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文檔簡介

1、河南理工大學2008年度二、解答題（每小題10分，共計70分） 1x+a高等數學競賽試卷（理工科）1、設f(x)在區(qū)間(-,+)連續(xù)，F(x)=2ax-af(t)dt(a>0)，考試方式：閉卷 G(x)= xf(t)dt,試解答下列問題：（1）用G(x)表示F(x)；（2）求F'(x)；復查總分 總復查人 （3）求證：lima0F(x)=f(x)；一、填空題(第小題5分,計30分)2arctanx1.e3 (1+x2)21 2.設f(x)在x=0的鄰域具有二階導數，且limf(x)xx01+x+x=e3，則 f''(0)3. lim2+ex x0(4+sinx1+

2、exx)。 4.由曲面z=x2+y2和z=2-x2+y2所圍的體積V。5.積分 21x+11 (1+x-)exdx 2x。6.微分方程yy''-y'2=y2y'的通解為 。實變函數試卷 第1頁（共4頁）2. 設f(x)具有二階連續(xù)導數，且f''(0)>0,f(0)=f'(0)=0，t是曲線y=f(x)上點(x,f(x)處的切線在x軸的截距，求limxf(t).x0tf(x)2u2u3. 設函數u=f(lnx+y)滿足2+2=(x2+y2)2，求函數f的表達xy3式。實變函數試卷 第2頁（共4頁）4.設函數f(x)連續(xù)且恒大于零,及F

3、(t)=(t)f(x2+y2+z2)dv2D(t)f(x+y)d2，G(t)=D(t)f(x2+y2)dz=ey5. 設曲面S為曲線 (1y2) 繞z軸旋轉一周所成曲面的下側，計算x=0t-tf(x)dx2曲面積分I=4zxdydz-2zdzdx+(1-z2)dxdx 。s其中(t)=(x,y,z)x2+y2+z2t2，D(t)=(x,y)x2+y2t2 （1）討論F(t)在區(qū)間(0,+)內的單調性； （2）證明t>0時，F(t)>2G(t)。實變函數試卷 第3頁（共4頁）6. 如圖所示，設河寬為a，一條船從岸邊一點O出發(fā)駛向對岸，船頭總是指向對岸與點O相對的一點B。假設在靜水中船速為常數 為常數V1，河流中水的流速9x-2y-2z+1=07.已知點M1(4,3,10)和直線L1，若M2是M1關于L1的對稱4x-7y+4z-2=0點，求過點M2且平行于直線L1的直線。V2，試求船過河所走的路

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