211指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算2

1、2.1.1 2.1.1 指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算（一）復(fù)習(xí)（一）復(fù)習(xí)： 1. 整數(shù)指數(shù)冪的意義：整數(shù)指數(shù)冪的意義：,*)(Nnaaaaann 個(gè)個(gè) a 0 = 1 ( a 0 ) ,.*),(Nnaaann012. 整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：（1）a m a n = a m+n (m，n Z) ;. )(Znbabannn; )(Znmaaanmnm，（2）(a m) n = a mn (m，n Z) ;（3）(ab)n = an bn (n Z) ; （二）根式：（二）根式： 1. 1. a a 的的 n n 次方根的定義：次方根的定義： 定義：如果一個(gè)數(shù)的定義

2、：如果一個(gè)數(shù)的 n n 次方等于次方等于 a a（n n 1 1，且，且 n n N N* *），那么這個(gè)數(shù)叫做），那么這個(gè)數(shù)叫做 a a 的的 n n 次方根次方根. . （如果（如果 x xn n = a= a，那么，那么 x x 叫做叫做 a a 的的 n n 次方根，次方根，其中，其中，n n 1 1 ，且且 n n N N* *）. . 2. 2. a a 的的 n n 次方根的表示：次方根的表示： （1 1）當(dāng)）當(dāng) n n 為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的 n n 次方根是一個(gè)正次方根是一個(gè)正 數(shù)，數(shù)， 負(fù)數(shù)的負(fù)數(shù)的 n n 次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，這時(shí)，次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，這時(shí)，.來(lái)來(lái)表

3、表示示次次方方根根用用符符號(hào)號(hào)的的nana （2 2）當(dāng)）當(dāng) n n 為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的 n n 次方根有兩個(gè)，次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，這時(shí)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，這時(shí)，表示，表示，次方根用符號(hào)次方根用符號(hào)的正的的正的正數(shù)正數(shù)nana.表表示示次次方方根根用用符符號(hào)號(hào)的的負(fù)負(fù)的的正正數(shù)數(shù)nana. )0aannn（次次方方根根可可以以合合并并寫(xiě)寫(xiě)成成次次方方根根與與負(fù)負(fù)的的正正的的負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根 .00003n記作記作，的任何次方根都是的任何次方根都是）（ 3. 3. 根式：根式：(1)nnaa.叫叫做做被被開(kāi)開(kāi)方方數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)，叫叫做做根根指指這這里里叫叫

4、做做根根式式，定定義義：式式子子anan根據(jù)根據(jù) n 次方根的定義，可得如下的公式：次方根的定義，可得如下的公式：;)(aannn為為奇奇數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)2. )(, )(00aaaaaannn為偶數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)當(dāng). )()()(;)()(;)()(;)()(baba244233433102811 求下列各式的值：求下列各式的值：例例練習(xí)練習(xí) 1 1下列說(shuō)法中正確的是下列說(shuō)法中正確的是 (1) -2(1) -2是是1616的四次方根的四次方根 (2) (2) 正數(shù)的正數(shù)的n n次方根有兩個(gè)次方根有兩個(gè) (3) a(3) a的的n n次方根就是次方根就是 (4) (4) 分析：分析：從從 n

5、n次方根和次方根和 n n次根式的概念入手，認(rèn)清各概念次根式的概念入手，認(rèn)清各概念與各符號(hào)之間的關(guān)系與各符號(hào)之間的關(guān)系解解: (1): (1)是正確的由是正確的由 可驗(yàn)證可驗(yàn)證(2)(2)不正確，要對(duì)不正確，要對(duì) n n分奇偶討論分奇偶討論(3)(3)不正確，不正確，a a的的n n次方根可能有一個(gè)值，可能次方根可能有一個(gè)值，可能有兩個(gè)值，而有兩個(gè)值，而 只表示一個(gè)確定的值它叫根式只表示一個(gè)確定的值它叫根式(4)(4)正確，根據(jù)根式運(yùn)算的依據(jù)，當(dāng)正確，根據(jù)根式運(yùn)算的依據(jù)，當(dāng) n n為奇數(shù)為奇數(shù)時(shí)，是正確的時(shí)，是正確的; ;當(dāng)當(dāng) n n為偶數(shù)時(shí)，因?yàn)闉榕紨?shù)時(shí)，因?yàn)?，則有，則有 綜上，當(dāng)綜上，當(dāng)

6、 時(shí)，無(wú)論時(shí)，無(wú)論 n n為何值均成立為何值均成立練習(xí)練習(xí) 2 2求下列各式的值求下列各式的值(1) ; (2) ;(1) ; (2) ;(3) ; (3) ; 分析：分析：依照根式運(yùn)算的兩條規(guī)律，進(jìn)行運(yùn)算即可依照根式運(yùn)算的兩條規(guī)律，進(jìn)行運(yùn)算即可解：解：(1) (1) (2) = (2) = (3) (3) 說(shuō)明：根式運(yùn)算要注意分清說(shuō)明：根式運(yùn)算要注意分清 與與 ，此外對(duì)于此外對(duì)于 的運(yùn)算可以記為的運(yùn)算可以記為 = = ，這樣先根據(jù)這樣先根據(jù)n n 的奇偶處理根式，的奇偶處理根式，再根據(jù)再根據(jù) a a的正負(fù)處理絕對(duì)值比較方便的正負(fù)處理絕對(duì)值比較方便（三）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：（三）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪： 1. 1

7、. 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義：, )()(05102552510aaaaa. )()(03124334312aaaaa. )*,(10nNnmaaanmnm且且、數(shù)數(shù)指指數(shù)數(shù)冪冪的的意意義義是是我我們們規(guī)規(guī)定定：正正數(shù)數(shù)的的正正分分. )*,(101nNnmaaanmnm且且、意意義義是是正正數(shù)數(shù)的的負(fù)負(fù)分分?jǐn)?shù)數(shù)指指數(shù)數(shù)冪冪的的 0 的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于 0，0 的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義沒(méi)有意義. 2. 2. 有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：（1）a r a s = a r + s ( a 0，r，s Q ) ;. ),(Qrbababarrr

8、00; ),(Qsraaaasrsr，0（2）(a r) s = a r s ( a 0， r，s Q ) ;（3）( a b )r = a r b r ( a 0，b 0，r Q) ; 說(shuō)明：若說(shuō)明：若 a 0，p 是一個(gè)無(wú)理數(shù)，則是一個(gè)無(wú)理數(shù)，則a p表示一個(gè)表示一個(gè) 確定的實(shí)數(shù)確定的實(shí)數(shù). 上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于無(wú)理上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于無(wú)理 數(shù)指數(shù)冪仍然適用數(shù)指數(shù)冪仍然適用.433213281164110082，求值：求值：例例.,: )0(33232aaaaaaa 式式中中示示下下列列各各式式用用分分?jǐn)?shù)數(shù)指指數(shù)數(shù)冪冪的的形形式式表表例例.)()(;)()()(8834

9、1656131212132236214nmbababa）（字字母母都都是是正正數(shù)數(shù)）：計(jì)計(jì)算算下下列列各各式式（式式中中的的例例 對(duì)于稍微復(fù)雜的根式的運(yùn)算，可以化為分?jǐn)?shù)指對(duì)于稍微復(fù)雜的根式的運(yùn)算，可以化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再進(jìn)行運(yùn)算，這樣比較方便數(shù)冪，再進(jìn)行運(yùn)算，這樣比較方便. )()(;)(025125251532243aaaa計(jì)算下列各式：計(jì)算下列各式：例例 例例6 6：若若x0,x0,則則 131311424222(23 )(23 )4()xxxxx-23-23分析：分析：乘法公式，單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則乘法公式，單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則仍然適用仍然適用 例例7 7：化簡(jiǎn)：化簡(jiǎn)：分析：分析：

10、此題中，分?jǐn)?shù)、指數(shù)、分子運(yùn)用平方差公此題中，分?jǐn)?shù)、指數(shù)、分子運(yùn)用平方差公式展開(kāi)，即可約去分母達(dá)到化簡(jiǎn)目的。式展開(kāi)，即可約去分母達(dá)到化簡(jiǎn)目的。 解：解： 評(píng)述：評(píng)述：此題注重了分子、分母指數(shù)間的聯(lián)系，此題注重了分子、分母指數(shù)間的聯(lián)系，即由此聯(lián)想到平方差公式的特點(diǎn)，進(jìn)而使問(wèn)題即由此聯(lián)想到平方差公式的特點(diǎn)，進(jìn)而使問(wèn)題得到解決。得到解決。)()(41412121yxyx414141414141414141412121)()()()(yxyxyxyxyxyx例例8 8求下列各式的值求下列各式的值(1) ; (1) ; (2) ;(2) ;(3) (3) 分析：分析：依照分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，并結(jié)合概念來(lái)

11、完成依照分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，并結(jié)合概念來(lái)完成運(yùn)算運(yùn)算解：解：(1)(1)原式原式= = (2)(2) = = = = (3)(3)原式原式= = = = = = = = 評(píng)析：在分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算中要注意把法則和概念結(jié)合起來(lái)，進(jìn)行評(píng)析：在分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算中要注意把法則和概念結(jié)合起來(lái)，進(jìn)行運(yùn)算，并能根據(jù)具體題目選擇最恰當(dāng)?shù)男问絹?lái)完成運(yùn)算運(yùn)算，并能根據(jù)具體題目選擇最恰當(dāng)?shù)男问絹?lái)完成運(yùn)算例例9 9：已知：已知x+xx+x-1-1=3,=3,求下列各式的值：求下列各式的值： 分析：分析： （1 1）題若平方則可出現(xiàn)已知形式，但開(kāi)方時(shí)應(yīng)注意正）題若平方則可出現(xiàn)已知形式，但開(kāi)方時(shí)應(yīng)注意正負(fù)的討論；負(fù)的討論

12、； （2 2）題若用立方和公式展開(kāi)則可出現(xiàn)（）題若用立方和公式展開(kāi)則可出現(xiàn)（1 1）題形式與已）題形式與已知條件，需將已知條件與（知條件，需將已知條件與（1 1）題結(jié)論綜合；或者，可）題結(jié)論綜合；或者，可仿照（仿照（1 1）題作平方處理，進(jìn)而利用立方和公式展開(kāi)。）題作平方處理，進(jìn)而利用立方和公式展開(kāi)。 （3 3）運(yùn)算中體現(xiàn)了整體運(yùn)算的思想。）運(yùn)算中體現(xiàn)了整體運(yùn)算的思想。 ( (可由學(xué)生解答）可由學(xué)生解答）.)2( ,) 1 (23232121xxxx現(xiàn)在我們已有正整數(shù)指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零現(xiàn)在我們已有正整數(shù)指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，正、負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，而有理數(shù)是由指數(shù)冪，正、負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，而有理數(shù)是由整數(shù)、分?jǐn)?shù)組成的，所以我們可以說(shuō)建立了有理指整數(shù)、分?jǐn)?shù)組成的，所以我們可以說(shuō)建立了有理指數(shù)冪的概念了數(shù)冪的概念了