切比雪夫多項(xiàng)式-詳細(xì)-Chebyshev_polynomials

1、 切比雪夫多項(xiàng)式是與棣美弗定理有關(guān)，以遞歸方式定義的一系列正交多項(xiàng)式序列。 通常，第一類切比雪夫多項(xiàng)式以符號Tn表示， 第二類切比雪夫多項(xiàng)式用Un表示。切比雪夫多項(xiàng)式 Tn 或 Un 代表 n 階多項(xiàng)式。 切比雪夫多項(xiàng)式在逼近理論中有重要的應(yīng)用。這是因?yàn)榈谝活惽斜妊┓蚨囗?xiàng)式的根（被稱為切比雪夫節(jié)點(diǎn)）可以用于多項(xiàng)式插值。相應(yīng)的插值多項(xiàng)式能最大限度地降低龍格現(xiàn)象，并且提供多項(xiàng)式在連續(xù)函數(shù)的最佳一致逼近。 在微分方程的研究中，數(shù)學(xué)家提出切比雪夫微分方程和 相應(yīng)地，第一類和第二類切比雪夫多項(xiàng)式分別為這兩個方程的解。 這些方程是斯圖姆-劉維爾微分方程的特殊情形.定義：第一類切比雪夫多項(xiàng)式由以下遞推關(guān)系確

2、定 也可以用母函數(shù)表示第二類切比雪夫多項(xiàng)式 由以下遞推關(guān)系給出 此時母函數(shù)為從三角函數(shù)定義：第一類切比雪夫多項(xiàng)式由以下三角恒等式確定其中 n = 0, 1, 2, 3, . . 是關(guān)于 的 n次多項(xiàng)式，這個事實(shí)可以這么看： 是:的實(shí)部（參見棣美弗公式），而從左邊二項(xiàng)展開式可以看出實(shí)部中出現(xiàn)含的項(xiàng)中，都是偶數(shù)次的，從而可以表示成 的冪 。用顯式來表示盡管能經(jīng)常碰到上面的表達(dá)式但如果借助于復(fù)函數(shù)cos(z), cosh(z)以及他們的反函數(shù)，則有類似，第二類切比雪夫多項(xiàng)式滿足以佩爾方程定義：切比雪夫多項(xiàng)式可被定義為佩爾方程在多項(xiàng)式環(huán)Rx 上的解(e.g., 見 Demeyer (2007), p.

3、70). 因此它們的表達(dá)式可通過解佩爾方程而得出:歸遞公式兩類切比雪夫多項(xiàng)式可由以下雙重遞歸關(guān)系式中直接得出:T0(x) = 1 U 1(x) = 1 Tn + 1(x) = xTn(x) (1 x2)Un 1(x) Un(x) = xUn 1(x) + Tn(x) 證明的方式是在下列三角關(guān)系式中用x 代替 xTn(x) (1 x2)Un(x) 正交性Tn 和Un 都是區(qū)間1,1 上的正交多項(xiàng)式系.第一類切比雪夫多項(xiàng)式帶權(quán)即:可先令x= cos() 利用 Tn (cos()=cos(n)便可證明.類似地，第二類切比雪夫多項(xiàng)式帶權(quán)即:其正交化后形成的隨機(jī)變量是 Wigner 半圓分布).基本性質(zhì)

4、對每個非負(fù)整數(shù)n， Tn(x) 和 Un(x) 都為 n次多項(xiàng)式。 并且當(dāng)n為偶（奇）數(shù)時，它們是關(guān)于x 的偶（奇）函數(shù)， 在寫成關(guān)于x的多項(xiàng)式時只有偶（奇）次項(xiàng)。時，Tn 的最高次項(xiàng)系數(shù)為 2n 1 ，n = 0時系數(shù)為1 。最小零偏差對，在所有最高次項(xiàng)系數(shù)為1的n次多項(xiàng)式中 ， 對零的偏差最小，即它是使得f(x)在 1,1 上絕對值的最大值最小的多項(xiàng)式。 其絕對值的最大值為 ， 分別在 - 1 、 1 及 f 的其他 n 1 個極值點(diǎn)上達(dá)到 。兩類切比雪夫多項(xiàng)式間的關(guān)系兩類切比雪夫多項(xiàng)式間還有如下關(guān)系：切比雪夫多項(xiàng)式是超球多項(xiàng)式或蓋根堡多項(xiàng)式的特例, 后者是雅可比多項(xiàng)式的特例.切比雪夫多項(xiàng)

5、式導(dǎo)數(shù)形式的遞推關(guān)系可以由下面的關(guān)系式推出：例子前六個第一類切比雪夫多項(xiàng)式的圖像，其中-1¼<x<1¼, -1¼<y<1¼ 按顏色依次是T0, T1, T2, T3, T4 T5.前幾個第一類切比雪夫多項(xiàng)式是前六個第一類切比雪夫多項(xiàng)式的圖像，其中-1¼<x<1¼, -1¼<y<1¼ 按顏色依次是U0, U1, U2, U3, U4 U5. 雖然圖像中無法顯示,我們實(shí)際有 Un(1)=n+1 以及 Un(-1)=(n+1)(-1)n.前幾個第二類切比雪夫多項(xiàng)式是 按切比雪夫多項(xiàng)式的展開式一個N 次多項(xiàng)式按切比雪夫多項(xiàng)式的展開式為如下：多項(xiàng)式按切比雪夫多項(xiàng)式的展開可以用 Clenshaw 遞推公式計(jì)算。切比雪夫根兩類的n次切比雪夫多項(xiàng)式在區(qū)間1,1上都有n