推理與證明復(fù)習(xí)

1、推理與證明復(fù)習(xí)知識梳理:（1）合情推理根據(jù)一類事物的部分對象具有某種性質(zhì)，推出這類事物的所有對象都具有這種性質(zhì)的推理，叫做歸納推理（簡 稱歸納）。歸納是從特殊到一般的過程，它屬于合情推理；根據(jù)兩類不同事物之間具有某些類似（或一致）性，推測其中一類事物具有與另一類事物類似（或相同）的性 質(zhì)的推理，叫做類比推理（簡稱類比）。類比推理的一般步驟：（1） 找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）；（3）般地，事物之間的各個(gè)性質(zhì)之間并不是孤立存在的，而是相互制約的。如果兩個(gè)事物在某 些性質(zhì)上相同或類似，那么它們在另一些性質(zhì)上也可能相同或類

2、似，類比的結(jié)論可能是真的；（4 ）在一般情況下，如果類比的相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間越相關(guān)，那么類比得出的命題就越可靠。（2）演繹推理分析上述推理過程，可以看出，推理的滅每一個(gè)步驟都是根據(jù)一般性命題（如全等三角形”）推出特殊性命題的過程，這類根據(jù)一般性的真命題 （或邏輯規(guī)則）導(dǎo)出特殊性命題為真的推理， 叫做演繹推理。演繹推理的特征是： 當(dāng)前提為真時(shí)，結(jié)論必然為真。（3）證明反證法：要證明某一結(jié)論 A是正確的，但不直接證明，而是先去證明 A的反面（非A ）是錯(cuò)誤的，從而斷定 A 是正確的即反證法就是通過否定命題的結(jié)論而導(dǎo)出矛盾來達(dá)到肯定命題的結(jié)論，完成命題的論證的一種數(shù)學(xué)證明方法。反

3、證法的步驟：1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；2）從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，通過推理論證，得出矛盾；3）由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確。注意：可能出現(xiàn)矛盾四種情況：與題設(shè)矛盾；與反設(shè)矛盾；與公理、定理矛盾在證明過程中，推出自 相矛盾的結(jié)論。分析法：證明不等式時(shí)，有時(shí)可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為 判定這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫 做分析法。用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：分析法的思維特點(diǎn)是：執(zhí)果索因；分析法的書寫格式：要證明命題B為真，只需要證明命題為真，從而有，這只需

4、要證明命題為真，從而又有這只需要證明命題 A為真，而已知 A為真，故命題B必為真。綜合法：禾U用某些已經(jīng)證明過的不等式（例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理）和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明 的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法，用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：綜合法的思維特點(diǎn)是：由因?qū)Ч?，即由已知條件出發(fā)，禾U用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公式，推出結(jié)論的一種證 明方法。?？碱}型一、合情推理與演繹推理1、2014北京卷學(xué)生的語文、數(shù)學(xué)成績均被評定為三個(gè)等級，依次為“優(yōu)秀” “合格”“不合格” 若學(xué)生甲的 語文、數(shù)學(xué)成績都不低于學(xué)生乙，且其中至少有一門成績高于乙，則稱“學(xué)生甲比學(xué)生乙成績好” 如果一組學(xué)生

5、 中沒有哪位學(xué)生比另一位學(xué)生成績好，并且不存在語文成績相同、數(shù)學(xué)成績也相同的兩位學(xué)生，那么這組學(xué)生最多 有（B ）A . 2人 B . 3人 C . 4人 D . 5人2、2014北京卷對于數(shù)對序列 P：，b1),b?),，(an, bn)，記(P)= a1+ b1, Tk(P)= bk+ max Tk- 1(P), a1+ a?+ ak(2 < kw n), 其中maxTk-1(P), a1 + a2+ ak表示Tk-1(P)和a1 + a2 + ak兩個(gè)數(shù)中最大的數(shù).(1) 對于數(shù)對序列 P : (2, 5), (4, 1),求 T1(P), T2(P)的值；(2) 記m為a, b,

6、 c, d四個(gè)數(shù)中最小的數(shù)，對于由兩個(gè)數(shù)對(a, b), (c, d)組成的數(shù)對序列P： (a, b), (c, d)和P(c, d), (a, b),試分別對 m= a和m = d兩種情況比較 T2(P)和T2(P'的大?。?3) 在由五個(gè)數(shù)對(11, 8), (5, 2), (16, 11), (11, 11), (4, 6)組成的所有數(shù)對序列中，寫出一個(gè)數(shù)對序列P使 T5(P)最小，并寫出T5(P)的值.(只需寫出結(jié)論)解：(1)(P) = 2 + 5= 7,T2(P)= 1 + max(P), 2 + 4 = 1 + max7 , 6 = 8.(2) T2(P) = max a

7、 + b+ d, a + c + d,T2(P ' = maxc+ d+ b, c+ a+ b.當(dāng) m= a 時(shí)，T2(P，=maxc+ d + b, c+ a + b = c+ d+ b.因?yàn)?a+ b + dw c+ b + d,且 a + c+ dw c+ b+ d,所以 T?(P)w T2(P'.)當(dāng) m= d 時(shí)，T2(P，= max c+ d + b, c+ a + b = c+ a+ b.因?yàn)?a+ b + d w c+ a + b,且 a + c+ d w c+ a+ b,所以 T?(P)w T2(P'.)所以無論 m= a還是m = d, T2(P)w

8、T2(P'都成立.(3) 數(shù)對序列 P: (4, 6), (11, 11), (16, 11), (11, 8), (5, 2)的 T5(P)值最小，T1(P)= 10, T2(P) = 26, T3(P)= 42, T4(P)= 50, T5(P)= 52.3、2014福建卷若集合a, b, c, d = 1 , 2, 3, 4，且下列四個(gè)關(guān)系：a= 1;b豐1;c= 2;d豐4有且只有一個(gè)是正確的，則符合條件的有序數(shù)組(a, b, c , d)的個(gè)數(shù)是15. 6解析若正確，則不正確，可得1不正確，即b = 1,與a= 1矛盾，故不正確;若正確，則不正確，由不正確，得 =2, c=

9、1, d= 4 或 a= 2, b = 3, c= 1, d= 4.若正確，則不正確，由不正確，得 =1, c= 2, d= 4;若正確，則不正確，由不正確，得d= 4;由1, b豐1, cm2，得滿足條件的有序數(shù)組為a= 3, bd= 4；由不正確，得b = 1,則滿足條件的有序數(shù)組為a= 3, b由aM 1, cm 2, dm4，得滿足條件的有序數(shù)組為a= 2, b=1, c= 4, d= 3 或 a= 3, b = 1, c= 4, d= 2 或 a= 4, b = 1, c= 3, d= 2;綜上所述，滿足條件的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)為6.2014 東卷設(shè)數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，滿足

10、Si= 2nan+1 3n 4n, n N ,且 S3= 15.(1)求 a1, a2, a3 的值;求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.4、2014新課標(biāo)全國卷I 甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A, B, C三個(gè)城市時(shí),甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；乙說：我沒去過 C城市；丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市.由此可判斷乙去過的城市為 . A 5、2014陜西卷觀察分析下表中的數(shù)據(jù):多面體面數(shù)(F)頂點(diǎn)數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱柱569五棱錐6610立方體6812猜想一般凸多面體中F, V, E所滿足的等式是 F + V E = 2二、直接證明與間接證明6、2014山東卷用反證法證明命題“設(shè) a, b為實(shí)

11、數(shù)，則方程 x2 + ax+ b= 0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是(A)A. 方程x2 + ax+ b= 0沒有實(shí)根B. 方程x2 + ax+ b= 0至多有一個(gè)實(shí)根C. 方程x + ax+ b= 0至多有兩個(gè)實(shí)根D. 方程x2+ ax+ b = 0恰好有兩個(gè)實(shí)根三、數(shù)學(xué)歸納法7、2014安徽卷設(shè)實(shí)數(shù)c>0,整數(shù)p> 1, n N*.(1) 證明：當(dāng) x> 1 且 xm 0 時(shí)，(1 + x)p> 1 + px;(2) 數(shù)列an滿足 a1> cp, an +1 = Pan + -pa! p,證明：外 > a*+1> cp.證明：(1)用數(shù)學(xué)歸納法證

12、明如下. 當(dāng)p= 2時(shí)，(1 + x)2= 1+ 2x+ x2>1 + 2x,原不等式成立. 假設(shè)p = k(k>2, k N )時(shí)，不等式(1 + x) >1 + kx成立.當(dāng) p = k+ 1 時(shí)，(1 + x)k+1= (1 + x)(1 + x)k>(1 + x)(1 + kx) = 1 + (k+ 1)x+ kx2>1 + (k+ 1)x. 所以當(dāng)p = k+ 1時(shí)，原不等式也成立.綜合可得，當(dāng)x> 1, x工0時(shí)，對一切整數(shù)1an>cp.方法一：先用數(shù)學(xué)歸納法證明p>1，不等式(1 + x)p>1 + px均成立.當(dāng)n= 1時(shí)，

13、由題設(shè)知a1>假設(shè)n = k(k> 1, k N )時(shí)，不等式ak>cp成立.由 an+1= Tan+ pan p易知 an>0, n N*.ak+1p 1 . c pak當(dāng)n = k+ 1時(shí)，akp p1+pan1.111iCp 1 <°.p p由(1)中的結(jié)論得1+ Pp- 1由 ak>c >0 得一1< 一<_ p：k 1 >1 + p 11V-Cp ap 1 - ap.1 因此 ap+1>c,即卩 ak +1>c；,所以當(dāng)n = k+ 1時(shí)，不等式an>J也成立.p綜合可得，對一切正整數(shù)n,不等式a

14、n>c1均成立.Pan+1 . 1 _can+1再由=1 + p 1可得<1 ,anP 0 丿 an即 an+ 1<an.綜上所述，an>an+1>2, n N*.p方法二：設(shè) f(x) = p一-x+ cx1p, x>c1，則 xp>c,p pp所以 f'xj =亍 + ；(1 p)xp =亍!j x.>0.1111由此可得，f(x)在c-,+8 )上單調(diào)遞增，因而，當(dāng) x>c-時(shí)，f(x)>f(c-)= c_. ppp1當(dāng)n= 1時(shí)，由a1>c_>0，即卩a?>c可知pa2 = Pa1+ ca1 pP p

15、-1=a1J + p、 1 1 <a1，并且 a2= f(a1)>cp，從而可得 a1>a2>cp,故當(dāng)n= 1時(shí)，不等式an>an+1>c，成立.P1假設(shè) n = k(k> 1， k N )時(shí)，不等式 ak>ak + 1>c成立，則當(dāng) n= k+ 1 時(shí)，f(ak)>f(ak+1)>p1即有 ak+ 1>ak+2>cp,所以當(dāng)n = k+ 1時(shí)，原不等式也成立.1綜合可得，對一切正整數(shù)n,不等式an>an+1>c均成立.P8 2014廣東卷設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,滿足Sn= 2nan+1- 3n24

16、n, n N ,且S3= 15. (1)求 a1, a2, a3 的值；求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.ax9、2014 全國卷函數(shù) f(x) = ln(x + 1) (a>1). x十a(chǎn)(1)討論f(x)的單調(diào)性;23設(shè) a1= 1, an+1=ln(an+1)，證明：<an.n + 2 n + 22解：易知 f(x)的定義域?yàn)?一1,+ ), f ' (x)= xx( a - 2a) 2.(x + 1)( x+ a)(i) 當(dāng) 1<a<2 時(shí)，若 x ( 1, a2 2a)，則 f' (x)>0，所以 f(x)在(1, a2 2a)是增函數(shù)；若 x (a

17、2 2a, 0),則 f' x(<0，所以 f(x)在(a2 2a, 0)是減函數(shù)；若x (0,+s )，則f'x)>0，所以f(x)在(0,+s )是增函數(shù).(ii) 當(dāng)a= 2時(shí)，若f'x) > 0, f'x)= 0成立當(dāng)且僅當(dāng)x= 0，所以f(x)在( 1,+ )是增函數(shù).(iii) 當(dāng) a>2 時(shí)，若 x ( 1, 0)，則 f'x(>0,所以 f(x)在(1, 0)是增函數(shù)；若 x (0, a2 2a),則 f'x(<0,所以f(x)在(0, a2 2a)是減函數(shù)；若 x (a2 2a,+ )，貝U

18、f'x)>0，所以 f(x)在(a2 2a,+ )是增函數(shù).由(1)知，當(dāng)a = 2時(shí)，f(x)在(一1 ,+ )是增函數(shù).2x當(dāng) x (0,+ )時(shí)，f(x)>f(0) = 0,即 ln(x+ 1)>x+2(x>0).又由知，當(dāng)a = 3時(shí)，f(x)在0 , 3)是減函數(shù).當(dāng) x (0, 3)時(shí)，f(x)<f(0)= 0，即 ln(x+ 1)<x+3(0<x<3).23f面用數(shù)學(xué)歸納法證明n<an<荷.2(i) 當(dāng)n = 1時(shí)，由已知3<a1= 1,故結(jié)論成立.<af23(ii) 假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即 花&

19、lt;*花.當(dāng)n = k+ 1時(shí),2/、 2 Xak+1 = In (ak+ 1)>lni丄 +1 k+2=丄 k + 2+ 1 > 2 + 2= k + 3, k+ 2+3ak+1 = In(ak+ 1)< In丄+ 1二后 3k+ 2+ 3 k+ 3k+ 23即當(dāng)n= k+ 1時(shí)，有十1w，結(jié)論成立.根據(jù)(i)(ii)知對任何n 結(jié)論都成立.10、2014 陜西卷設(shè)函數(shù) f(x) = ln(1 + x), g(x) = xf' (x), x> 0,其中 f' x)是 f(x)的導(dǎo)函數(shù). (1)令 g1(x) = g(x), gn+1(x) = g(g

20、n(x), n N+,求 gn(x)的表達(dá)式；若f(x)ag(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； 設(shè)n N +,比較g(1) + g(2) + g(n)與n f(n)的大小，并加以證明.解：由題設(shè)得，g(x) = x (x > 0).1 + xx(1)由已知，g1 (x) = 1 + x，X1 + x x g2(x) = g(g1(x)= = nx，1+ 1+ xxxg3(X)=，可得 gn(x)=.1 + 3x1 + nx下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)n= 1時(shí)，g1(x)=結(jié)論成立.假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即gk(x)=盤.那么，當(dāng) n= k+1 時(shí)，gk+1(x)= g(gk(x) = 1

21、+ gk(x)gk (x)x1 + kxd Z1八，即結(jié)論成立.x 1 +( k + 1) x1 +1 + kx由可知，結(jié)論對 n N +成立.ax(2)已知f(x)> ag(x)恒成立，即ln(1 + x) >恒成立. I十x設(shè) $(x)= ln(1 + x) 0),1 I xax+ 1 a2=2,1則 $'x)= 1+x( 1 + x) 2(1 + x)當(dāng)aw 1時(shí)，$'x)>0(僅當(dāng)x= 0, a = 1時(shí)等號成立), $ (x)在0,+ )上單調(diào)遞增，又$0) = 0, $ (x)>0在0,+ )上恒成立， aw 1時(shí)，ln(1 + x)>

22、-a恒成立(僅當(dāng)x= 0時(shí)等號成立).1 + x當(dāng) a>1 時(shí)，對 x (0, a 1有(j)'x(<0, $ (x)在(0, a 1上單調(diào)遞減，- $ (a 1)< «0) = 0.即a>1時(shí)，存在x>0,使$(x)<0 ,故知|n(1 + x)眾不恒成立.綜上可知，a的取值范圍是(g,1.(3)由題設(shè)知g + g(2) + + g(n )= 1 +1+ +比較結(jié)果為 g(1) + g(2) + + g(n)>n ln(n+ 1).證明如下：11i方法一：上述不等式等價(jià)于2+§+ nrr+1)，在中取a= 1，可得ln(1

23、 + x)> , x>0.1 + x1令 x= n，N+,則1帚<lnn+ 1nF面用數(shù)學(xué)歸納法證明.1當(dāng)n= 1時(shí)，2<ln 2，結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)n= k時(shí)結(jié)論成立，即1 + 2+<ln(k+ 1).23k+111111k + 2那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，2+3+ k+ 1+ k+ 2<ln(k+ 1) + k+ 2<ln( k + 1) + lnk+ 1= ln(k+ 2)，即結(jié)論成立.由可知，結(jié)論對 n N +成立.1 1 1方法二：上述不等式等價(jià)于+1 + n+<l n(n + 1),X在中取a= 1，可得ln(1 + x)>, x&g

24、t;0.1 + x令 x=丄，n N + ,貝U lnn + S nn n +11故有 ln 2 ln 1>2,1ln 3 ln 2>3,1ln(n+1)ln n>n+i，上述各式相加可得ln(n+ 1)>2+1+23y=x+? x=n及x軸所圍成的曲邊梯形的面積，而2+舟十彩是圖結(jié)論得證.方法三：如圖，m-dx是由曲線J X + 1 0中所示各矩形的面積和，1 2n n x：+;+> n dx =2 3 n+1 . x+1ox+7n ln(n + 1),o '結(jié)論得證.2*11、2014 重慶卷設(shè) ai = 1, an+1= a“ 2a*+ 2+ b(n

25、 N).(1) 若b= 1，求a2, a3及數(shù)列an的通項(xiàng)公式.若b= 1,問：是否存在實(shí)數(shù)c使得a2n<c<a2n+1對所有n N*成立？證明你的結(jié)論.解：方法一：a2= 2, a3= 2+ 1.再由題設(shè)條件知2 2(an+ 1 1) = (an 1) + 1.從而(an 1)2是首項(xiàng)為0,公差為1的等差數(shù)列， 故(an 1)2= n 1,即卩 an= n 1 + 1(n N*). 方法二：a2= 2, a3=2 + 1.可寫為 a1 = -1 1 + 1, a? = 2 1 + 1, a3 = ".;3 1 + 1.因此猜想 an =、jn 1 + 1. 下面用數(shù)學(xué)歸

26、納法證明上式.當(dāng)n = 1時(shí)，結(jié)論顯然成立.假設(shè)n= k時(shí)結(jié)論成立，即ak= :k 1 + 1,貝Uak+1= (ak 1) 2+ 1 + 1 = '： ( k 1) + 1 +1 = “J ( k+ 1) 1 + 1, 這就是說，當(dāng)n= k+ 1時(shí)結(jié)論成立.所以 a*= n 1 + 1(n N).(2) 方法一：設(shè) f(X)=詁(X 1) 2 + 1 1，則 an + 1 = f(an).令 c= f(c),即卩 c=(c 1) 2+ 1 1，解得 c= ?下面用數(shù)學(xué)歸納法證明命題a2n<c<a2n + 1<1.當(dāng) n = 1 時(shí)，a2= f(1) = 0, a3= f(0) = 2 1，所以 a2<4<a3<1，結(jié)論成立. 假設(shè)n= k時(shí)結(jié)論成立，即a2k<c<a2k+1<1.易知f(x)在( g, 1上為減函