三角函數(shù)圖像及其變換

1、高一數(shù)學第十四講 三角函數(shù)圖像及其變換一、知識要點: 2, 23, 2,0=+x 列表求出對應(yīng)的 x 的值與 y 的值,用平滑曲線連結(jié)各點,即可得到其在一個周期內(nèi) 的圖象。3. 研究函數(shù) R x x A y +=, sin(其中 0, 0>>A 的單調(diào)性、 對稱軸、對稱中心仍然是將 +x 看著整 體并與基本正弦函數(shù)加以對照而得出。它的最小正周期 |2=T 4.圖象變換(1振幅變換 Rx x y =, s i n <<>倍到 原 來 的 或 縮 短 所 有 點 的 縱 坐 標 伸 長 A 1 A (01 (AR x x y =, s i n A(2周期變換 R x

2、x y =, s i n <<>倍到 原 來 或 伸 長 所 有 點 的 橫 坐 標 縮 短 11 (01 (R x x y =, s i n (3相位變換 R x x y =, s i n <>個 單 位 長 度 平 移 或 向 右 所 有 點 向 左 |0 (0 (R x x y +=, (s i n (4復合變換 Rx x y =, s i n <>個 單 位 長 度 平 移 或 向 右 所 有 點 向 左 |0 (0 (R x x y +=, (s i n <<>倍到原來的或伸長 所有點的橫坐標縮短 11 (01 (R x x

3、 y +=, sin( <<>倍 到 原 來 的 或 縮 短 所 有 點 的 縱 坐 標 伸 長 A 1 A (01 (AR x x A y +=, sin(5.主要題型:求三角函數(shù)的定義域、值域、周期,判斷奇偶性,求單調(diào)區(qū)間,利用單調(diào)性比較大小,圖象的平移和伸縮,圖象的對稱軸和對稱中心,利用圖象解題,根據(jù)圖象求解析式,已知三角函數(shù)值求角。 二 . 基礎(chǔ)練習1. 函數(shù) 12sin( 23y x =+的最小正周期 T2.函數(shù) sin2xy =的最小正周期是 若函數(shù) tan(2 3y ax =-的最小正周期是 2, 則 a=_. 3.函數(shù) , 0(262-=x x y 為增函數(shù)的

4、區(qū)間是4.函數(shù) 22cos( 363y x x =- 的最小值是 5.將函數(shù) cos y x =的圖像作怎樣的變換可以得到函數(shù) 2cos(2 4y x =-的圖像?6.已知簡諧運動 ( 2sin 32f x x =+<ç的圖象經(jīng)過點 (01 , ,則該簡諧運動的最小正周期 T 和 初相 分別為7. 已知 a=tan1,b=tan2,c=tan3,則 a,b,c 的大小關(guān)系為 _.8.給出下列命題: 存在實數(shù) x ,使 sin cos 1x x =成立; 函數(shù) 5sin 22y x =- 是偶函數(shù); 直線 8x =是函數(shù) 5sin 24y x =+ 的圖象的一條對稱軸;若 和 都

5、是第一象限角,且 >,則 tan tan >. R x x x f +=, 32sin(3 (的圖象關(guān)于點 0, 6(-對稱;其中結(jié)論是正確的序號是 . 三、例題分析:題型 1:三角函數(shù)圖像變換例 1、 變?yōu)榱说玫胶瘮?shù) 62sin(-=x y 的圖象,可以將函數(shù) 1cos 2y x =的圖象怎樣變換?式 1:將函數(shù) sin y x =的圖象上各點的橫坐標擴大為原來的 2倍,縱坐標不變,再把所得圖象上所有點向左平移 3個單位,所得圖象的解析式是 .題型 2:三角函數(shù)圖像性質(zhì)例 2、已知函數(shù) y=log214x - 求它的定義域和值域; 求它的單調(diào)區(qū)間;判斷它的奇偶性; ; 判斷它的周

6、期性 .變式 1:求函數(shù) 34sin(2 23y x =+的最大、最小值以及達到最大 (小 值時 x 的值的集合.;變式 2:函數(shù) y =2sin x 的單調(diào)增區(qū)間是題型 3:圖像性質(zhì)的簡單應(yīng)用例 3、已知函數(shù) (sin 0, 0,|2f x A x A =+>><的圖象與 y 軸交于點 30, 2 ,它在 y 軸右側(cè)的第一個最大值點和最小值點分別為 (0,3x , (02, 3x +-,(1求函數(shù) (y f x =的解析式;(2用 “ 五點法 ” 作出此函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象,并說明它是由函數(shù) sin y x =的圖象依次經(jīng)過哪些變換 而得到的。變式 1:如圖,某地一天從

7、6時至 14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù) y =A sin (x+b . (求這段時間的最大溫差; (寫出這段曲線的函數(shù)解析式. 變式 2:已知函數(shù) >+=0, 0, sin( (x x f 是 R 上的偶函數(shù),其圖象關(guān)于點 0, 43( M 對稱,求 和 的值。題型 4:三角函數(shù)綜合應(yīng)用 例 4、求下列函數(shù)的定義域(1x x y sin 21tan -+-= (2 x y = (3 1cos 2 1lg(tan-+=x x y .例 5、求下列函數(shù)的值域(1R x x y -= , 2cos 23 (2R x x x y -+= , 2sin 2cos 2 (3xxy cos 2cos

8、 2-+=例 6 若 (2122cos sin f x a a x x =-的最小值為 (g a ,(1求 (g a 的表達式;(2求使 (1g a =的 a 的值,并求當 a 取此值時 (f x 的最大值。能力檢測題1. (2007年福建 .已知函數(shù) ( sin (0 f x x =+> 3的最小正周期為 ,則該函數(shù)的圖象( A .關(guān)于點 0 3, 對稱 B .關(guān)于直線 x =4對稱 C .關(guān)于點 0 4, 對稱 D .關(guān)于直線 x =3對稱 2. (2007年江蘇卷 1 .下列函數(shù)中,周期為2的是( A . sin2x y = B . sin 2y x = C . cos 4xy =

9、 D . cos 4y x = 3. (07年山東卷文 4 .要得到函數(shù) sin y x =的圖象,只需將函數(shù) cos y x =- 3的圖象( A .向右平移6個單位 B .向右平移 3個單位 C .向左平移 3個單位 D .向左平移6個單位 4.如果 mm x 44cos +=有意義,則 m 的取值范圍是 5. (2007年江西卷文 2 .函數(shù) 5tan(21 y x =+的最小正周期為 6.要得到 sin2x y =的圖象,只需將函數(shù) cos 24x y =- 的圖象 7.對于函數(shù) 0, (A, sin(的常數(shù) 均為不等于 , +=x A y ,有下列說法: 最大值為 A ; 最小正周期為 |2|; 在 , 0至少有一個 x ,使得 0=y ;由 ( 2222Z k k x k +-解得 x 的區(qū)間范圍即為原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間。其中正確的說法是8.函數(shù) 42tan(-=x y 的單調(diào)增區(qū)間為 .9.已知 0, 2-x , 且 , 01cos sin 22=-x x 求角 x 的集合 . 10.函數(shù) 21sin-=x y 的單調(diào)遞增區(qū)間是 11. 函數(shù) (, f x x R 是奇函數(shù), 且當 0x 時, (2sin f x x x =+, 則當 0x <時, (f x 等于 . 12. 如果 、 、