221 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算(1課時(shí)) 高一數(shù)學(xué)第二章初等函數(shù)教案必修一

1、2.2.1 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算（三課時(shí)）教學(xué)目標(biāo)：1理解并記憶對(duì)數(shù)的定義，對(duì)數(shù)與指數(shù)的互化，對(duì)數(shù)恒等式及對(duì)數(shù)的性質(zhì)2理解并掌握對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的內(nèi)容及推導(dǎo)過程3熟練運(yùn)用對(duì)數(shù)的性質(zhì)和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則解題4對(duì)數(shù)的初步應(yīng)用.教學(xué)重點(diǎn)：對(duì)數(shù)定義、對(duì)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)數(shù)定義中涉及較多的難以記憶的名稱，以及運(yùn)算法則的推導(dǎo)教學(xué)方法：學(xué)導(dǎo)式教學(xué)過程設(shè)計(jì)第一課時(shí)師：（板書）已知國(guó)民生產(chǎn)總值每年平均增長(zhǎng)率為7.2，求20年后國(guó)民生產(chǎn)總值是原來的多少倍？生：設(shè)原來國(guó)民生產(chǎn)總值為1，則20年后國(guó)民生產(chǎn)總值y=（1+7.2）20=1.07220，所以20年后國(guó)民生產(chǎn)總值是原來的1.07220倍師：這是個(gè)實(shí)際應(yīng)用問題，我

2、們把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中知道底數(shù)和指數(shù)，求冪值的問題也就是上面學(xué)習(xí)的指數(shù)問題師：（板書）已知國(guó)民生產(chǎn)總值每年平均增長(zhǎng)率為7.2，問經(jīng)過多年年后國(guó)民生產(chǎn)總值是原來的4倍？師：（分析）仿照上例，設(shè)原來國(guó)民生產(chǎn)總值為1，需經(jīng)x年后國(guó)民生產(chǎn)總值是原來的4倍列方程得:1.072x=4我們把這個(gè)應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為知道底數(shù)和冪值，求指數(shù)的問題，這是上述問題的逆問題，即本節(jié)的對(duì)數(shù)問題師：（板書）一般地，如果a（a0，a1）的x次冪等于N，就是，那么數(shù)x就叫做以a為底N的對(duì)數(shù)(logarithm)，記作x=logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，式子logaN叫做對(duì)數(shù)式對(duì)數(shù)這個(gè)定義的認(rèn)識(shí)及相關(guān)例子:(1)對(duì)數(shù)式lo

3、gaN實(shí)際上就是指數(shù)式中的指數(shù)x的一種新的記法(2)對(duì)數(shù)是一種新的運(yùn)算是知道底和冪值求指數(shù)的運(yùn)算實(shí)際上這個(gè)式子涉及到了三個(gè)量a，x，N，由方程的觀點(diǎn)可得“知二求一”知道a，x可求N，即前面學(xué)過的指數(shù)運(yùn)算；知道x（為自然數(shù)時(shí)）、N可求a，即初中學(xué)過的開根號(hào)運(yùn)算，記作；知道a,N可以求x，即今天要學(xué)習(xí)的對(duì)數(shù)運(yùn)算，記作logaN= x因此，對(duì)數(shù)是一種新的運(yùn)算，一種知道底和冪值求指數(shù)的運(yùn)算而每學(xué)一種新的運(yùn)算，首先要學(xué)習(xí)它的記法，對(duì)數(shù)運(yùn)算的記法為logaN，讀作：以a為底N的對(duì)數(shù)請(qǐng)同學(xué)注意這種運(yùn)算的寫法和讀法師：下面我來介紹兩個(gè)在對(duì)數(shù)發(fā)展過程中有著重要意義的對(duì)數(shù)師：（板書）對(duì)數(shù)logaN（a0且a1）在

4、底數(shù)a=10時(shí)，叫做常用對(duì)數(shù)(common logarithm)，簡(jiǎn)記lgN；底數(shù)a=e時(shí)，叫做自然對(duì)數(shù)(natural logarithm)，記作lnN，其中e是個(gè)無理數(shù)，即e2.718 28師：實(shí)際上指數(shù)與對(duì)數(shù)只是數(shù)量間的同一關(guān)系的兩種不同形式為了更深入認(rèn)識(shí)并記憶對(duì)數(shù)這個(gè)概念，請(qǐng)同學(xué)們填寫下列表格  式子名稱   axN   指數(shù)式對(duì)數(shù)式ax=NlogaN=x   練習(xí)1  把下列指數(shù)式寫成對(duì)數(shù)形式：練習(xí)2  把下列對(duì)數(shù)形式寫成指數(shù)形式：練習(xí)3  求下列各式的值：（兩名學(xué)生板演練習(xí)

5、1，2題（過程略），一生板演練習(xí)三）因?yàn)?2=4，所以以2為底4的對(duì)數(shù)等于2因?yàn)?3=125，所以以5為底125的對(duì)數(shù)等于3（注意糾正學(xué)生的錯(cuò)誤讀法和寫法）例題（教材第73頁(yè)例題2）師：由定義，我們還應(yīng)注意到對(duì)數(shù)式logaN=b中字母的取值范圍是什么？生：a0且a1；xR；NR師：NR？（這是學(xué)生最易出錯(cuò)的地方，應(yīng)一開始讓學(xué)生牢牢記住真數(shù)大于零）生：由于在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，因而ax=N中N總是正數(shù)師：要特別強(qiáng)調(diào)的是：零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)師：定義中為什么規(guī)定a0，a1？（根據(jù)本班情況決定是否設(shè)置此問）生：因?yàn)槿鬭0，則N取某些值時(shí)，x可能不存在，如x=log（-2）8不存在；若a=

6、0，則當(dāng)N不為0時(shí)，x不存在，如log02不存在；當(dāng)N為0時(shí)，x可以為任何正數(shù)，是不唯一的，即log00有無數(shù)個(gè)值；若a=1，N不為1時(shí)，x不存在，如log13不存在，N為1時(shí)，x可以為任何數(shù)，是不唯一的，即log11有無數(shù)多個(gè)值因此，我們規(guī)定：a0，a1（此回答能培養(yǎng)學(xué)生分類討論的數(shù)學(xué)思想這個(gè)問題從ax=N出發(fā)回答較為簡(jiǎn)單）練習(xí)4  計(jì)算下列對(duì)數(shù)：lg10000，lg0.01，師：請(qǐng)同學(xué)說出結(jié)果，并發(fā)現(xiàn)規(guī)律，大膽猜想生：=4這是因?yàn)閘og24=2，而22=4生：=27這是因?yàn)閘og327=3，而33=27生：=105生：我猜想，所以=1125師：非常好這就是我們下面要學(xué)習(xí)的對(duì)數(shù)恒等

7、式師：（板書）（a0，a1，N0）（用紅筆在字母取值范圍下畫上曲線）（再次鼓勵(lì)學(xué)生，并提出更高要求，給出嚴(yán)格證明）（學(xué)生討論，并口答）生：（板書）證明：設(shè)指數(shù)等式ab=N，則相應(yīng)的對(duì)數(shù)等式為logaN=b，所以ab=師：你是根據(jù)什么證明對(duì)數(shù)恒等式的？生：根據(jù)對(duì)數(shù)定義師：（分析小結(jié)）證明的關(guān)鍵是設(shè)指數(shù)等式ab=N因?yàn)橐C明這個(gè)對(duì)數(shù)恒等式，而現(xiàn)在我們有關(guān)對(duì)數(shù)的知識(shí)只有定義，所以顯然要利用定義加以證明而對(duì)數(shù)定義是建立在指數(shù)基礎(chǔ)之上的，所以必須先設(shè)出指數(shù)等式，從而轉(zhuǎn)化成對(duì)數(shù)等式，再進(jìn)行證明師：掌握了對(duì)數(shù)恒等式的推導(dǎo)之后，我們要特別注意此等式的適用條件生：a0，a1，N0師：接下來觀察式子結(jié)構(gòu)特點(diǎn)并加以

8、記憶（給學(xué)生一分鐘時(shí)間）師：（板書）2log28=？2log42=？生：2log28=8；2log42=2師：第2題對(duì)嗎？錯(cuò)在哪兒？師：（繼續(xù)追問）在運(yùn)用對(duì)數(shù)恒等式時(shí)應(yīng)注意什么？（經(jīng)歷上面的錯(cuò)誤，使學(xué)生更牢固地記住對(duì)數(shù)恒等式）生：當(dāng)冪的底數(shù)和對(duì)數(shù)的底數(shù)相同時(shí)，才可以用公式（師用紅筆在兩處a上重重地描寫）師：最后說說對(duì)數(shù)恒等式的作用是什么？生：化簡(jiǎn)！師：請(qǐng)打開書74頁(yè)，做練習(xí)4（生口答略）師：對(duì)對(duì)數(shù)的定義我們已經(jīng)有了一定認(rèn)識(shí)，現(xiàn)在，我們根據(jù)定義來進(jìn)一步研究對(duì)數(shù)的性質(zhì)師：負(fù)數(shù)和零有沒有對(duì)數(shù)？并說明理由生：負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)因?yàn)槎x中規(guī)定a0，所以不論x是什么數(shù)，都有ax0，這就是說，不論x是什么數(shù)，N=ax永遠(yuǎn)是正數(shù)因此，由等式x=logaN可以看到，負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)師：非常好由于對(duì)數(shù)定義是建立在指數(shù)定義的基礎(chǔ)之上，所以我們要充分利用指數(shù)的知識(shí)來研究對(duì)數(shù)師：（板書）性質(zhì)1：負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)師：1的對(duì)數(shù)是多少？生：因?yàn)閍0=1（a0，a1），所以根據(jù)對(duì)數(shù)定義可