第二章 典型環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)模型(2-1)

1、1l第一節(jié) 控制工程的數(shù)學(xué)方法 （Laplace變換）l第二節(jié) 物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型l第三節(jié) 非線性數(shù)學(xué)模型的線性化2 1 1、比例環(huán)節(jié)（又叫放大環(huán)節(jié)）、比例環(huán)節(jié)（又叫放大環(huán)節(jié)）特特 點：點：輸出量按一定比例復(fù)現(xiàn)輸入量，輸出量按一定比例復(fù)現(xiàn)輸入量， 無滯后、失真現(xiàn)象。無滯后、失真現(xiàn)象。運動方程運動方程 : : c(t)=Kr(t) K放大系數(shù)，通常都是有量綱的。放大系數(shù)，通常都是有量綱的。傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：頻率特性：頻率特性： KR(s)C(s)G(s)K)R(j)C(j)G(j3l運動方程：運動方程： u(t)=K(t) l傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)： K比例系數(shù)，量綱為伏/弧度。l頻率特性頻率特性

2、： G（j）=K K(s)U(s)G(s)4運動方程：運動方程：傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：頻率特性：頻率特性： (t)nzz(t)n1212Kzz(s)N(s)NG(s)2112Kzz)(jN)(jN)G(j211256特 點：動態(tài)過程中，輸出量正比于輸入量的變化速度。 運動方程：傳遞函數(shù)： 頻率特性： dtdr(t)KC(t) KSR(s)C(s)G(s)jK)R(j)C(j)G(j7例例 RC電路電路 設(shè)：輸入ur(t) 輸出uc(t) 消去i(t)，得到運動方程：運動方程： 傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)： （Tc=RC） 當(dāng)Tc1時，傳遞函數(shù)又可表示成：頻率特性：頻率特性：G（j）=jTc此時可近似為純

3、微分環(huán)節(jié)。i(t)Ri(t)dtc1(t)ur(t)u(t)dtuRC1(t)uccr1sTsT(s)U(s)UG(s)ccrcsT(s)U(s)UG(s)crcRtutic)()(8輸輸 入：入： (t)電動機(jī)D轉(zhuǎn)子（與測速發(fā)電機(jī)同軸）的轉(zhuǎn)角輸輸 出：出： uf(t)測速發(fā)電機(jī)的電樞電壓運動方程：運動方程：傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)： G（s）=Ks 頻率特性：頻率特性： G（j）=jK dt(t)dK(t)uf9 10l 特點：特點：輸出量的變化速度和輸入量成正比。l運動方程：運動方程：l傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：l頻率特性：頻率特性： )Kr(tdtdc(t)sKG(s)jK)G(j11l輸入為r(t

4、)，輸出為c(t) l運動方程：運動方程：l l傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)： （T=R1C）l頻率特性：頻率特性： r(t)dtT1r(t)dtCR1(t)dtiC1c(t)1csKTs1R(s)C(s)G(s)11cRr(t)(t)i(t)ijTK)R(j)C(j)G(j12l其它舉例其它舉例13特點：特點：此環(huán)節(jié)中含有一個獨立的儲能元件，以致對突變的輸 入來說，輸出不能立即復(fù)現(xiàn)，存在時間上的延遲。運動方程：運動方程：傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：頻率特性：頻率特性： Kr(t)c(t)dtdc(t)T1TsKG(s)1jTK)G(j14輸入量: ud 電樞電壓輸出量： id 電樞電流動態(tài)方程如下：即傳遞函數(shù)

5、: 式中 Ld 電樞回路電感； Rd 電樞回路電阻； d 電樞繞組的時間常數(shù)；ddddduiRidtdLddddRuidtd11)()(G(s)sRsUsIdddddddRL1516特點：特點：包含兩個獨立的儲能元件，當(dāng)輸入量發(fā)生變化時，兩個 儲能元件的能量進(jìn)行交換，使輸出帶有振蕩的性質(zhì)。運動方程：運動方程：傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)： 式中：阻尼比， T振蕩環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。頻率特性：頻率特性： Kr(t)c(t)dtdc(t)T2dtc(t)dT222TjTjRjCjG2)1 (1)()()(2217jRC)LC-(111)RC(j)LC(j1)G(j22i(t)dtC1c(t)i(t)dtC1ri

6、(t)dtdi(t)Lr(t)解：消去中間變量i(t)得到運動方程：傳遞函數(shù)：頻率特性： r(t)c(t)dtdc(t)RCdtc(t)dLC221RCsLCs1G(s)218ea(t)- 輸入量為加在電樞兩端 (t) -輸出量為電機(jī)軸的角位移;R-電樞繞組的電阻；L-電樞繞組電感；i(t)-電樞繞組中的電流；eb(t)- 電動機(jī)的反電勢；T(t)-電動機(jī)產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩；J-電動機(jī)和負(fù)載折合到電動機(jī)轉(zhuǎn)軸上的轉(zhuǎn)動慣量；B-電動機(jī)和負(fù)載折合到電動機(jī)轉(zhuǎn)軸上的粘性摩擦系數(shù)。191） T(t)=Ki(t) T(t)轉(zhuǎn)矩 K力矩系數(shù)2） eb(t)反電勢 Kb反電勢常數(shù)3） ea(t)電樞兩端的電壓4）分別進(jìn)

7、行拉氏變換1） T ( s ) = K I ( s )2） Eb( s ) = Kb s ( s )3） Ea( s ) = ( L s + R ) I ( s ) + Eb( s )4） T( s ) = ( J s2 + B s ) ( s )dt(t)dK(t)ebb(t)e(t)eRi(t)dtdi(t)LabT(t)dt(t)dBdt(t)dJ2220)KK(RBRJ)s(LBsLJsK(s)E(s)b2a如果輸入量Ea(s)，輸出量轉(zhuǎn)速(s)，則又可得到： 這是一個典型的振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) 頻率特性： )KK(RBRJ)s(LBLJsK(s)E(s)b2aRJ)j(LB)LJ-KK

8、(RBK)(jE)(j2ba21式中：km=K/(RB+KKb) 電動機(jī)增益常數(shù) Tm=RJ/(RB+KKb)電動機(jī)時間常數(shù)。 如果J、R比較小， Tm趨近于零，又可簡化為：1)ss(TK(s)E(s)mma1sTK(s)E(s)mma)K1K(sKs1/K(s)E(s)bba22 輸入-力 ： f(t)， 輸出-位移： x(t) 。微分方程式中：K彈簧彈性系數(shù)； M物體的質(zhì)量， B粘性摩擦系數(shù)。 傳遞函數(shù)： M( )f t( )x tB圖2-16 機(jī)械振蕩K)()()()(22tKxdttdxBdttxdMtf1sKBsKMK1F(s)X(s)G(s)223 特特 點：點：此環(huán)節(jié)的輸出量不僅

9、與輸入量本身 有關(guān)，而且與輸入量的變化率有關(guān)運動方程運動方程：傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)： G( s ) = Ts + 1頻率特性：頻率特性： G( j ) = j T + 1 r(t)dtdr(t)Tc(t)24輸入：輸入：u(t)，輸出：輸出：i(t) ，則 傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)： （R=1 RC= ） 頻率特性：頻率特性： 一階微分環(huán)節(jié)可看成一個微分環(huán)節(jié)與一個比例環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)可看成一個微分環(huán)節(jié)與一個比例環(huán)節(jié)的并聯(lián)，其傳遞函數(shù)和頻率特性是慣性環(huán)節(jié)的倒數(shù)。的并聯(lián)，其傳遞函數(shù)和頻率特性是慣性環(huán)節(jié)的倒數(shù)。u(t)dtdu(t)u(t)dtdu(t)RCR1Ru(t)dtdu(t)c(t)i(t)ii(

10、t)211sU(s)I(s)j1jG25 特點：特點：輸出量與輸入量及輸入量的一階、二階導(dǎo)數(shù)都有關(guān)運動方程運動方程： 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)：頻率特性：頻率特性： 可以看出，二階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)和頻率特性是振蕩環(huán)節(jié)的倒數(shù)。 r(t)dtdr(t)T2dtr(t)dTc(t)2221Ts2sTR(s)C(s)G(s)22TjTjTjTjG2)1 (1)(2)()(222226（1）不同物理性質(zhì)的系統(tǒng)，可以有相同形式的傳不同物理性質(zhì)的系統(tǒng)，可以有相同形式的傳 遞函數(shù)。遞函數(shù)。 例如：前面介紹的振蕩環(huán)節(jié)中兩個例子，一個是機(jī)械系統(tǒng)，例如：前面介紹的振蕩環(huán)節(jié)中兩個例子，一個是機(jī)械系統(tǒng)， 另一個是電氣系統(tǒng)，但傳遞函數(shù)的形式完全相同。另一個是電氣系統(tǒng)，但傳遞函數(shù)的形式完全相同。 （2）同一個系統(tǒng)，