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文檔簡介
1、中南大學網(wǎng)絡教育課程考試復習題及參考答案高等數(shù)學(???一、填空題:1.函數(shù)的定義域是 。解: 。 2.若函數(shù),則 。解: 3. 。答案:1正確解法:4.已知,則_, _。由所給極限存在知,得,又由, 知5.已知,則_, _。, 即,6.函數(shù)的間斷點是 。解:由是分段函數(shù),是的分段點,考慮函數(shù)在處的連續(xù)性。因為 所以函數(shù)在處是間斷的,又在和都是連續(xù)的,故函數(shù)的間斷點是。7.設, 則8.,則。答案:或9.函數(shù)的定義域為 。解:函數(shù)z的定義域為滿足下列不等式的點集。的定義域為:且10.已知,則 .解:令,則,11.設,則 。 。12.設則 。解:13. 。解:由導數(shù)與積分互為逆運算得,。14.設是
2、連續(xù)函數(shù),且,則 。解:兩邊對求導得,令,得,所以.15.若,則。答案:16.設函數(shù)f(x,y)連續(xù),且滿足,其中則f(x,y)=_.解: 記,則,兩端在D上積分有:,其中(由對稱性),即 ,所以,17.求曲線所圍成圖形的面積為 ,(a>0)解:18.;解:令,則原冪級數(shù)成為不缺項的冪級數(shù),記其各項系數(shù)為,因為,則,故.當時,冪級數(shù)成為數(shù)項級數(shù),此級數(shù)發(fā)散,故原冪級數(shù)的收斂區(qū)間為.19.的滿足初始條件的特解為。20.微分方程的通解為.21.微分方程的通解為。22.設n階方陣A滿足|A|=3,則=|= .答案:23.是關(guān)于x的一次多項式,則該多項式的一次項系數(shù)是 .答案: 2;24.f(x
3、)=是 次多項式,其一次項的系數(shù)是 。解:由對角線法則知,f(x)為二次多項式,一次項系數(shù)為4。25.A、B、C代表三事件,事件“A、B、C至少有二個發(fā)生”可表示為 AB+BC+AC .26.事件A、B相互獨立,且知則 . 解:A、B相互獨立, P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.2+0.50.1=0.627.A,B二個事件互不相容,則 . 解:A、B互不相容,則P(AB)=0,P(AB)=P(A)P(AB)=0.828.對同一目標進行三次獨立地射擊,第一、二、三次射擊的命中率分別為0.4,0.5,0.7,則在三次射擊中恰有一次擊中目標的概率為 .解:設A
4、、B、C分別表示事件“第一、二、三次射擊時擊中目標”,則三次射擊中恰有一次擊中目標可表示為,即有 P() =P(A)=0.3629.已知事件 A、B的概率分別為P(A)0.7,P(B)0.6,且P(AB)0.4,則P() ;P() ;解:P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.9P(AB)=P(A)P(AB)=0.70.4=0.330.若隨機事件A和B都不發(fā)生的概率為p,則A和B至少有一個發(fā)生的概率為 .解:P(A+B)=1P二、單項選擇題:1.函數(shù)( )A.是奇函數(shù) B.是偶函數(shù);C.既奇函數(shù)又是偶函數(shù) D.是非奇非偶函數(shù)解:利用奇偶函數(shù)的定義進行驗證。所以B正確。2.若函數(shù),則( )
5、A. B. C. D.解:因為,所以則,故選項B正確。3.設 ,則=( )A x Bx + 1 Cx + 2 Dx + 3解:由于,得 將代入,得=正確答案:D4.已知,其中,是常數(shù),則( )(A) , (B) (C) (D) 解:, 答案:C5.下列函數(shù)在指定的變化過程中,( )是無窮小量。A. B.;C. D.解:無窮小量乘以有界變量仍為無窮小量,所以而A, C, D三個選項中的極限都不為0,故選項B正確。6.下列函數(shù)中,在給定趨勢下是無界變量且為無窮大的函數(shù)是( )(A); (B);(C); (D)解:,故不選(A)。取,則,故不選(B)。取, 則,故不選(D)。答案:C7.設,則在處(
6、 )A.連續(xù)且可導 B.連續(xù)但不可導 C.不連續(xù)但可導 D.既不連續(xù)又不可導解:(B),因此在處連續(xù),此極限不存在從而不存在,故不存在8.曲線在點(1,0)處的切線是( )A. B. C. D.解:由導數(shù)的定義和它的幾何意義可知,是曲線在點(1,0)處的切線斜率,故切線方程是,即正確答案:A9.已知,則=( )A. B. C. D. 6解:直接利用導數(shù)的公式計算:, 正確答案:B 10.若,則( )。A. B. C. D.答案:D 先求出,再求其導數(shù)。11.的定義域為( )A. B. C. D.解:z的定義域為個,選D。12.下列極限存在的是( )A. B. C. D.解:A.當P沿時,當P沿
7、直線時,故不存在; B. ,不存在; C. 如判斷題中1 題可知不存在; D. 因為,所以,選D13.若,在內(nèi)( ).A. B.C. D.解:14.設為奇函數(shù),且時,則在上的最大值為( )A. B. C. D.解:(B)因為是奇函數(shù),故,兩邊求導,從而,設,則,從而,所以在-10,-1上單調(diào)增加,故最大值為15.函數(shù) ( )A.有極大值8 B.有極小值8 C.無極值 D.有無極值不確定解:, ,為極大值 (A)16.設( )。A.依賴于 B.依賴于C.依賴于,不依賴于 D.依賴于,不依賴于解:根據(jù)周期函數(shù)定積分的性質(zhì)有,17.曲線與軸圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為( ).A. B. C
8、. D.解:所求旋轉(zhuǎn)體的體積為故應選(B)。18.設,則有( ).A. B. C. D.解:利用定積分的奇偶性質(zhì)知,所以,故選(D)。19.下列不定積分中,常用分部積分法的是( )。A. B. C. D.答案:B。20.設,則必有( )(A)I>0 (B)I<0 (C)I=0 (D)I0的符號位不能確定解: D: 21.設f(t)是可微函數(shù),且f(0)=1,則極限()( )(A)等于0 (B)等于(C) 等于+ (D)不存在且非答案:為(C)解:由極坐標,原極限22.設函數(shù)項級數(shù),下列結(jié)論中正確的是( ).(A)若函數(shù)列定義在區(qū)間上,則區(qū)間為此級數(shù)的收斂區(qū)間(B)若為此級數(shù)的和函數(shù)
9、,則余項,(C)若使收斂,則所有都使收斂(D)若為此級數(shù)的和函數(shù),則必收斂于解:選(B).23.設為常數(shù),則級數(shù)( ).(A)絕對收斂 (B)條件收斂 (C)發(fā)散 (D)斂散性與有關(guān)解:因為,而收斂,因此原級數(shù)絕對收斂。故選(A)。24.若級數(shù)在時發(fā)散,在處收斂,則常數(shù)( ).(A)1 (B)-1 (C)2 (D)2解:由于收斂,由此知.當時,由于的收斂半徑為1,因此該冪級數(shù)在區(qū)間內(nèi)收斂,特別地,在內(nèi)收斂,此與冪級數(shù)在時發(fā)散矛盾,因此.故選(B).25.的特解可設為( )(A) (B)(C) (D)解:C26.微分方程的階數(shù)是指( )(A)方程中未知函數(shù)的最高階數(shù); (B)方程中未知函數(shù)導數(shù)或
10、微分的最高階數(shù);(C)方程中未知函數(shù)的最高次數(shù); (D)方程中函數(shù)的次數(shù).解:B27.下面函數(shù)( )可以看作某個二階微分方程的通解.(A) (B)(C) (D)解:C28.A、B均為n階可逆矩陣,則A、B的伴隨矩陣=( ).(A); (B); (C) (D);解答:D 29.設A、B均為n階方陣,則必有 。 (A) |A+B|=|A|+|B| (B) AB=BA (C) |AB|=|BA| (D) (A+B)1=A1+B1解:正確答案為(C)30.A,B都是n階矩陣,則下列各式成立的是 ( )(A) (B) (C) (D)解答:B 31.在隨機事件A,B,C中,A和B兩事件至少有一個發(fā)生而C事
11、件不發(fā)生的隨機事件可表示為()A. B. C. D.解:由事件間的關(guān)系及運算知,可選(A)32.袋中有5個黑球,3個白球,大小相同,一次隨機地摸出4個球,其中恰有3個白球的概率為()A. B. C. D.解:基本事件總數(shù)為,設A表示“恰有3個白球”的事件,A所包含的基本事件數(shù)為=5,故P(A)=,故應選(D)。33.已知,且,則下列選項成立的是( )(A);(B)(C)(D)解:由題可知A1、A2互斥,又0<P(B)<1,0<P(A1)<1,0<P(A2)<1,所以 P(A1BA2B)=P(A1B)+P(A2B)P(A1A2B)=P(A1)P(B|A1)+P
12、(A2)P(B|A2) 故應選(C)。三、解答題:1.設函數(shù)問(1)為何值時,在處有極限存在?(2)為何值時,在處連續(xù)?解:(1)要在處有極限存在,即要成立。因為所以,當時,有成立,即時,函數(shù)在處有極限存在,又因為函數(shù)在某點處有極限與在該點處是否有定義無關(guān),所以此時可以取任意值。(2)依函數(shù)連續(xù)的定義知,函數(shù)在某點處連續(xù)的充要條件是于是有,即時函數(shù)在處連續(xù)。2.已知,試確定和的值解:,即,故3.設,求的間斷點,并說明間斷點的所屬類型解:在內(nèi)連續(xù), , , 因此, 是的第二類無窮間斷點; , 因此是的第一類跳躍間斷點.4.求方程中是的隱函數(shù)的導數(shù)(1),解:方程兩邊對自變量求導,視為中間變量,即
13、整理得 (2)設,求,;解:,5.設由方程所確定, 求. 解:設, , , , ,. 6.設函數(shù)在0,1上可導,且,對于(0 ,1)內(nèi)所有x有證明在(0,1)內(nèi)有且只有一個數(shù)x使 .7.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.解:函數(shù)的定義域是令 ,得駐點, -2 0 + 0 - 0 + 極大值極小值故函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是和,單調(diào)減少區(qū)間是及,當-2時,極大值;當0時,極小值.8.在過點的所有平面中, 求一平面,使之與三個坐標平面所圍四面體的體積最小。解:設平面方程為, 其中均為正, 則它與三坐標平面圍成四面體的體積為, 且, 令, 則由, 求得 . 由于問題存在最小值, 因此所求平面方程為, 且.9.求下列
14、積分(1)解:極限不存在,則積分發(fā)散.(2)解:是D上的半球面,由的幾何意義知I=V半球=(3) ,D由 的圍成。解:關(guān)于x軸對稱,且是關(guān)于y的奇函數(shù),由I幾何意義知,。10.判別級數(shù)(常數(shù))的斂散性。如果收斂,是絕對收斂還是條件收斂?解:由,而,由正項級數(shù)的比較判別法知,與同時斂散.而收斂,故收斂,從而原級數(shù)絕對收斂.11.判別級數(shù)的斂散性。如果收斂,是絕對收斂還是條件收斂?解:記,則.顯見去掉首項后所得級數(shù)仍是發(fā)散的,由比較法知發(fā)散,從而發(fā)散。又顯見是Leibniz型級數(shù),它收斂. 即收斂,從而原級數(shù)條件收斂.12.求冪級數(shù)在收斂區(qū)間上的和函數(shù):解:,所以。又當時,級數(shù)成為,都收斂,故級數(shù)
15、的收斂域為.設級數(shù)的和函數(shù)為,即.再令,逐項微分得,故,又顯然有,故13.求解微分方程(1)的所有解。解:原方程可化為,(當),兩邊積分得,即為通解。當時,即,顯然滿足原方程,所以原方程的全部解為及。(2) 解:當時,原方程可化為,令,得,原方程化為,解之得;當時,原方程可化為,類似地可解得。綜合上述,有。(3) 解:由公式得 。三、求解下列各題:1.計算下列行列式:(1)(2),解:(3)解:2.設矩陣A,B滿足矩陣方程AX B,其中,求X 解法一:先求矩陣A的逆矩陣因為所以 且 解法二: 因為 所以 3.設矩陣試計算A-1B解:因為 所以 且 4.設。(1)若,求;(2)若,求;(3)若,求。解:(1) P(B)=P(B)P(AB) 因為A,B互斥,故P(AB)=0,而由已知P(B)= P(B)=P(B)=(2) P(A)=,由AB知:P(AB)=P(A)= P(B)=P(B)P(AB)=(3) P(AB)= P(B)=P(B)P(AB)
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