí)中有某點(diǎn)聯(lián)系進(jìn)行換元。如求函數(shù)y的值域時(shí)，易發(fā)現(xiàn)x0,1，設(shè)xsin ，0,，問(wèn)題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會(huì)想到如此設(shè)，其中主要應(yīng)該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號(hào)的需要。如變量x、y適合條件xyr（r>0）時(shí)，則可作三角代換xrcos、yrsin化為三角問(wèn)題。均值換

3、元，如遇到xyS形式時(shí)，設(shè)xt，yt等等。我們使用換元法時(shí)，要遵循有利于運(yùn)算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對(duì)應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴(kuò)大。如上幾例中的t>0和0,。、再現(xiàn)性題組：1.ysinx·cosxsinx+cosx的最大值是_。2.設(shè)f(x1)log(4x) （a>1），則f(x)的值域是_。3.已知數(shù)列a中，a1，a·aaa，則數(shù)列通項(xiàng)a_。4.設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足x2xy10，則xy的取值范圍是_。5.方程3的解是_。6.不等式log(21) ·log(22)2的解集是_?！竞?jiǎn)解】1小題：設(shè)si

4、nx+cosxt,，則yt，對(duì)稱(chēng)軸t1，當(dāng)t，y；2小題：設(shè)x1t (t1)，則f(t)log-(t-1)4，所以值域?yàn)?,log4；3小題：已知變形為1,設(shè)b，則b1,b1(n1)(-1)n，所以a；4小題：設(shè)xyk，則x2kx10, 4k40,所以k1或k1；5小題：設(shè)3y，則3y2y10,解得y，所以x1；6小題：設(shè)log(21)y，則y(y1)<2，解得2<y<1，所以x(log,log3)。、示范性題組：例1. 實(shí)數(shù)x、y滿足4x5xy4y5 （ 式） ，設(shè)Sxy，求的值。（93年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）【分析】 由Sxy聯(lián)想到cossin1,于是進(jìn)行三角換元，設(shè)代入式

5、求S和S的值?！窘狻吭O(shè)代入式得： 4S5S·sincos5 解得 S ； -1sin21 385sin213 此種解法后面求S最大值和最小值，還可由sin2的有界性而求，即解不等式：|1。這種方法是求函數(shù)值域時(shí)經(jīng)常用到的“有界法”?！玖斫狻?由Sxy，設(shè)xt，yt，t， 則xy±代入式得：4S±5=5， 移項(xiàng)平方整理得 100t+39S160S1000 。 39S160S1000 解得：S 【注】 此題第一種解法屬于“三角換元法”，主要是利用已知條件Sxy與三角公式cossin1的聯(lián)系而聯(lián)想和發(fā)現(xiàn)用三角換元，將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域問(wèn)題。第二種解法屬于“均值換

6、元法”，主要是由等式Sxy而按照均值換元的思路，設(shè)xt、yt，減少了元的個(gè)數(shù)，問(wèn)題且容易求解。另外，還用到了求值域的幾種方法：有界法、不等式性質(zhì)法、分離參數(shù)法。和“均值換元法”類(lèi)似，我們還有一種換元法，即在題中有兩個(gè)變量x、y時(shí)，可以設(shè)xab，yab，這稱(chēng)為“和差換元法”，換元后有可能簡(jiǎn)化代數(shù)式。本題設(shè)xab，yab，代入式整理得3a13b5 ，求得a0,，所以S(ab)(ab)2(ab)a,，再求的值。例2 ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿足：AC2B，求cos的值。（96年全國(guó)理）【分析】 由已知“AC2B”和“三角形內(nèi)角和等于180°”的性質(zhì)，可得 ；由“AC120°”進(jìn)

7、行均值換元，則設(shè) ，再代入可求cos即cos?！窘狻坑葾BC中已知AC2B，可得 ,由AC120°，設(shè)，代入已知等式得：2,解得：cos， 即：cos。【另解】由AC2B，得AC120°，B60°。所以2，設(shè)m，m ，所以cosA，cosC，兩式分別相加、相減得：cosAcosC2coscoscos，cosAcosC2sinsinsin，即：sin，代入sincos1整理得：3m16m120,解出m6，代入cos?！咀ⅰ?本題兩種解法由“AC120°”、“2”分別進(jìn)行均值換元，隨后結(jié)合三角形角的關(guān)系與三角公式進(jìn)行運(yùn)算，除由已知想到均值換元外，還要求對(duì)三角

8、公式的運(yùn)用相當(dāng)熟練。假如未想到進(jìn)行均值換元，也可由三角運(yùn)算直接解出：由AC2B，得AC120°，B60°。所以2，即cosAcosC2cosAcosC，和積互化得：2coscoscos(A+C)cos(A-C)，即coscos(A-C)(2cos1)，整理得：4cos2cos30,解得：cos y , , x例3. 設(shè)a>0，求f(x)2a(sinxcosx)sinx·cosx2a的最大值和最小值。【解】 設(shè)sinxcosxt，則t-,，由(sinxcosx)12sinx·cosx得：sinx·cosx f(x)g(t)(t2a) （a&

9、gt;0），t-,t-時(shí)，取最小值：2a2a當(dāng)2a時(shí)，t，取最大值：2a2a ；當(dāng)0<2a時(shí)，t2a，取最大值： 。 f(x)的最小值為2a2a，最大值為?！咀ⅰ?此題屬于局部換元法，設(shè)sinxcosxt后，抓住sinxcosx與sinx·cosx的內(nèi)在聯(lián)系，將三角函數(shù)的值域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問(wèn)題，使得容易求解。換元過(guò)程中一定要注意新的參數(shù)的范圍（t-,）與sinxcosx對(duì)應(yīng)，否則將會(huì)出錯(cuò)。本題解法中還包含了含參問(wèn)題時(shí)分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，即由對(duì)稱(chēng)軸與閉區(qū)間的位置關(guān)系而確定參數(shù)分兩種情況進(jìn)行討論。一般地，在遇到題目已知和未知中含有sinx與cosx的和、差、

10、積等而求三角式的最大值和最小值的題型時(shí)，即函數(shù)為f(sinx±cosx，sinxcsox)，經(jīng)常用到這樣設(shè)元的換元法，轉(zhuǎn)化為在閉區(qū)間上的二次函數(shù)或一次函數(shù)的研究。例4. 設(shè)對(duì)所于有實(shí)數(shù)x，不等式xlog2x loglog>0恒成立，求a的取值范圍。（87年全國(guó)理）【分析】不等式中l(wèi)og、 log、log三項(xiàng)有何聯(lián)系？進(jìn)行對(duì)數(shù)式的有關(guān)變形后不難發(fā)現(xiàn)，再實(shí)施換元法?！窘狻?設(shè)logt，則loglog3log3log3t，log2log2t，代入后原不等式簡(jiǎn)化為（3t）x2tx2t>0，它對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，所以：，解得 t<0即log<00<<1，解得

11、0<a<1?！咀ⅰ繎?yīng)用局部換元法，起到了化繁為簡(jiǎn)、化難為易的作用。為什么會(huì)想到換元及如何設(shè)元，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)已知不等式中l(wèi)og、 log、log三項(xiàng)之間的聯(lián)系。在解決不等式恒成立問(wèn)題時(shí)，使用了“判別式法”。另外，本題還要求對(duì)數(shù)運(yùn)算十分熟練。一般地，解指數(shù)與對(duì)數(shù)的不等式、方程，有可能使用局部換元法，換元時(shí)也可能要對(duì)所給的已知條件進(jìn)行適當(dāng)變形，發(fā)現(xiàn)它們的聯(lián)系而實(shí)施換元，這是我們思考解法時(shí)要注意的一點(diǎn)。例5. 已知，且 (式)，求的值?！窘狻?設(shè)k，則sinkx，cosky，且sincosk(x+y)1,代入式得： 即：設(shè)t，則t , 解得：t3或 ±或±【另解】 由tg

12、，將等式兩邊同時(shí)除以，再表示成含tg的式子：1tgtg，設(shè)tgt，則3t10t30，t3或， 解得±或±?！咀ⅰ?第一種解法由而進(jìn)行等量代換，進(jìn)行換元，減少了變量的個(gè)數(shù)。第二種解法將已知變形為，不難發(fā)現(xiàn)進(jìn)行結(jié)果為tg，再進(jìn)行換元和變形。兩種解法要求代數(shù)變形比較熟練。在解高次方程時(shí)，都使用了換元法使方程次數(shù)降低。例6. 實(shí)數(shù)x、y滿足1，若xyk>0恒成立，求k的范圍?！痉治觥坑梢阎獥l件1，可以發(fā)現(xiàn)它與ab1有相似之處，于是實(shí)施三角換元?！窘狻坑?，設(shè)cos，sin，即： 代入不等式xyk>0得：3cos4sink>0，即k<3cos4sin5sin(

13、+) 所以k<-5時(shí)不等式恒成立?！咀ⅰ勘绢}進(jìn)行三角換元，將代數(shù)問(wèn)題（或者是解析幾何問(wèn)題）化為了含參三角不等式恒成立的問(wèn)題，再運(yùn)用“分離參數(shù)法”轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問(wèn)題，從而求出參數(shù)范圍。一般地，在遇到與圓、橢圓、雙曲線的方程相似的代數(shù)式時(shí)，或者在解決圓、橢圓、雙曲線等有關(guān)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常使用“三角換元法”。 y x xyk>0 k 平面區(qū)域本題另一種解題思路是使用數(shù)形結(jié)合法的思想方法：在平面直角坐標(biāo)系，不等式axbyc>0 (a>0)所表示的區(qū)域?yàn)橹本€axbyc0所分平面成兩部分中含x軸正方向的一部分。此題不等式恒成立問(wèn)題化為圖形問(wèn)題：橢圓上的點(diǎn)始終位于平面上x(chóng)yk>0的區(qū)域。即當(dāng)直線xyk0在與橢圓下部相切的切線之下時(shí)。當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，方程組有相等的一組實(shí)數(shù)解，消元后由0可求得k3,所以k<-3時(shí)原不等式恒成立。、鞏固性題組：1. 已知f(x)lgx (x>0)，則f(4)的值為_(kāi)。A. 2lg2 B. lg2 C. lg2 D. lg42. 函數(shù)y(x1)2的單調(diào)增區(qū)間是_。A. -2,+) B. -1,+) D. (-,+) C. (-,-13. 設(shè)等差數(shù)列a的公差d，且S145，則aaaa的值為_(kāi)。A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.54. 已知x4y4x，則xy的范圍是_。5. 已知a0，b0，ab1，則的范