線性代數(shù)第三章課件

1、1第一節(jié)第一節(jié) 矩陣的特征值和特征向量矩陣的特征值和特征向量一、特征值和特征向量的概念一、特征值和特征向量的概念二、特征值和特征向量的性質(zhì)二、特征值和特征向量的性質(zhì)2一一、特征值和特征向量的概念、特征值和特征向量的概念則稱：則稱： 是矩陣是矩陣 A 的的特征值特征值；定義定義 1 設(shè)設(shè) A 是是 n 階矩陣，如果存在數(shù)階矩陣，如果存在數(shù) 和非零向量和非零向量 x,使得使得xAx x 是是 A 的對應(yīng)于的對應(yīng)于(或?qū)儆诨驅(qū)儆?特征值特征值 的的特征向量特征向量.3(3) 由于由于 亦可寫成齊次線性方程組亦可寫成齊次線性方程組 xAx OxEA )( 說明說明(1) 特征值問題是對方陣而言的；特征

2、值問題是對方陣而言的；因此，因此，使得使得 有非零解的有非零解的 值都是矩值都是矩陣陣 A 的特征值的特征值.OxEA )( 即，即，使得使得 的的 值都是矩陣值都是矩陣 A 的特征值的特征值.0 EA (2) 特征向量特征向量 x O；4定義定義 2 設(shè)設(shè) n 階矩陣階矩陣 ，記，記)(ijaA )(Af 212222111211nnnnnnaaaaaaaaa E 則，則， 稱為稱為 A 的的特征多項式特征多項式；稱為稱為 A 的的特征矩陣特征矩陣.稱為稱為 A 的的特征方程特征方程； AE EA 0 EA 5(1) 求特征值求特征值 ，就是求特征方程，就是求特征方程 的根；的根；0 EA

3、(2) 有有 n 個根個根 (其中有些根可能相同其中有些根可能相同)，0 EA 其中的其中的 k 重根也稱為重根也稱為 k 重特征值重特征值.(4) 特征方程可能有復(fù)數(shù)根，相應(yīng)的，特征向量也特征方程可能有復(fù)數(shù)根，相應(yīng)的，特征向量也可能是復(fù)向量可能是復(fù)向量.說明說明（3）A 的屬于特征值的屬于特征值 0 的全體特征向量是：的全體特征向量是： 的解集中除零向量外的全體解向的解集中除零向量外的全體解向量量.OxEA )(0 6定理定理3.13.1是是A A的屬于的屬于 特征值的特征向量的特征值的特征向量的充分必要條件充分必要條件是是為為 特征方程的根，特征方程的根，設(shè)設(shè) 為為 階矩陣階矩陣, ,ij

4、aAn0000)det(EA0)(0XEA則則 是是A A的特征值，的特征值，是齊次線性方程組是齊次線性方程組的非零解（向量）。的非零解（向量）。注：注： 如果如果 是是A A的特征值，常稱之為的特征值，常稱之為A A的特征根的特征根；07由定理由定理3.13.1，有，有0)0(c0c推論推論1 1 如果如果 是是A A的屬于特征值的屬于特征值 的特征向量，的特征向量，則對任意常數(shù)則對任意常數(shù) ，也是也是A A的屬于特征值的屬于特征值 的的特征向量。特征向量。且且 ，則，則21,0021210推論推論2 2如果如果都是都是A A的屬于特征值的屬于特征值 的特征向量，的特征向量，也是也是A A的

5、屬于特征值的屬于特征值 的特征的特征向量。向量。 為數(shù)值。為數(shù)值。k,210)0(2211kkccc0kccc,21推論推論3 3 如果如果都是都是A A的屬于特征值的屬于特征值 的特征的特征向量，向量， 則則也是也是A A的屬于特征值的屬于特征值的特征向量，的特征向量， 其中其中8求矩陣全部特征值、特征向量的步驟求矩陣全部特征值、特征向量的步驟 )det(EA第一步第一步 對給定下的矩陣對給定下的矩陣 ，計算特征多項式計算特征多項式 ; ;A0)det( EAn,21第二步第二步求出特征方程求出特征方程 中的全部根中的全部根( (即即A A的全部特征值，其中可能有重根的全部特征值，其中可能有

6、重根或成對出現(xiàn)、重數(shù)相同的復(fù)數(shù)根或成對出現(xiàn)、重數(shù)相同的復(fù)數(shù)根););( (它就是它就是 的屬于特征值的屬于特征值i0)(XEAiAiisii,21Ai第三步第三步 對每一個特征值對每一個特征值 , , 求出齊次線性方程組求出齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系的一個基礎(chǔ)解系的極大無關(guān)的特征向量組的極大無關(guān)的特征向量組) ), ,由此可求出由此可求出 的屬于的屬于)0(2211issiiccckccc,21的全部特征向量的全部特征向量 ，其中其中為數(shù)值為數(shù)值. .9例例 1 1 求矩陣求矩陣 201034011A的特征值和特征向量的特征值和特征向量.解解 A 的特征多項式為的特征多項式為2)(1(2 2

7、01034011 EA令令 ，得，得 A 的的 3 個特征值個特征值：(單重特征值單重特征值)21 (二重特征值二重特征值)132 0 EA 10將特征值分別代入將特征值分別代入 ，求出特征向量：，求出特征向量：OxEA )( 當(dāng)當(dāng) 時，解方程組時，解方程組 .OxEA )2(21 0010140132EA 000010001 r得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系.1001 則，對應(yīng)于則，對應(yīng)于 的全部特征向量為的全部特征向量為 .)0( 111 kk 21 11 當(dāng)當(dāng) 時，解方程組時，解方程組 .OxEA )(132 101024012EA 000210101 r得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系.1212 于是，對應(yīng)

8、于于是，對應(yīng)于 的全部特征向量為的全部特征向量為132 )0( 222 kk 12二二、特征值和特征向量的性質(zhì)、特征值和特征向量的性質(zhì)13如果如果 A 是是 n 階對角陣或上階對角陣或上(下下)三角陣，三角陣，那么，那么，A 的特征值就是其的特征值就是其 n 個主對角元個主對角元.證證 設(shè)對角矩陣設(shè)對角矩陣 A 的主對角元為的主對角元為 ，nnaaa , , ,2211)()(2211 nnaaa上式亦為上上式亦為上(下下)三角陣的特征多項式，故有同樣結(jié)論三角陣的特征多項式，故有同樣結(jié)論. 2211 nnaaaEA則，特征多項式為則，特征多項式為令令 ，可得對角陣的特征值就是其主對角元，可得對

9、角陣的特征值就是其主對角元.0 EA 14定理定理3. 2 A 和和 AT 的特征值相同的特征值相同 (即特征多項式相同即特征多項式相同).說明說明 A 和和 AT 的特征向量不一定相同的特征向量不一定相同.例如，例如， 皆有二重特征值皆有二重特征值 ， 1101 ,1011121 10 ,01kk但它們相應(yīng)的特征向量分別為但它們相應(yīng)的特征向量分別為)0( k證證TEA)( 因此，因此， A 和和 AT 有完全相同的特征多項式有完全相同的特征多項式. 證畢證畢EAEAT EAEATT )(TTEA)( EAT 15是它的任一特征值都不等于零。是它的任一特征值都不等于零。nA定理定理3.33.3

10、階方陣階方陣可逆的充分必要條件可逆的充分必要條件則則 ，假定假定 不可逆，不可逆，于是于是n0detA證明：證明： 必要性必要性： 設(shè)設(shè)A階方陣階方陣可逆，可逆， 則則 ，0)det()det()0det(AAEA的任一特征值都不為零。的任一特征值都不為零。AA即即0 0不是不是 的特征值，的特征值，亦即亦即于是于是AA0detA充分性充分性：設(shè)設(shè)的任一特征值都不為零，的任一特征值都不為零，0)det()det()0det(AAEAAA這表明這表明0 0是是 的特征值，的特征值， 與已知條件矛盾。與已知條件矛盾。故故 必然可逆。必然可逆。16例例 3 3 求矩陣求矩陣 314020112 A的

11、特征值和特征向量的特征值和特征向量.解解 A 的特征多項式為的特征多項式為2)(2(1 314020112 EA(單重根單重根)11 (二重根二重根)232 令令 ，得，得 A 的的 3 個特征值個特征值：0 EA 17將特征值分別代入將特征值分別代入 ，求出特征向量：，求出特征向量：OxEA )( 當(dāng)當(dāng) 時，解方程組時，解方程組 .OxEA )(11 414030111EA 000010101 r得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系.1011 則，對應(yīng)于則，對應(yīng)于 的全部特征向量為的全部特征向量為 .)0( 111 kk 11 18 當(dāng)當(dāng) 時，解方程組時，解方程組 .OxEA )2(232 11400011

12、42EA 000000114 r得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系.401 ,11032 則，對應(yīng)于則，對應(yīng)于 的全部特征向量為的全部特征向量為)0 ,( 323322不同時為不同時為kkkk 232 19性質(zhì)性質(zhì) 1 設(shè)設(shè) 0 是矩陣是矩陣 A 的特征值，的特征值， 是是 A 的屬于的屬于 0 的的特征向量，則特征向量，則 k 0 是是 kA 的特征值的特征值 (k 是任意常數(shù)是任意常數(shù))； 是是 的特征值的特征值 (m 是正整數(shù)是正整數(shù))；m0 mA 設(shè)一個設(shè)一個 k 次多項式次多項式 ，011)(axaxaxkkkk 則，則， 是矩陣是矩陣 A 的的 k 次多項式次多項式 的特征值；的特征值；)(0

13、)(A 若若 A 可逆，則可逆，則 是是 的特征值；的特征值；10 1 A并且，并且， 仍然是以上仍然是以上中中這些矩陣的分別屬于這些矩陣的分別屬于特征值特征值 的特征向量的特征向量. 10000 ),( , , fkm20特征向量總是相對于特征值而言的，特征向量總是相對于特征值而言的，一個特征向量一個特征向量不能同時屬于不同的特征值不能同時屬于不同的特征值. 說明說明兩式相減兩式相減O )(21由于由于 ，則有，則有 .021 O 這是不可能的這是不可能的 (與與“特征向量是非零向量特征向量是非零向量”矛盾矛盾) 21AA即即假設(shè)假設(shè) 同時是屬于特征值同時是屬于特征值 1, 2 ( 1 2)

14、 的特征向量的特征向量,21線性無關(guān)。線性無關(guān)。Anm,21A)( nm m,21Am,21m,21定理定理3.43.4設(shè)設(shè)是是階方陣階方陣, ,是是 的個彼此不同的特征值，的個彼此不同的特征值，分別是分別是 的的屬于屬于 的特征向量，的特征向量，則則個彼此不同的特征值，個彼此不同的特征值，屬于屬于 的線性無關(guān)的特征向量組，的線性無關(guān)的特征向量組，Anm,21A)( nm iisii,21Ai), 2 , 1(mi111211,s,222221s定理定理3.53.5設(shè)設(shè)是是 階方陣階方陣, ,是是的的是是的的則則mmsmm,21是線性無關(guān)向量組。是線性無關(guān)向量組。22定理定理 矩陣矩陣 A 的

15、屬于的屬于 k 重特征值的線性無關(guān)的特征向重特征值的線性無關(guān)的特征向量的最大個數(shù)不超過量的最大個數(shù)不超過 k .即，如果即，如果 是矩陣是矩陣 A 的一個的一個 k 重特征值，屬于重特征值，屬于 的的線性無關(guān)的特征向量的最大個數(shù)為線性無關(guān)的特征向量的最大個數(shù)為 l，則，則 l k .0 0 23n 階矩陣階矩陣 A 的主對角元之和，稱為的主對角元之和，稱為 A 的跡的跡記作記作 tr(A).定理定理 3.6 設(shè)設(shè) n 階矩陣階矩陣 的的 n 個特征值為個特征值為 ,)(ijaA 則，則，n ,21)(tr221121Aaaannn An 21說明說明故,21nA若若 ，則，則 A 至少有一個特

16、征值等于零至少有一個特征值等于零.0 A若若 ，則，則 A 的特征值全為非零數(shù)；的特征值全為非零數(shù)；0 A24例例 2 2 已知已知 11 yxA的的 2 個特征值為個特征值為 ，解解4 , 221 求求 (1) x, y；(2) ；(3) 的秩的秩.EA2 EA3 (1) 816)tr(2121 xyAyxA 33yx(2) 2 是一個特征值，故是一個特征值，故02 EA(3) 3 不是特征值，即不是特征值，即 ，03 EA2)3( EAR故是故是 滿秩矩陣，滿秩矩陣， .EA3 25小結(jié)小結(jié)1. 求求 n 階矩陣階矩陣 A 的特征值和特征向量的步驟的特征值和特征向量的步驟：(1) 求求矩陣

17、矩陣A 的特征多項式的特征多項式 ；EA (2) 求特征方程求特征方程 的的 n 個根，個根，0 EA 就是就是 A 的全部特征值的全部特征值；n , , ,21(3) 對特征值對特征值 ，解非齊次線性方程組，解非齊次線性方程組它的所有非零解都是對應(yīng)于它的所有非零解都是對應(yīng)于 的特征向量的特征向量. OxEAi )( i i 2. 特征值和特征向量的特征值和特征向量的 性質(zhì)和性質(zhì)和5 個定理個定理.263.2 3.2 相似矩陣與矩陣對角化的條件相似矩陣與矩陣對角化的條件 一、相似矩陣及其性質(zhì)一、相似矩陣及其性質(zhì)二、矩陣可對角化的條件二、矩陣可對角化的條件 27例例1 1 0011B 0001A

18、可逆1011P 一、一、相似矩陣及其性質(zhì)相似矩陣及其性質(zhì)1*1PPP1121122211AAAA1011AB 1011 0001 1011B1101110011001PAP如果存在如果存在n n階可逆矩陣階可逆矩陣P,P, 定義定義3.3 3.3 設(shè)設(shè)A,BA,B是是n n 階矩陣階矩陣, ,成立成立, ,則稱矩陣則稱矩陣A A與與B B相似相似, ,使得使得 AB1PAPB記為記為28則則 。4291,2543BABA設(shè)設(shè) ，例例2 2使得使得2543A2111P對對 解：解：存在存在可逆矩陣，可逆矩陣，21112543111221112543211111APPB42912111681011

19、所以所以 。BA29有有: :1514Q對于可逆矩陣對于可逆矩陣 ，CAQQ700215142543151411于是于是 。CA說明：說明：與矩陣A相似的矩陣不是唯一的，也不全是 對角矩陣。302. 相似矩陣的性質(zhì)相似矩陣的性質(zhì) A 和和 B 等價的充要條件：等價的充要條件：存在可逆矩陣存在可逆矩陣 P, Q，使得，使得BPAQ 存在可逆矩陣存在可逆矩陣 P，使得，使得 A 和和 B 相似的充要條件：相似的充要條件：BAPP 1可見，相似關(guān)系也是一種等價關(guān)系，故有如下性質(zhì)：可見，相似關(guān)系也是一種等價關(guān)系，故有如下性質(zhì)： 反身性：反身性：A A； 對稱性：若對稱性：若 A B，則，則 B A；

20、傳遞性：若傳遞性：若 A B，B C，則，則AC性質(zhì)性質(zhì) 131具有相同的特征值。具有相同的特征值。BABA,定理定理3.73.7設(shè)設(shè) ，則矩陣則矩陣具有相同的特征多項式，具有相同的特征多項式，證明：證明： BABAPP1)(det()det()det(11PAEPAPPEBE)det(det)det()det(1AEPAEP這表明矩陣這表明矩陣 具有相同的特征多項式，具有相同的特征多項式，BA,從而具有相同的特征值。從而具有相同的特征值。說明：說明：相似矩陣的特征向量不一定相同。相似矩陣的特征向量不一定相同。例如，例如， 互為相似矩陣，互為相似矩陣， 2001 ,1002令令P=P(1,2)

21、即可證明它們相似即可證明它們相似它們的特征值皆為它們的特征值皆為 ，但屬于，但屬于 的特的特征向量則分別為：征向量則分別為：2 , 121 01 ,10kk)0( k11 32其中其中 為正整數(shù)。為正整數(shù)。BAmmBA定理定理3.83.8設(shè)設(shè) ，則則 , ,m有有BA,1BAPPm)()()(1111APPAPPAPPAPPBmm證明：證明：對任意為正整數(shù)對任意為正整數(shù) ，PAPPAPPAPPAPPPm11111)(所以所以mmBA33除上述性質(zhì)外，相似矩陣還具有以下性質(zhì)：除上述性質(zhì)外，相似矩陣還具有以下性質(zhì)：若若 , ,則則 . .BABA （1 1）BA)()(BrAr（2 2）若若 ,

22、,則則 ，即相似的矩陣即相似的矩陣有相同的秩有相同的秩. . 有有 。BABA,11BA（3 3）若若 , ,則則具有相同的可逆性，具有相同的可逆性， 可逆時可逆時34二、矩陣可對角化的條件二、矩陣可對角化的條件 定義定義就稱就稱 可以對角化可以對角化. .為為 階矩陣階矩陣, , 若若 可以相似于一個對角陣可以相似于一個對角陣 , ,AnAA設(shè)設(shè)對角陣對角陣稱為稱為 的的相似標(biāo)準(zhǔn)形相似標(biāo)準(zhǔn)形A矩陣。矩陣。例如例如 例例2 2中的矩陣有相似標(biāo)準(zhǔn)形的。中的矩陣有相似標(biāo)準(zhǔn)形的。注：并非所有矩陣都有相似標(biāo)準(zhǔn)形存在。注：并非所有矩陣都有相似標(biāo)準(zhǔn)形存在。35條件是條件是個線性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特

23、征向量. .nAnAn定理定理3.93.9階矩陣階矩陣相似于相似于階對角陣階對角陣的充分必要的充分必要有有證明：證明：可以對角化可以對角化. .nAnAAA推論推論階矩陣階矩陣如果有如果有 個不同的特征值個不同的特征值, ,則則 可以對角化可以對角化. . 即如果即如果 的特征多項式無重根的特征多項式無重根, ,則則36i定理定理3.103.10 n n階矩陣階矩陣A A與對角矩陣相似的充分必要條與對角矩陣相似的充分必要條件是對于件是對于A A的每一個的每一個n ni i重特征值重特征值 ，特征矩陣，特征矩陣 的秩為的秩為n-nn-ni i。)(AEi37矩陣可對角化的矩陣可對角化的范例范例

24、例例2 2 對矩陣對矩陣 ，324202423A83， T)2, 1, 2(3屬于屬于8 8的特征向量為的特征向量為121特征值特征值（二重），（二重），屬于屬于 的線性無關(guān)特征向量為，的線性無關(guān)特征向量為， 1TT) 1, 0, 1(,)0, 2, 1(2138根據(jù)定理根據(jù)定理3.103.10知知 該矩陣可以對角化。該矩陣可以對角化。 ，210102211),(321P取取。8111APP則則根據(jù)定理根據(jù)定理3.103.10知該矩陣不可對角化。知該矩陣不可對角化。100320111A12123T)0, 0, 1 (1T)0, 1, 1 (3例例3 3 對矩陣對矩陣特征值特征值（二重）（二重）

25、屬于屬于1 1的的線性無關(guān)特征向量線性無關(guān)特征向量為為屬于屬于2 2的特征向量為的特征向量為39應(yīng)滿足的條件。應(yīng)滿足的條件。0011100yxAyx,例例4 4 設(shè)矩陣設(shè)矩陣可相似于一個對角矩陣，可相似于一個對角矩陣，試討論試討論) 1() 1(01110)det(2yxAE解：解： 矩陣矩陣A A的特征多項式為的特征多項式為11132特征值為特征值為 ，（二重），（二重），系數(shù)矩陣的秩為系數(shù)矩陣的秩為1 1。 A0)(XAE由由 可相似于一個對角矩陣知可相似于一個對角矩陣知屬于屬于1 1的線性無關(guān)特征向量的線性無關(guān)特征向量應(yīng)有兩個。應(yīng)有兩個。于是，于是， 對應(yīng)齊次線性方程組對應(yīng)齊次線性方程組

26、40由由000001011010101xyyxAE0 yx知必有知必有 ，應(yīng)滿足的條件。應(yīng)滿足的條件。Ayx,這是所給矩陣這是所給矩陣 可相似于一個對角矩陣可相似于一個對角矩陣41解解例例 5 5 設(shè)矩陣設(shè)矩陣 163053064 A(1) A 是否能對角化？若能，則求出可逆矩陣是否能對角化？若能，則求出可逆矩陣 P，使，使得得 成為對角陣成為對角陣 ；(2) 求求 (m為正整數(shù)為正整數(shù)).APP1 mA 212 所以，所以，A 的全部特征值是的全部特征值是. 2 , 1321 163053064EA(1)42將特征值分別代入將特征值分別代入 ，求出特征向量：，求出特征向量：OxEA )( 當(dāng)

27、當(dāng) 時，解方程組時，解方程組 .OxEA )(121 063063063 EA 000000021 r得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系.100 ,01221 (二重特征值有兩個線性無關(guān)的特征向量二重特征值有兩個線性無關(guān)的特征向量)43 當(dāng)當(dāng) 時，解方程組時，解方程組 .OxEA )2(23 3630330662 EA 000110101 r得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系.1113 (單重特征值有一個線性無關(guān)的特征向量單重特征值有一個線性無關(guān)的特征向量)44 , 110101102,321 P令令, 211),(321 diag由于：每個特征值的重數(shù)由于：每個特征值的重數(shù) = = 屬于該特征值的線性無屬于該特征值的線

28、性無關(guān)的特征向量的最大個數(shù)關(guān)的特征向量的最大個數(shù)(也可以說，也可以說，3 階矩陣有階矩陣有 3 個線性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量)故，矩陣可對角化故，矩陣可對角化 .則有則有. 1APP 注意，注意，P 中的列向量和中的列向量和 中的特征值的位置要對應(yīng)中的特征值的位置要對應(yīng).45(2) 求求 (m為正整數(shù)為正整數(shù))mA1 PPAmm, 110101102 P, 0211210111 P, ) 2(11mm其中其中得，得， 1)2(210)2(110)2(22111mmmmA463.3 3.3 實對稱矩陣特征值和特征向量實對稱矩陣特征值和特征向量一、一、 實對稱矩陣特征值的性質(zhì)實對稱矩陣

29、特征值的性質(zhì)二、二、 實對稱矩陣對角化方法實對稱矩陣對角化方法47實數(shù)域上的對稱矩陣簡稱為實數(shù)域上的對稱矩陣簡稱為實對稱矩陣實對稱矩陣。定理定理 3.12 實對稱矩陣的特征值都是實數(shù)。實對稱矩陣的特征值都是實數(shù)。一、一、 實對稱矩陣特征值的性質(zhì)實對稱矩陣特征值的性質(zhì)說明：進(jìn)一步地，實對稱矩陣的特征向量都是實向量。說明：進(jìn)一步地，實對稱矩陣的特征向量都是實向量。（證明略）48定理定理3.13 實對稱矩陣實對稱矩陣A的屬于不同特征值的特征向量的屬于不同特征值的特征向量相互正交。相互正交。對上面第一式兩邊左乘對上面第一式兩邊左乘 ，的特征向量。的特征向量。 12A1212證明：證明：設(shè)設(shè) ，是實對稱

30、矩陣是實對稱矩陣 的不同特征值，的不同特征值，分別是屬于特征值分別是屬于特征值 ，) 0(1111A) 0(2222AT2于是于是，得到得到 （3.12）12112TTA而而122122121212)()()(TTTTTTAAA于是有于是有121T0)(1221122TT這樣，由這樣，由 得到得到 21012T21是正交的。是正交的。，即，即與與49324202423A例例1 1 實對稱矩陣矩陣實對稱矩陣矩陣 和和 對應(yīng)特征對應(yīng)特征向量向量121），1 , 0 , 1 - ( , ) 0 , 21 - (T83的特征值的特征值 （二重）對應(yīng)的特征向量（二重）對應(yīng)的特征向量正交。正交。T) 2

31、, 1, 2 (50定理定理3.14設(shè)設(shè)A A為為n n階實對稱矩陣，則存在階實對稱矩陣，則存在n n階正交陣階正交陣Q Q，使，使為對角陣為對角陣. .AQQAQQT1（證明略）推論推論 實對稱矩陣實對稱矩陣k重特征值恰有重特征值恰有k個線性無關(guān)個線性無關(guān)的特征向量。的特征向量。51二、二、 實對稱矩陣對角化方法實對稱矩陣對角化方法具體步驟如下具體步驟如下:根據(jù)定理根據(jù)定理3.14，任意一個實對稱矩陣都可以對角化。任意一個實對稱矩陣都可以對角化。其中其中 為為 重的，重的，求出求出 A 的所有特征值的所有特征值 ,0)det( AEAm,21iinnnnnm21第一步第一步對給定實對稱矩陣對

32、給定實對稱矩陣 ， 解特征方程，解特征方程，；對每個對每個 ,i0)(XAEiiinii,21), 2 , 1(mi第二步第二步解齊次線性方程組解齊次線性方程組求出它的一個基礎(chǔ)解系求出它的一個基礎(chǔ)解系 ；正交化得到正交向量組正交化得到正交向量組 ， iinii,21iinii,21第三步第三步 利用施密特正交化方法將利用施密特正交化方法將52iinii,21iinii,21), 2 , 1(mi再把再把 單位化，單位化， 得到一個得到一個標(biāo)準(zhǔn)正交組標(biāo)準(zhǔn)正交組 ， ；為正交矩陣，且則矩陣令QQmmnmnn),.,.,.,( 122111121第四步第四步),(2122111 mnmmnnTdiagAQQAQQ應(yīng)與應(yīng)與Q Q的列向量組（的列向量組（特征向量特征向量）的排列順序）的排列順序相對應(yīng)相對應(yīng)。 注意注意： 對角矩陣主對角線元素（對角矩陣主對角線元素（特征值特征值）的排列順序）的排列順序53142412222AQAQQ1例例2 對矩陣對矩陣求一正交陣求一正交陣 ,使使成對角矩陣。成對