金屬球和無限大導體平板系統(tǒng)的電容的高精度計算_第1頁
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1、金屬球和無限大導體平板系統(tǒng)的電容的高精度計算 2004級 楊秋指導教師 胡先權一.概要 采用鏡象法通過在金屬球的中心處配置電荷q,然后求出對應的無窮鏡像電荷系列,在其中引入疊加系數(shù)Cn,2c.這樣可以精確的確定鏡像電荷系列中任意電荷得位置和電量,從而精確的計算系統(tǒng)的電容.二.鏡像電荷系列的配置 首先我們先設定一個半徑為R的金屬球和一個無限大的接地的導體平板.球心和板的距離為D.在金屬球球心處放置一個電荷+q1.由于它的影響,金屬球和無限大導體平板的表面各點電勢要勢是相等的,所以以后放進去的鏡像電荷的大小和位置要符合這個要求. DDRROM2qq1L2q2-q1L3q3L3-q3L2-q2 規(guī)律

2、：加在金屬球的鏡像電荷是+qn-1的時候，該電荷打破導體板上各點電勢相等的條件，則在導體板右邊對稱點放進電量相等，電性相反的鏡像電荷-qn-1.而-qn-1又打破了金屬球表面電勢相等的條件，從而在金屬球內放進鏡像電荷+qn.這樣不斷重復下去. 先設定參數(shù) 根據(jù)鏡像法我們可以到: (1) (2) 從(1)和(2)公式可以計算出任意鏡像電荷的電量和位置。2RkD2112RqqkqD222RLkRD23121kqqk321kRLk112nnnRqqD L212nnRLDL三.分析 對于距離Ln可以算出它和R于k的關系,列出部分在表格A中. 可以看出分式Ln-1中的分母變成分式Ln中分子的一部分了，因

3、此可以定義數(shù)列來標記Ln和qn的分母，記為bn. L1L2L3L4L50kR21kRk22(1)1 2k kRk224(1 2 )1 3k kRkk表A 可以看出數(shù)列bn無論n是偶數(shù)還是奇數(shù)都只包含了k的偶次冪多項式,于是就定義數(shù)列中k的各冪次項前面為一個疊加系數(shù)Cn,2c. 根據(jù)數(shù)學工具計算出疊加系數(shù)的數(shù)值,帶進金屬球電量的表達式中得到: 而金屬球電勢僅僅取決于+q1,所以金屬球電勢:234561222424246782462468(111 21 31 431 56.)1 61041 71510kkkkkqqkkkkkkkkkkkkkkkkkkk14qUR 由公式C=q/U可以得到金屬球和無限大導體平板系統(tǒng)的電容的表達式: 可以看出電容的大小與金屬球半徑R有關，也與金屬球球心與無限大導體板的距離D或者參數(shù)k有關。只要給定R和距離D或者參數(shù)k就可以計算求得系統(tǒng)的電容至任意精度。234562224242467824624684(111 21 31 431 56.)1 61041 71510k

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