河南專升本高數真題及答案

1、2012年河南省普通高等學校選拔優(yōu)秀專科畢業(yè)生進入本科階段學習考試高等數學題號-一一-二二-三四五總分分值602050128150、選擇題(每小題 2分，共60分)在每小題的四個備選答案中選出一個正確答案，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.11 .函數y = 4 x arctan 的定義域是 xA.1 -4,亠- iB._4,：C.1-4, 0 IJ 0，D.-4, 0 IJ 0,解:4 x _ 0一=x 孑：一4且x = 0 .選 C.x=02.下列函數中為偶函數的是A.2y =x Iog3(1-x)B .y = xsin xC.y = ln

2、( .1 x x)D .xy 二 e解:A、D為非奇非偶函數，B為偶函數，C為奇函數。選B3當x > 0時，下列無窮小量中與ln(1 2x)等價的是I2小A. xB. xC. xD. 2x2解：xr 0 時，In(12x) 2x .選 D.2 14.設函數f(x)二sin ，則x = 0是f (x)的xA .連續(xù)點C.跳躍間斷點B .可去間斷點D .第二類間斷點2 1解：x =0處沒有定義，顯然是間斷點；又 x)0時sin21的極限不存在，故x是第二類間斷點。選D.5.函數y二3 x在點x =0處A .極限不存在C.連續(xù)但不可導解：函數的定義域為-匚片*遼B .間斷D .連續(xù)且可導lim

3、 = lim Vxx p x_0 -二f (0) = 0，顯然是連續(xù)的；又口0)=觀+彳 = x = =從°)，因此在該點處不可導。選C.6.設函數f(x) = x護(x)，其中® (x)在x = 0處連續(xù)且護(0)式0，則f "(0)A .不存在C.存在且等于0B .等于:(0)D .存在且等于：(0)解：易知f(0)=0，且 f0) = lim° = lim cp(x)=®(0),_x= (x) _ 0f i0) = limlim - ：(x) =(0) = f .(0).故 f (0)不存在。選 A.0xT 十7.若函數y = f (u)

4、可導，A. f (ex)dxC. f (x)exdxxu = e，貝U dy =B. f (ex)d(ex)解：根據復合函數求導法則可知:D. f(ex)dexdy = f (u)du 二 f (eX)dex.選 b.&曲線y有水平漸近線的充分條件是f(x)A. lim f (x) =0C. lim f(x) =0B. lim f(x)x-CD. lim f (x)八解：根據水平漸近線的求法可知：當lim f(x)二時,x-?Clim 10 , 即卩 y = 0x；： f (x)時y 的一條水平漸近線，選B.f(x)9.設函數y-1sinx，則魚二2dy1 -1cos y21cosxC

5、.22 - cos y22 cosx1 1dxdy選D.2 -cosx解：對八x _2sinx兩邊同時求微分有：dy “X-尹sxdx，所以x +1 x HO10曲線f(x)二' 一在點(0, 1)處的切線斜率是1 +sinx, x v0A. 0B . 1C. 2D. 3解：易知 f (0)=1 , f (0) = lim x 1 -1 =1,x口0)rm 沁上沁=1，故f (0)=1.選B.xT_ x311.方程x 3x 0 (其中c為任意實數)在區(qū)間(0, 1)內實根最多有A. 4個B . 3個C . 2個D . 1個解：令f (xx3 3x c，則有f (x) = 3x2 3 0

6、 ,即函數在定義域內是單 調遞增的，故最多只有一個實根。選D.12 .若f (x)連續(xù)，則下列等式正確的是A .f (x)dx = f (x)B .f (x)dx = f (x)C .df (x)二 f (x)D .d f (x)dx = f (x)解：B、C的寺式右邊缺少常數C,D選項是求微分的，等式右邊缺少dx.選A.13 .如果 f(x)的一個原函數為 x -arcsi nx. f(x)dx =1 1A . 12 CB . 1 C1 x2J-x21C . x -arcsinx Cd . 1: C解：f(x)的一個原函數為xarcsinx，那么所有的原函數就是xarcsinx C .所以f

7、 (x)dx 二 xarcsinx C .選 C.14.設f (x) =1,且 f (0) =1 ,則f (x)dx 二A.x C1 2B. x x C2C.2x x CD . 1 x2 C2解:因為f (x) =1，所以f(x)=f (x)dx 二 dx=xC，又 f(0)=1，故f(x)=x 仁 f(x)dx= (x 1)dxx C .選 B.15.衛(wèi)dx ' sinx2012 2(-cost )dt =-COS x2cos(sin x)2 cosxC.xcosx2解:cos(sin x2)本題是變下限積分的題。利用公式可知d 2012dx - sinx(-cost2)dt = c

8、os(sin x)2COSX .選 B.16.12x3e*dx$ oC. 1 - 2e，e-11 ,解：2x3e-0dx - - x2e'0d(-x2)O/de-_x2e1 20dx2 上1 二一x e1J0 =1-2e .選C.17.下列廣義積分收斂的是11A. ln xdx0x10 1x3xdxC.:1In xdxx-be,e沁解：A選項中11In xdxIn xdl nx 二3 x0丄1 n2x2二-:：，故發(fā)散;bB選項中根據結論PT1dx，當q -1時發(fā)散，本題中4，故發(fā)散;3C選項中根據結論1k dx，當k乞1時發(fā)散，本題中'a x(ln x)k - -1，故發(fā)散;

9、解：最高階導數是二階導數，并且不是線性的。選A.dysin xcosx19 .微分萬程的通解為dxyA .2 2y cos x CB .2 2y = sin x CC .y 二sin2 xCD .y 二 cos2 x C解:這是可分離變量的方程。有ydy=sin x cos xdx，兩邊同時積分有:5x 1D選項中異一取一5°-5x 七C1 15e5，故收斂。選D.18.微分方程孕y 是dx dxA .二階非線性微分方程C. 一階非線性微分方程B 二階線性微分方程D一階線性微分方程1 2 1y sin x C，即 y 二 sin x C .選 B.2 220. 在空間直角坐標系中，若

10、向量a與Ox軸和Oz軸正向的夾角分別為 45和 60，則向量a與Oy軸正向的夾角為A. 30B . 60C. 45D. 60 或 120解：對空間的任意一個向量有COS2二，COS2 ： COS2 =1 ,現有 ,，從而解得cos二1，所以 為60或120 .選D.46221. 直線 =口二 2與平面2x 0的位置關系是-123A .直線在平面內B .平行C.垂直D .相交但不垂直解：直線的方向向量為I 1,2,3，平面的法向量為n-2,1,0f，且nl0 ,直線上的點 0,1,-2不在平面內，所以故該直線和平面平行。選B.22. 下列方程在空間直角坐標系中表示的圖形為旋轉曲面的是2 2x z

11、22A.1B . z = x - y32C. y2 =x -z2D . z2 _x2 =2y2解：根據旋轉曲面方程的特點，有兩個平方項的系數相同，故選C.23.(x,阿,1)叼-1 _xy -1解:(x,阿1)( , xy-1)(. xy 1)= lim(xy -1)( . xy 1)(x, y) >(1,1)1xy 12選B.24.函數z二f(x, y)在點(x0, y0)處可微是f (x, y)在該點處兩個偏導數 和ex存在的-:yB 必要條件A .充分條件C.充分必要條件D .既非充分又非必要條件解：可微可以退出偏導數存在，但是僅有偏導數存在退不出可微，故是充分而 非必要條件。選A

12、.25.已知 z=xysin(xy)，則二:xysin (xy)sin (xy)(1 xy)C.cos(xy) -xysin(xy)-xy cos(xy)解:-2二"ycos(xy); - z.x：y= cos(xy) - xysin(xy).選 c.26幕級數od' (-1)n=0n nn 2丄的和函數 n!S(x)為B. e"2e'x解：由ex八，可知 n=0 n!oO(-1)n=0n n，、nn 2 x 二二(-2x)n! 心 n!.選 B.27.下列級數發(fā)散的是A .二(-1)n3*n =1n(n 1)( n 2)"(T)；旳17 13心(

13、2n -評c. ' (-1)弓n=13解：A選項中一般項趨于 -4 = 0，故發(fā)散;旳1B、C選項是交錯級數，滿足萊布尼茨定理，故收斂；D選項根據結論中P 1時n二 n3收斂，本題中p，故收斂。選A.228. 若級數 Jan（x-2）n在點x = 0處條件收斂，則在 x=-1 , x = 2 , x=3,nAx =4, x =5中使該級數收斂的點有A. 0個B . 1個C . 2個D . 3個解：該級數的中心點是2,又在點x = 0處條件收斂，所以可以確定收斂區(qū)間為0,4 故在x=2 , x=3處收斂。選C.29. 若L是曲線y =x3上從點（1, 1）到（-1, -1）的一條連續(xù)曲線

14、段，則曲線積分l (ey y -2)dx (xey x -3y)dy 的值為A. ee -4C.-eJ -e 4B . -e" - e -4D. 0FPFQ解：P(x, y)=ey y - 2, Q(x, y)二 xey x -3y，且有 一二 ey 1 二一, cyex因此該積分與積分路徑無關。令該積分沿直線y =x上點(1, 1)到(-1, -1)積分，可41化為有(ey + y _2)dx+ (xey + x _3y)dy = f (ex+xex _x-2)dx =-e _e + 4 .選 C.A.0dy-f(x, y)dxB. °dy.f (x, y)dx1 212

15、-xC.dy-0 0f (x, y)dxD. /y .f (x, y)dx解:積分區(qū)域可寫為：1x222 、30.設I = 0 dx p f (x, yd y亠i d x° f x )d y，則交換積分次序后，I可12今22丄D =(x,y) 0 Ex乞1,0蘭y蘭x2<j(x, y) 1蘭x蘭2,0蘭y乞2 x,在圖象中表示為12_y示為 °dy - f(x, y)dx 選 A.、填空題(每小題 2分，共20 分)解:32.0 y乞1, i, y乞x乞2 - y因此積分可表已知 f (x -1)=x2 -X，則 f .x) =.f (x -1) = (x -1)x

16、, f (t) =t(t T),因此 f (、_ x) =、x(、x 1) = x x (2x設函數 f (x) lim 11 -t-叫t丿(x = 0)，則 f (In 2)=2x)=lim1+空f t如果函數f (x)在點a處可導且f a為f (x)的極小值，貝U f (a)二.因為極值點是 f (x) = 0或者f (x)不存在的點，現已知函數 f (x)在點a處 可導，所以f (a) =0.解:33.解:34.曲線y =xe"的拐點是2x丄八 c2ln 2 A=e , f (In 2) = e =4 .2 解：y = (1 -x)e» , y = (-2 x)e&q

17、uot;.令 y = 0 ,可得 x = 2，此時 y =冇;e并且當x 2時,y ：0.因此拐點為(2，W).35.不定積分1x(x2 -1嚴-解:x(x21)d"(十亠弓1x -1 x 2 x -12 11d(x -1) dx = ' x2-ln x2 T Tn x +C36.微分方程dy 2xy =ey滿足y(0) =0的特解為dx解：原方程對應的齊次線性微分方程為凹-2xy=0，可解得y.用常數dx2變易法，可求得非齊次線性微分方程的通解為y = (x C)e.將y(0) =0代入有X2C = 0 所以對應的特解為 y = xe .437向量a叫1, -1, 2在b二

18、0, 3, 4上的投影為 _ .=5 , . cos(a, b)=解：；ab=,+8=5, a=,，bj 444故向量a在向量b上的投影Prjb a = a cos(a, b) =1.38 .設方程xy xz y 0所確定的隱函數為z 二 z(x, y)，則.:z；xx=0yw解：令 F (x, y, z xy xz yz.則有 Fx> y z, Fz> x y，所以.:zFxFz仏二.由于x =0, y =1時,x yz = 0 .代入可知ex-1.X0ym2239.設積分區(qū)域 D為：x y <4y，則 dxdy =D解：.dxdy = SD，而積分區(qū)域D表示的是以 0,2

19、為圓心，2為半徑的圓，所以DSd =4，即卩 I I dxdy =4二.D40 .若 lim nun 二 k(k>0 )，則正項級數瓦Un的斂散性為n=1解: lim nun = lim Un = k 0 ,由比較判別法的極限形式可知, n 1nO0有相同的斂散性，故正項級數7 Un是發(fā)散的。n d三、計算題(每小題 5分，共50分)于是41 .求極限lim解：原式tan x -sin xeX -1sinx 丄Icosxsin x 1 -cosx 1=limx 0 x x cosx二 limx_0sinxx42.已知參數方程解：因為所以lim 務 limo xcosxx = a(1 -s

20、 int)y = a(1 _ cost)dy dy dt a si nt dx dx-acostdt（t為參數），求業(yè)dx2=-ta nt2 g業(yè)2d y dt dx-sec t 13,2sec tdx dx -a cost adt43.求不定積分Je"*dx .解：令,x+1 =t，貝H x 二 t21，且 dx 二 2tdt原式二 2 tddt 二 2 tdd 二 2(t£ - £ dt)二 2(t1汙 C回代 =2( . x 1 -1)e C .44.求 limx t2oe dt1 -ex2解：原式x t20e dt45.求微分方程2d2ydx2悄”。的通解

21、.解：原方程的特征方程為2r2 4r 3=0特征方程的根為r = -1i2所以原方程的通解為y =e| Cr cos'2 x+ C2 si.I 22丿3246.求函數 z(x, y) = y -x 6x -12y 10 的極值.N = 2x + 6 =0 解：由2解得駐點(3, 2), (3, -2)Zy = 3y 12=0又z& - -2, Zxy =0, Zyy =6y對于駐點(3, 2)，因為A 二 Zxx(3, 2) 一2 :：: 0, 8= zXy(3, 2) = 0, C 二 Zyy(3, 2) =12所以AC - B224 ： 0 ,于是點(3, 2)不是函數的極

22、值點.對于駐點(3, -2)有A = Zxx(3, - 2) - -2 ： 0, B 二 Zxy(3, - 2) = 0, C = Zyy (3, - 2) - -12于是AC - B2 = 240所以函數在點(3, - 2)處取極大值為z(3, - 2) = 35 .2x + 3yz = 5 一47.求過點A(2, -3, -1)且與直線I：平行的直線方程.x + 2z = 1 工2x 3y - z = 5解：因為所求直線平行于直線I:'lx + 2z=1所以所求直線的方向向量為4 4-1彳 ijk呻 呻*s=2 3 -1 =6i -5j-3k =<6, -5, -31 0 2

23、由直線的點向式方程可得，所求的直線方程為x -2 y 3 z 16-5-348.求函數 z = arctan In x2 y2的全微分.y解：由于-z yx x y'”丄 -f-'丄_2 土 22.22.2:x x y x y x y:z x y所以所以y-xx2y2czdzx + ydz ' dx dy 二二 dx:x:y x y-dy x y49.計算 11sin、. x2 y2dxdy，其中 D 為圓環(huán):D解：在極坐標系下，n <x2 - y2 < 4 n2.區(qū)域 D （如第49題圖所示）可以表示為D =(r,0) 0 蘭日蘭 2n n< r 蘭

24、2 nI isinx2 y2dxdy = 0 d rD2 nsin r rdr2 n=-2 nrdcosr n-2 n r cos ry<1QO50.求幕級數、'n =0解：因為=limn 譏:an 1an.Jn +2 =limn ?：1.n 1= lim T =1f訂n2所以原級數的收斂半徑為R斗1y x2y2x2 - y2也就是，當-1-2 : 1, 即 1 ： x ：3時，原級數收斂.當x=1時，原級數為 （2 是交錯級數且滿足un=B Qn +11lim叫=lim =0，所以它是收斂的；n_y：n廠 1旳11當x=3時，原級數為,這是一個p1的p-級數，所以它是發(fā)散n 衛(wèi).n 12的；所以，原級數的收斂域為1, 3).四、應用題(每小題 6分，共12分)151.求函數f(x) =xx在x 0時的最大值，并從數列 1,2 ,