數(shù)值分析試題與答案

1、一.填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）1. 設(shè)有節(jié)點(diǎn)xo,xi,X2,其對(duì)應(yīng)的函數(shù)y=f x的值分別為y°,yi,y2,則二次拉格朗日插值基函數(shù)lo（X）為。2. 設(shè)f x = x2，則f x關(guān)于節(jié)點(diǎn)xo = 0 ,xi = 1,X2二3勺二階向前差分為。_1 -10 1213.設(shè) A = -11-1，x =3，則 | AL 二，x'0-11 一4. n 1個(gè)節(jié)點(diǎn)的高斯求積公式的代數(shù)精確度為 。二簡(jiǎn)答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）1. 哪種線性方程組可用平方根法求解？為什么說平方根法計(jì)算穩(wěn)定？2. 什么是不動(dòng)點(diǎn)迭代法？ - x滿足什么條件才能保證不動(dòng)點(diǎn)

2、存在和不動(dòng)點(diǎn)迭代序列收斂于:x的不動(dòng)點(diǎn)？3. 設(shè)n階矩陣A具有n個(gè)特征值且滿足因爲(wèi)首為糾“卩冷，請(qǐng)簡(jiǎn)單說 明求解矩陣A的主特征值和特征向量的算法及流程。三. 求一個(gè)次數(shù)不高于3的多項(xiàng)式R x，滿足下列插值條件：Xi123yi2412y3并估計(jì)誤差。（10分）14四. 試用n =1,2,4的牛頓-科特斯求積公式計(jì)算定積分1= dx。（ 10分）°1 + x五. 用Newton法求f （x） = x - cosx = 0的近似解。（10分）六. 試用Doolittle分解法求解方程組:24,651 3-3一 6|_x3 _|109（ 10 分）3一 020x1 2x2 3x3 = 24七

3、. 請(qǐng)寫出雅可比迭代法求解線性方程組 8x2 X3 =12的迭代格式，并2X（ -3x2 15x3 = 30判斷其是否收斂？ （ 10分）八. 就初值問題y 一 y考察歐拉顯式格式的收斂性。（io分）I y（o）= yo數(shù)值分析（A）卷標(biāo)準(zhǔn)答案（2009 - 2010 - 1）一. 填空題（每小題3分，共12分）1. l0 x （X -X1）（X -Xj ； 2.7 ； 3. 3 , 8; 4. 2n+1。（x° -X1）（x° -X2）二簡(jiǎn)答題（本大題共 3小題，每小題8分，共24分）1. 解：系數(shù)矩陣為對(duì)稱正定的方程組可用平方根法。（4分）對(duì)于對(duì)稱正定陣 A，從aH可知

4、對(duì)任意k < i有|lik l<yfa。即L的元素不會(huì)增大，誤差可控，不需選主元，所以穩(wěn)定。（4分）2. 解：（1）若X二 X ，則稱X為函數(shù)，X的不動(dòng)點(diǎn)。（2 分）（2）X必須滿足下列三個(gè)條件，才能保證不動(dòng)點(diǎn)存在和不動(dòng)點(diǎn)迭代序列收斂于X的不動(dòng)點(diǎn):（2 分）（2 分）1）X是在其定義域內(nèi)是連續(xù)函數(shù);2）X的值域是定義域的子集;3）X在其定義域內(nèi)滿足李普希茲條件。（2 分）3. 解：參照幕法求解主特征值的流程步1:輸入矩陣A,初始向量v0,誤差限；，最大迭代次數(shù) N;步 2：置 k:=1,:=0， u0=v0/|v0| g;步 3:計(jì)算 vk=Auk-1;步4：計(jì)算（2 分）（2 分

5、）（1 分）（2 分）（1 分）（2 分）（2 分）（2 分）（4分）（3 分）（1 分）并置 mk:=vkr, uk:=vk/mk;步5:若|mk-卩|<，計(jì)算，輸出 mk,uk;否則，轉(zhuǎn)6;步6:若k<N,置k:=k+1,卩:=mk，轉(zhuǎn)3;否則輸出計(jì)算失敗信息，停止解：（1）利用插值法加待定系數(shù)法：設(shè) P2 x 滿足 p2 1 =2, P2 2 =4, P2 3 =12,則 p2 x =3x -7x 6,（3 分）再設(shè) p3x=p2x Kx-1x-2x-3（ 3 分）K = 2（ 1 分）32p3 x =2x-9x 15x-6（ 1 分）（2）R3（x）=£f（4 肚

6、 J（x1" 2）2（x3）4!1四.解：應(yīng)用梯形公式得| ： h f 0 f 1= 0.75應(yīng)用辛普森公式得：I ：、l2 =1 f 04f 1 f 1612丿 Q二 0.69444444應(yīng)用科特斯公式得：I l4 - 7f 0 32f 112f 132f -7f 190 |L-424-0.6931746五.解：由零點(diǎn)定理，x-cosx=0在（0,）內(nèi)有根。2由牛頓迭代格式 Xn彳=Xn - '。'乂“n = 0,1,1 +sin xn取x。得，4x 0.73936133; x2 =0.739085178x3 =0.739085133 x 0.739085133故取

7、 x*% =0.739085133六.解：對(duì)系數(shù)矩陣做三角分解：_25-6100”UnU12U13413-19=l2110|U22U23L-6-3一6-31l321丄U33A 二2 1 iL-3 4 1上©-7 =LU4若 Ly =b，則如=1Q y? =-1,y3 =4；若Ux 二 y，則 x =（3,2,1） T。七.解：（1）對(duì)于方程組，雅可比方法的迭代矩陣為00.5-0.5B =-1 0 -10衛(wèi).5 0.5（4分）（2 分）（2 分）（2分）其特征多項(xiàng)式為det（'l - B）：人*2 425，且特征值為=0, 2 - -1.25, 3 - -、1.25（2 分）故

8、有r Bi； =1.25 1，因而雅可比迭代法不收斂。（1分）（2）對(duì)于方程組，Gauss-Seidel迭代法迭代矩陣為00.5-0.5B = 0 -0.5 -0.5（ 2 分）00-0.5 一其特征值為 、=0,匕=匕=0.5（2分）故有B = 0.5 : 1，因而雅可比迭代法收斂。（1分）八證明題（本大題共 2小題，每小題7分，共14分）1.證：該問題的精確解為 y（x） = y0e'-x（ 2分）歐拉公式為yi yiy （ h）yi（2分）對(duì)任意固定的x = Xi = ih ,有 二 y0（1 h）xi/h =y°（1，h）1/ h 'x,（2 分）則 y

9、76;e樣i =y（Xj）（1 分）2.證：牛頓迭代格式為XnT=%一, n =0,1,2,|l|（ 3 分）66xn故此迭代格式是線性收斂的。10。2(2 分)數(shù)值分析參考解答三計(jì)算題(每小題7分，共42分)：1.設(shè)f(x)=ex，試構(gòu)造基函數(shù)求f(x)的2次插值多項(xiàng)式 F2(x),滿足:P2二 f(0),卞(0) = f'(0),P2(1) = f(1).解 設(shè)P2(X)的基函數(shù)為o(X),r(X)o(X)，則它們滿足下列關(guān)系(1 分)X01X0P2(X)1eP2(X)10(X)10%(x)0%(x)01«1(x)0P°(x)00P°(x)1(2 分)

10、:o(0Hco =12(1)令a0(x)=a°x +b°x+c。，則有 30(1)=80+6+5=0, 纟。(0) = b° = 0即 a0 - -1,b0 = 0,c0 = 1.所以0(x) - -x2 1.或由：0(1) =0，先得：0(x)二(x -1)(kx l).-1.再由-0(0) =1，得 一1 =1，即 I = 一1.由0(0) =1，得 I k = 0,即卩 k所以 _：匚0( X)= -(x1)( x 1) = -X?1 .牛(0) = G =0 令 CC1(X)=a1X2 +dx +C1，則有 似1(1)=a +b| +g =1，件(0)=

11、b = 0(1 分) 令 0°(x) =a2X2 +b?x +C2，則有 B°(1)=(1 分)(2 分)(1 分)(2 分)即印=1，D = °，G = 0.所以： i(x) =x2.或由-<1(0 - > 1(0) = 0 ,先得i(x) = kx .再由-< 1(1) =1，得 k = 1. 所以1(x) = x2.I 匸0(0) = C2= 0=a2 b2 C2 = 0，P°(0) = b2 = 1即 a2 - -1,b2 =1,Q =0.所以：0(x)二-x2 x或由：0(0)-0(1) =0,先得：0(x) =kx(x -1

12、).再由'-0 (0)=1, "得k 1, 即卩 k 1.所以 P0(x) = x(x 1) = x *x(1 分)最后得 P2 (x) = f (0): 0 (x) f (1):“(X) f '(0) ： 0(x) = (e-2)x2 x 1 .(1 分)2.求f (x3x32x2 x在區(qū)間-1,1 上的2次最佳一致逼近多項(xiàng)式1解 設(shè)所求的2次最佳一致逼近多項(xiàng)式為P*(x).令Q(x) = f(x) - P；(x) .(2 分)31 * 1則Q(x)的首項(xiàng)系數(shù)為1,并且當(dāng)Q(x) f(x)-P2(x)2T3(x)時(shí)，Q(x)與0的偏3 22差最小，即f(x)與P*

13、(x)的偏差最小.(2分) 因?yàn)開1,1上的3次切比雪夫Chebyshev多項(xiàng)式為T3(x) =4x3 -3x .所以 P2*(x) = f (x) _?T3(x) =3x3 2X2 X _ (3x3 _ 9X) = 2x2 13x.4 443利用龍貝格公式計(jì)算定積分(計(jì)算到R1即可)：解 f(x) x 2,x -1,7, T1，(-“屮/) f(7) =16,2T2 工丄百8f (3) =8 45 =16.94428,2 21 4廠？T4T2 f (1) f(5) =8.47214 2 ( .3. 7) =17.22774 ,2 212T8T4f(0) f(2) f(4) f(6)22= 8

14、.61387.22,68 =17.30599 ,S=4T2 -1% =17.25904 , S2 =-T4 -1T 17.32223 ,41S4T8T4 =17.33207,(2 分)33161C1S2S -17.32644 ,1515tSCRn=11617.2590417.3264417.33283n=216.9442817.3222317.33273n=417.2277417.33207n=817.305993 333C2 二16&-丄S2 =17.33273,1515R = 64C2 丄G =17.33283.( 2 分)63 263 14禾U用改進(jìn)的尤拉方法求解常微分方程初值問

15、題:（要求取步長(zhǎng)h = 0.2計(jì)算）'y ' = y + X(1 蘭 X 蘭 1 .6) "(1) =1.解 令f（x, y） = y+ x，則改進(jìn)的尤拉公式為：h(2 分)yn+ =yn + f (Xn , yn) + f (Xn + h, yn + hf (Xn , yn) 2,(2+h)h(2+h)hh2=1Xn+=. 2 2 2(2分)取 h =0.2得，yn=1.22yn +0.22xn +0.02.(1分)計(jì)算結(jié)果如下：Xy111.21.461.42.06521.62.84754（2分）5用牛頓法求方程f（x）=x3-3x-2=0在X。=3附近的根（只要求

16、迭代2步）。解牛頓迭代公式為:f (Xn)二 Xn -X； - Xn - 23(Xn -1)(2分)(2分)6寫出解如下線性方程組的高斯-塞德爾迭代公式，并討論其收斂性。如果不收斂，則應(yīng) 怎樣處理才能得到收斂的高斯-塞德爾迭代公式？2X - 3X2 = 0, ?Xi +2X2 =1.-32-30（1 分）_! 2D-L3(i 分)G hD L U1 200 3 JO4|-3 20 04 06【9(i 分)(1 分)21 =4_2xL）=gx f）+f =這時(shí)G的2個(gè)特征值為 16497011.2 一為高斯-塞德爾迭代公式（1 分）=0 ,故G j > 1，迭代法不收斂（1 分）若原方程2

17、X1 3x 0改寫成為3捲 +2x2 =1優(yōu)勢(shì)矩陣，則由此得到的迭代法必收斂戸皿"這時(shí)A# 212 -3X2 -0|2-3是嚴(yán)格對(duì)角（1 分）四證明題(每小題9分，共18分)：1.證明本試卷第三大題(即計(jì)算題)第1小題的插值余項(xiàng)：J1R2(x) = f (x) - P2(x)x2(x-1)(0：1),并有誤差估計(jì) |R2(x).6 8證：方法一：因?yàn)镽2 x = f(x) -F2 x，則0,1是R2 x的零點(diǎn)且0為二重的，(1分)于是可設(shè) r2 x =k(x) X2 X-1，令(t)二 f(t) 一 F2(t)k(x)t2(t1),t 0,1(2 分)則(t)有4個(gè)零點(diǎn)：0,0,1,

18、x,連續(xù)使用三次羅爾定理，則0,1 ,使)=0,(2分)，”廣心 33即 f ( ) -k(x) 3! =0= k(x)，得 R2 xx2 x1 .(23!66方法二:設(shè)©(t) =f P2(t)f (X)-p2(x)t2(t_1),則® (t)有 3 個(gè)零點(diǎn) 0,1, x.x2(x -1)(1IHI（t）有2+1個(gè)零點(diǎn)，。（t）有一個(gè)零點(diǎn)，所以0“()異'()f(x)-p2(x)x2(x -1)(2IIIf ()f (X) -F2(x)3! x2(x-1)(22一 2je2f(x) -P2(x)f (x)x (x -1) e x (x-1)，即 R2 xx6 6

19、6X-1 (2最后 |R2 x x2 1x < ex6 6X 1-Xx + (1-x) f-21<8(215 丨32證明：求積公式Jgdx、5人,5|f(】3) 9f(0) 5f（、. 3）恰有5次代數(shù)精度.1 1證：當(dāng) f(x) =1 時(shí)，.f(x)dx 1d(x)=2 ,If(If(0) |fG3)=5 1 8 f (0)5 1 = 2;999(1分)1當(dāng) f (x)二 x 時(shí)， f (x)dx1X2LXd(x)二牙=0 ,-4f(598I 3If(0) I/I)8I 3嚴(yán) |)5i(1分)11- 3 1f(x)=x2 時(shí)，Lf(x)dx=Lx2d(x) =自當(dāng)M IY)|f(

20、0) JlfG |) =|(99 I 93、55'95( 3)2/9 ； 5'33 1 1 3當(dāng) f (x)二 x 時(shí)，.4 f (x)dx 二斗x d(x) =0 ,當(dāng)4f(x)二 X 時(shí),859f(0)9(85359f(0) 9匕5)匚f(89f(0)59f (x) =x5 時(shí),f(59:f(x)dx = ；x4d(x)斗5_5i56f(3)=5(598 _9f(0) 9(3 425)1 1 5f(x)dx =x d(x) =0 ,+93中(存943)3"959 ' 595(0) 5(3)5=0.即求積公式對(duì)次數(shù)不超過 5的多項(xiàng)式準(zhǔn)確成立，但當(dāng)f （x）二

21、x6 r r時(shí),1 1 6.f(x)dx ix d(x)分）綜之，求積公式具有 5次代數(shù)精度53 6853 669(-)6+ f(0)(.)6、599 1.525不成立(1(1(1(2(1分）數(shù)值分析試題11.已知X； =325413,X2 =0.325413都有6位有效數(shù)字，求絕對(duì)誤差限。（4分）解：由已知可知,n=6*6I0X1 =0.325413 10,k=6,k- n = 0,絕對(duì)誤差限 “10 =0.52 分21X； =0.325413 10°,k=0,k-n =-6,絕對(duì)誤差限 遼 1021 0 02.已知A = 024 求IA1MLJA2(6分)'0 -2 4一

22、解：A1 =max?1,4,8.；=8,A二 max1,6,6,6.1001ATA =02-20衛(wèi)4400 0 1024 = 08-2 4_ J000032 max (AT A) = max 1,8,32.； =321分1分1分2分1分A|2 =732 =4j2233.設(shè) f (x) =(x -a) (6 分) 寫出f(x)=0解的Newton迭代格式 當(dāng)a為何值時(shí)，Xk 1二（xQ （ k=0,1）產(chǎn)生的序列、Xk 收斂于、2解：Newt on迭代格式為:Xk 1 = xk -f(Xk)f'(Xk)=Xk(xi - a)35Xk a22_6Xk(Xk -a) 6 6Xk5(x)二56

23、a6x2,當(dāng)申'（V2）=10 a12：1,即- 2 ： a : 22時(shí)迭代收斂4.給定線性方程組Ax=b，其中212bj3l用迭代公式一x（k1）十：(b _ Ax(k)(k=0,1求解 Ax=b，問取什么實(shí)數(shù)，可使迭代收(8 分)|1 -3： - 2二B = I -A =1-2：其特征方程為 pj -B2分2分2分2分，b = 6試討論解此方程的Jacobi迭代法的收k-(1-3ot)2aog九一(1 2g )即，解得 1 = 1 - 2 = 1 _ 4、;要使其滿足題意，須使；-(B) ：:1，當(dāng)且僅當(dāng) 0 ： : ： 0.512-255.設(shè)方程Ax=b，其中A = 1112 2

24、1斂性，并建立 Gauss-Seidel迭代格式(9分)解:A = LU0 -2 21Bj = -D (L +U) = -1 0-12 2 0'I _ Bj = 1 0, 1 2 ' 3 0即'(Bj) =0 ： 1,由此可知Jacobi迭代收斂1分Gauss-Seidel 迭代格式：才出=5-2x2k)+2x3k)x2宀=6-為(宀亠"(k=0,1,2,3)3分x3 =7-2x1" -2x2*6.用Doolittle分解計(jì)算下列3個(gè)線性代數(shù)方程組：(i=1,2,3)其中21石A = 232 ,= 7 b2 = X,b3 = X2(12 分)'

25、;234 一2解:_221【2Xi417A=由 Ux1=y , AX2 二 b22201-20們1 =LU1 1 0y=7得y=3J 1 1 一1 i9i i20由 Ly=b1 ,即0 2 1x1 =3得x1 =1 ° 0 2 一i2i i114112313由 Ly=b2=x1 ,110 -10y=丄得y= 06_2 1 1 InI0.5l0 2 1x2=0得x2=00 0 2一0 一L0 J11由Ux2=y ，即211 _'0.5_232x3=0234_0一-10由Ly=b3=x2，即1111 Ax3 = b3_2 1由 Ux3=y，即 0201(0.5 1f0.5 10y

26、=0得y=-0.51 一i0 一1 i0 J1x3=-0.52一i i0 一11050.375得 x3= -0.250 一ziT0101 Jf yi匚Q7.已知函數(shù)y=f(x)有關(guān)數(shù)據(jù)如下:要求一次數(shù)不超過 3的H插值多項(xiàng)式，使H 3(Xj) = yj , H 3(xJ = y1(6分)作重點(diǎn)的差分表，如下:ilif (xi)0r -i-11r 20r i1匚°0匚°2_ i_ 1匚i匚i 2 1H3(x) = f XofXo,Xi(X Xo)f Xo,Xi,Xi(X Xo)(X Xi )fXo,Xi,Xi,X2】(X -X°)(X -xj28.有如下函數(shù)表:xi

27、0i23r ar gr ioL 25 J=-1+(x+1)-x(x+1)+2x.x(x+1)32=2x x3 分試計(jì)算此列表函數(shù)的差分表，并利用Newt on前插公式給出它的插值多項(xiàng)式(7分)解：N3(x)=f0 需% .(X _X°)(X_X1),22!h2f .(X- X0)(X -X1)(X-X2),3 ff0 3 f03!h由已知條件可作差分表,1sif (xi)0r o41i952r 216r 723325g203分xi = x0 ih =i( i=0,1,2,3 )為等距插值節(jié)點(diǎn)，則Newt on向前插值公式為:=4+5x+x(x-1)2=x 4x 49. 求f(x)=x

28、在-1,1上的二次最佳平方逼近多項(xiàng)式F2 (X)，并求出平方誤差(8分)解：2令 P2(x)二 a。 a/ a?x2 分2取 m=1, n=x, k= x，計(jì)算得：(m,m)=1jdx =0(m, n)=1xdx=1-1(m,k)=1 2x dx=0 j(n,k)=13x dx=0.51(k,k)=14x dx=0 j(m,y)=1xdx =1j(n ,y)=1 2x dx=01(k,y)=13x dx =0.5 -1ai =1得方程組：+0.5a2 =00.5a =0.5解之得a。=c,ai =1,a2 = -2c （c為任意實(shí)數(shù)，且不為零）2即二次最佳平方逼近多項(xiàng)式P2（x） =c x -

29、 2cx2平方誤差:1計(jì)2 二 f - p2 2 二 f 2 -' ad,y)飛i =031410. 已知如下數(shù)據(jù)：用復(fù)合梯形公式， 復(fù)合Simpson公式計(jì)算2 dx的近似值（保勺1 +x用復(fù)合梯形公式：1 1131537T8f(0)2f()f()f()f()f()f(-)f()f(1)168482848=3.1394 分用復(fù)合Simpson公式：S4 =±f(0) 4f(1) f(|) f(8)f(£) 2f(4) f(1)f£) f(1)=3.142留小數(shù)點(diǎn)后三位）（8分）Xf(x)=4/(l+x"2)0. 0004. 0000.1253.

30、 9380. 2503. 7650. 3753. 5070. 5003. 2000. 6252. 8760. 7502. 5600. 8752. 2651.0002. 000王111. 計(jì)算積分I =sinxdx，若用復(fù)合Simpson公式要使誤差不超過？ 10"，問區(qū)間0,二 要分為多少等分？若改用復(fù)合梯形公式達(dá)到同樣精確度，區(qū)間0,工應(yīng)分為多少等2 2分？（ 10分）解： 由Simpson公式余項(xiàng)及f（x）=s in x,f（x）=s in x得Rn(f)蘭兀2 二 4()max180 4n 0 x ：_2(4)11 4 1 4 1_5xf()(x360(7) (n)込 10即

31、n4 _665, n _5.08，取 n=6即區(qū)間°-分為12等分可使誤差不超過對(duì)梯形公式同樣maxf''（x）蘭1，由余項(xiàng)公式得ji2 二Rn（f）蘭士（丁）蘭匚 “°12 2n 2即 n _254.2,取n =255JTd即區(qū)間0,分為510等分可使誤差不超過1 1012.用改進(jìn)Euler格式求解初值問題:h 為 0.1,計(jì)算 y( 1.1)y y y2sin0要求取步長(zhǎng) y（1）二 1的近似值（保留小數(shù)點(diǎn)后三位）提示：sin 1=0.84,sin1.1=0.89（ 6分）改進(jìn)Euler格式為:yn* = yn +hf (Xn , yn)h-2分y =

32、yn +? f(Xn, yn) + f(X.申，YnJ于是有yn 1 = yn -0.1(Yn Y； sinx.)“_(n=0,1,2 )2 分2 2yn = yn 0.05(yn +yn S in Xn +yn4i+yn 出 Sin XnG由y(1)= yo =1，計(jì)算得 =1 -0.1(1 +12s in 1) =0.816 y(1.1)y1 = 0.838即y(1.1)的近似值為0.83813.設(shè)f(x) Ca,b,X0 b),定義：仆曲珂吧仆皿證明：fX0,X0=fX0(4分)證明：f'x° = lim= lim fx,x° = fx0,x°X %

33、 X - X0JX°故可證出 fX0,X。 = f'x。14.證明：設(shè), | |為任意矩陣范數(shù)，則 P(A)勻|A|( 6 分)證明：設(shè)為A的按模最大特征值，x為相對(duì)應(yīng)的特征向量， 則有Ax= - x1分且'(A) H ,若是實(shí)數(shù)，則x也是實(shí)數(shù)，得-x = Ax1分而樹 1=1 和|x| |A|A HI,故勾 I|x|£a|Hx|2分由于|x|嚴(yán)0,兩邊除以|x得到H A1分故'(A門A當(dāng)'是復(fù)數(shù)時(shí)，一般來說 x也是復(fù)數(shù)，上述結(jié)論依舊成立數(shù)值分析試題21、（本題225分）試確定 作為門的近似值具有幾位有效數(shù)字，并確定其相對(duì)誤差限。7因?yàn)?2j

34、=3.142857 = 0.3142857107二=3.141592 所以22 =0.001264£0.005 =丄匯1071_211 32 1012（2 分）這里,m = 0, m - n 1 = -2, n = 322由有效數(shù)字的定義可知作為二的近似值具有3位有效數(shù)字。7（1 分）而相對(duì)誤差限： 0.0004138：0.0005 二1 102（2 分）廣2-1n14 ）123 11X2=53101z2-11'd1Y1解 設(shè)-123=A = LDL T =l 21 1 |d23b匕31 l321丿d3.（本題6分）用改進(jìn)平方根法解方程組:2、由矩陣乘法得:l21113113

35、213、d1 =2, d2 =11l 21, 131322227（3 分）由 Ly 二 b, LTx 二 D 4y 解得63 T 10 7y=（4,7'mx=（孑 9（3 分）（本題6分）給定線性方程組10% + x3 - 5x4 = -7% + 8x2 - 3x3 = 113% 2x2 - 8x3 x4 = 23-2x2 2x3 7x4 =171) 寫出Jacoib迭代格式和 Gauss-Seidel迭代格式；2) 考查Jacoib迭代格式和 Gauss-Seidel迭代格式的斂散性；解 1) Jacoib迭代格式為乂(5 =(7x3k) +5x4k)/lO嚴(yán)嚴(yán)=(11-屮 +3x3

36、k)/8x3k 1 = (23 一 3x1k) 一 2x2k) - x4k) (一8)x4k 1 =(17 _x1k) 2x2k)-2x3k) 7Gauss-Seidel迭代格式為(2 分)=(7x3k) +5x4k)/1O x2 宀=(11x嚴(yán))+3x3k)/8 x3“ =(233x嚴(yán)2x2 -x4k)/(8) x4k41) =(17-+2x2kH1) -2x3kH1)/72)由于所給線性方程組的系數(shù)矩陣勺001-5、18-30 A =3 2-81J -227(2 分)是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的，所以Jacoib迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式均是收斂的4、(本題6分)已知方程3 2x -

37、x -0.0在X。=1.5附近有一個(gè)根。將此方程改寫成如下2個(gè)等價(jià)形式:x = 3 0.8 x2 , x = x3 - 0.8構(gòu)造如下兩個(gè)迭代格式：1) xk 1 = ' 0.8 xk , k = 0,1,2,2) Xk 1 =一0.8, k =0,1,2,判斷這兩個(gè)迭代格式是否收斂；解 1 )記® (x)=旨0.8 +x2，則® '(x) = 2x 2 233(0.8 x2)232 1.53(0.8 1.52)231 12、2 32 3(0.8 +1.5 )3.05=0.4755 : 1所以該迭代格式是局部收斂的。(2 分)(1 分)2)記(x) = x3

38、 -0.8，則'(x)_3x2_2 i x3 - 0.8'(1.5)3 1.522 J.53 -0.8= 2.103 1(2分)所以該迭代格式是發(fā)散的325、(本題 6分)設(shè) f(x)=(x -a)(1)寫出解f(x) =0的牛頓迭代格式;(2)證明此迭代格式是線性收斂的。解 (1)因 f (x) =(x3 -a)2，故 f'(x) =6x2(x3 -a)，由牛頓迭代公式x“x衆(zhòng))，5得 5Xk(xj)26x： (x： 一 a)6= 5xk，k =0,1,6xk5 a(2)因迭代函數(shù) (x)二，6 6x '(x)=|-啟，6 3x(1分)(2分)(1分)故

39、9;(x*)5 _ a6 3(3 a )3(2分)此牛頓迭代格式是線性收斂的。6、(本題9分)給定數(shù)據(jù)X0235f(x)1-3-42(1) 寫出f (x)的3次Lagrange插值多項(xiàng)式L3(x)；(2) 寫出f (x)的3次Newton插值多項(xiàng)式N3(x)；(1 )由題意知 x0 = 0, x<| = 2,x2 = 3, x3 = 5L3(X)二 f(X0)(X X1)(X - X2)(X X3)(X。- X1)(X° -X2)(X° -X3)f(X1)(XX0)(XX2)(XX3)(X1 X0 )(X1 X2 )(X1 X3)f(X2)(X -Xo)(X - Xi

40、)(X - X3)(x2 x0)(x2 X1)(X2 X3)(X -Xo)(X -Xi)(X-X2)(X3 X0)( X3 X1)( X3 X2)(x-2)(x-3)(x-5)3) (x-0)(x-3)(x-5)(0 _ 2)(0 _ 3)(0 _ 5)- )(2 _ 0)(2 _ 3)(2 _ 5)(x-0)(x-2)(x-5)2 (x-0)(x-2)(x-3)(3 _ 0)(3 _ 2)(3 _ 5)(5 _ 0)(5 _ 2)(5 _ 3)11(x 2)(x 3)(x 5) -一 x(x 3)(x 5)30221：x(x-2)(x-5)兀 x(x-2)(x-3)315(2 分)012-3

41、-213-4-1341523_-一35(2 )用牛頓插值公式，構(gòu)造差商表(3 分)1 1則有 N3(x) =1 -2(x-0) (x-0)(x-2) (x-0)(x-2)(x-3)3 5(1 分)11=1 - 2x x(x -2) x(x -2)(x - 3)357、（本題6分）作一個(gè)5次多項(xiàng)式H（X）使得H (1) =3,H (2) - -1,H(4) =3H '(1) =2, H '(2) =1,H'(42解構(gòu)造有重節(jié)點(diǎn)的牛頓插商表131322-1-4-62-1151113254322261555432041236（4分）則有H（x）2=3 +2(x _1) _6(

42、x_1)2+ 11(x _1)(x2)2522 5522（x 一 1）2（X 一2）2 （x-1）2 （x- 2）2（x 一 4）（2 分）6368、（本題6分）已知數(shù)據(jù)如下，試用二次多項(xiàng)式來擬合：xi0123456Yi15141414141516解 設(shè)y -14二y, x -3 =x，則上表可化為x-3-2-10123Yi1000012這時(shí)，?。簅（x） =1, ：i（x）二x, （x）二x2，并設(shè)所求二次多項(xiàng)式為，；（x） =a； ：0（x） al （x） a； 2（x），容易得到3（%,%）=£ 12 =37，（備陷）=瓦E =0，i 3（蟄®2）=無 xS 28ii

43、=J3333（曾 1）=遲 xr =28，化浮 2）=遲 x：=0，伴2,篤）=瓦 x4=196i =3i=J3i=3333（咒,y）=:s Yi =4，件,y）=：s 和匚=5，（咒為=31（3 分）i 9得正規(guī)方程組如下：i=J37a0 +28a2 =428a1 = 5 28a0 +196a2 =31i* 1 *5*5-1丄5 丄5_2解得 a° = -二，c =二，a?=二即 y =+ x + x（2 分）728 28728281回代得y14=755+ （x_3） +（x_3）28282（1 分）13i9、（本題5分）給定求積節(jié)點(diǎn)X。=一，為二一，試推出計(jì)算積分|f（x）dx的

44、插值型求積公式44匸（1分）一Z（4x -3）233- 4-1 4-4 3-4-1 - 4-解1x - l1(x)二廠14 一41 10l°(x)dx = _1 10h(x)dx 二 2J (4x 一 1)21 10(4x-3)dx = 2 1210(4x 1)dx 右1)+ f(1 分)(1 分)故求積公式為f （x）dx 1fG）(1 分)10、（本題6分）分別用梯形公式和辛普森公式計(jì)算積分:、xdx n = 4解 （1）用梯形公式91n = 4，h24f(Xi)f(9) ： 17.2277402(3 分)11、（2）用辛普森公式S4 =加(1) 46i =0f(x 1) 2 f

45、(xj f(9) ： 17.332087i 27(3 分)1 L（本題8分）求高斯型求積公式卜xf（x）dx冏（X。）+ A“f （xj的系數(shù)A。，A及節(jié)點(diǎn)X。，洛.解 令 (x) =1,x0,1,構(gòu)造以(x)二、x為權(quán)的二次正交多項(xiàng)式：(X)=1)(X)2（X）= （X- ： 2）（X）-（0（X）(1 分)由:'11 12(X%,%)0X xdx 3(O1x12dx：1(x)再由2（X八）1 1 23 2°x12x(x-5)2dx5(1, ：1)0x12(x£2dx230.511111145(2 分)（；：1, ；1）1 1 23 20x rdx(0, ；0)x12dx120.06857175(1 分)2332得 2 (x)二(x )(x) - 0.06857 = xl 2 - 1.11111X 0.23809666455所以 2(x) =0 的根為 Xo =0.289951,Xi =0.821159l°(x)dx 二:.x X 一 X1 dx ：、0.277555X。一 X11 *A -. xl1 (x)dx 二X Xo dx :. 0.389112xi - xo12、(本題6分)設(shè)f (x)為k次多項(xiàng)式，X