方案設(shè)計(jì)型問題

1、方案設(shè)計(jì)問題方案設(shè)計(jì)型問題是設(shè)置一個實(shí)際問題的情景，給出若干信息，提出解決問題的要求， 尋求恰當(dāng)?shù)慕鉀Q方案，有時還給出幾個不同的解決方案，要求判斷其中哪個方案最優(yōu)方 案設(shè)計(jì)型問題主要考查學(xué)生的動手操作能力和實(shí)踐能力方案設(shè)計(jì)型問題，主要有以下幾 種類型：(1) 討論材料，合理猜想一一設(shè)置一段討論材料，讓考生進(jìn)行科學(xué)的判斷、推理、證明； 畫圖設(shè)計(jì)，動手操作一一給出圖形和若干信息，讓考生按要求對圖形進(jìn)行分割或設(shè)計(jì)美 觀的圖案；(3)設(shè)計(jì)方案，比較擇優(yōu)一一給出問題情境，提出要求，讓考生尋求最佳解決方案. 操作型問題是指通過動手實(shí)驗(yàn)，獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的研究性活動這類問題需要動手操作、合 理猜想和驗(yàn)證，有助于

2、實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，更有助于養(yǎng)成實(shí)驗(yàn)研究的習(xí)慣常見 類型有：(1)圖形的分割與拼接；(2)圖形的平移、旋轉(zhuǎn)與翻折；(3)立體圖形與平面圖形之 間的相互轉(zhuǎn)化.三個解題策略(1) 方程或不等式解決方案設(shè)計(jì)問題：首先要了解問題取材的生活背景；其次要弄清題意， 根據(jù)題意建構(gòu)恰當(dāng)?shù)姆匠棠Ｐ突虿坏仁侥Ｐ?，求出所求未知?shù)的取值范圍；最后再結(jié)合實(shí) 際問題確定方案設(shè)計(jì)的種數(shù).(2) 擇優(yōu)型方案設(shè)計(jì)問題：這類問題一般方案已經(jīng)給出，要求綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識比較確定哪 種方案合理此類問題要注意兩點(diǎn)：一是要符合問題描述的要求，二是要具有代表性.(3) 操作型問題：大體可分為三類，即圖案設(shè)計(jì)類、圖形拼接類、圖形分割類等

3、對于圖案 設(shè)計(jì)類，一般運(yùn)用中心對稱、軸對稱或旋轉(zhuǎn)等幾何知識去解決；對于圖形拼接類，關(guān)鍵是 抓住需要拼接的圖形與所給圖形之間的內(nèi)在關(guān)系，然后逐一組合；對于圖形分割類，一般 遵循由特殊到一般、由簡單到復(fù)雜的動手操作過程.1 (2015 河北)如圖是甲、乙兩張不同的矩形紙片，將它們分別沿著虛線剪開后，各自要 拼一個與原來面積相等的正方形，則()A.甲、乙都可以 B .甲、乙都不可以C.甲不可以、乙可以 D .甲可以、乙不可以1 1 2 2 1、1Z1. 1禮1/才Ff1V才%1 X1IXIZ17甲乙2. (2014 江西)如圖，賢賢同學(xué)用手工紙制作一個臺燈燈罩，做好后發(fā)現(xiàn)上口太小了，于 是他把紙燈罩

4、對齊壓扁，剪去上面一截后，正好合適以下裁剪示意圖中，正確的是( )3. 一位園藝設(shè)計(jì)師計(jì)劃在一塊形狀為直角三角形且有一個內(nèi)角為60°的綠化帶上種植四種不同的花卉，要求種植的四種花卉分別組成面積相等，形狀完全相同的幾何圖形圖案.某 同學(xué)為此提供了如圖所示的五種設(shè)計(jì)方案.其中可以滿足園藝設(shè)計(jì)師要求的有A. 2種 B . 3種 C . 4種 D . 5種4小明家春天粉刷房間，雇用了5個工人，每人每天做 8小時，做了 10天完成.用了某種涂料150升，費(fèi)用為4800元；粉刷的面積是150 m2.最后結(jié)算工錢時，有以下幾種方案： 按工算，每個工 60元（1個工人干1天是一個工）：按涂料費(fèi)用算，

5、涂料費(fèi)用的60%乍為工錢；按粉刷面積算，每平方米付工錢24元；按每人每小時付工錢8元計(jì)算.你認(rèn)為付錢最劃算的方案是 （）A . B . C . D .5. （2014 黃岡）如圖，在一張長為 8 cm，寬為6 cm的矩形紙片上，現(xiàn)要剪下一個腰長為5 cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一個頂點(diǎn)與矩形的一個頂點(diǎn)重合，其余的兩個頂點(diǎn) 在矩形的邊上）則剪下的等腰三角形的面積為 cm2.利用方程（組）、不等式、函數(shù)進(jìn)行方案設(shè)計(jì)【例1】（2015 瀘州）某小區(qū)為了綠化環(huán)境，計(jì)劃分兩次購進(jìn)A, B兩種花草，第一次分別購進(jìn)A, B兩種花草30棵和15棵，共花費(fèi)675元；第二次分別購進(jìn) A、B兩種花草12棵

6、和5棵兩次共花費(fèi)940元（兩次購進(jìn)的A, B兩種花草價格均分別相同）.（1）A , B兩種花草每棵的價格分別是多少元？ 若購買A, B兩種花草共31棵，且B種花草的數(shù)量少于 A種花草的數(shù)量的2倍，請你給 出一種費(fèi)用最省的方案，并求出該方案所需費(fèi)用.對應(yīng)訓(xùn)練1. （2015 臨沂）新農(nóng)村社區(qū)改造中，有一部分樓盤要對外銷售，某樓盤共23層，銷售價格如下：第八層樓房售價為4000元/米2,從第八層起每上升一層，每平方米的售價提高50元；反之，樓層每下降一層，每平方米的售價降低30元，已知該樓盤每套樓房面積均為120米2.若購買者一次性付清所有房款，開發(fā)商有兩種優(yōu)惠方案：方案一：降價8%另外每套樓房贈

7、送 a元裝修基金；方案二：降價10%沒有其他贈送.（1）請寫出售價y（元/米2）與樓層x（1 <x w 23, x取整數(shù)）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）老王要購買第十六層的一套樓房，若他一次性付清購房款，請幫他計(jì)算哪種優(yōu)惠方案更 加合算圖形類方案設(shè)計(jì)【例2】（2015 義烏市）某校規(guī)劃在一塊長 AD為18 m寬AB為13 m的長方形場地 ABCD 上，設(shè)計(jì)分別與 AD, AB平行的橫向通道和縱向通道，其余部分鋪上草皮.（1）如圖，若設(shè)計(jì)三條通道，一條橫向，兩條縱向，且它們的寬度相等，其余六塊草坪相同，其中一塊草坪兩邊之比 AM： ANk 8 : 9,問通道的寬是多少？ 為了建造花壇，要修改（1

8、）中的方案，如圖，將三條通道改為兩條通道，縱向的寬度 改為橫向?qū)挾鹊?倍，其余四塊草坪相同，且每一塊草坪均有一邊長為8 m,這樣能在這些草坪上建造花壇.如圖，在草坪RPCQ中，已知 RELPQ于點(diǎn)E, CF丄PQ于點(diǎn)F,求花壇RECF的面積.圖形的分割與拼接【例3】（2014 廣安）在校園文化建設(shè)活動中，需要裁剪一些菱形來美化教室.現(xiàn)有平 行四邊形ABCD的鄰邊長分別為 1, a（a > 1）的紙片，先剪去一個菱形，余下一個四邊形, 在余下的四邊形紙片中再剪去一個菱形，又余下一個四邊形，依此類推，請畫出剪三次 后余下的四邊形是菱形的裁剪線的各種示意圖，并求出a的值.3. （2015 泉州

9、）如圖是某個多面體的表面展開圖. 請你寫出這個多面體的名稱，并指出圖中哪三個字母表示多面體的同一點(diǎn)； 如果沿BC, GH將展開圖剪成三塊，恰好拼成一個矩形，那么 BMC應(yīng)滿足什么條件？（不 必說理）M圖形的平移、旋轉(zhuǎn)與翻折【例4】（2014 江西）如圖，邊長為 4的正方形ABCD中，點(diǎn)E在AB邊上（不與點(diǎn)A, B重合），點(diǎn)F在BC邊上（不與點(diǎn)B, C重合）.第一次操作：將線段 EF繞點(diǎn)F順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E落在正方形上時，記為點(diǎn)第二次操作：將線段 FG繞點(diǎn)G順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)F落在正方形上時，記為點(diǎn)依此操作下去BFC圖BF C圏g FC備用圖(1)圖中的三角形EFD是經(jīng)過兩次操作后得到的，其形狀為

10、等邊三角形，求此時線段EF的長；（2）若經(jīng)過三次操作可得到四邊形EFGH(3)請判斷四邊形EFGH的形狀為,此時AE與BF的數(shù)量關(guān)亥曰' 系是;(4)以中的結(jié)論為前提，設(shè)AE的長為x,四邊形EFGH的面積為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式及面積y的取值范圍.(5)對應(yīng)訓(xùn)練4. (2015南昌)(1)如圖，紙片？ABCD中，A» 5, S?ABCD= 15,過點(diǎn) A作AE丄BC,垂足 為E,沿AE剪下 ABE將它平移至 DCE的位置，拼成四邊形 AEE D,則四邊形AEE D的形狀為A 平行四邊形 B 菱形 C 矩形 D 正方形如圖，在(1)中的四邊形紙片AEE'D中，在EE&

11、#39;上取一點(diǎn)F,使EF= 4,剪下AEF,將它平移至 DE F '的位置，拼成四邊形 AFF' D. 求證：四邊形 AFF D是菱形. 求四邊形AFF' D的兩條對角線的長.立體圖形與平面圖形之間的相互轉(zhuǎn)化【例5】(2015 山西)綜合與實(shí)踐：制作無蓋盒子任務(wù)一：如圖，有一塊矩形紙板，長是寬的2倍，要將其四角各剪去一個正方形，折成高為4 cm，容積為616 cm3的無蓋長方體盒子(紙板厚度忽略不計(jì)).(1) 請?jiān)趫D的矩形紙板中畫出示意圖，用實(shí)線表示剪切線，虛線表示折痕.(2) 請求出這塊矩形紙板的長和寬.任務(wù)二：圖是一個高為4 cm的無蓋的五棱柱盒子(直棱柱)，圖是

12、其底面，在五邊形ABCDE中 BC= 12 cm , AB= DC= 6 cm，/ ABC=Z BCD= 120。，/ EAB=Z EDC= 90 ° .(1) 試判斷圖中AE與DE的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.(2) 圖中的五棱柱盒子可按圖所示的示意圖，將矩形紙板剪切折合而成，那么這個矩形紙板的長和寬至少各為多少 cm?請直接寫出結(jié)果(圖中實(shí)線表示剪切線， 虛線表示折痕.紙 板厚度及剪切接縫處損耗忽略不計(jì)).圖對應(yīng)訓(xùn)練5. （2015資陽）如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為12 cm,底面周長為10 cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3 cm的點(diǎn)B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器

13、外壁，且離容器上沿3 cm的點(diǎn)A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是（）A. 13 cm B . 2 61 cm C. 61cm D . 2 34 cm方案設(shè)計(jì)與動手操作型問題一、選擇題（每小題6分，共30分）1. （2015荊州）如圖所示，將正方形紙片三次對折后，沿圖中AB線剪掉一個等腰直角三角形，展開鋪平得到的圖形是 （）,A),B),C),D)2. (2014臺灣)圖為歌神KTV的兩種計(jì)費(fèi)方案說明.若曉莉和朋友們打算在此KTV的一間包廂里連續(xù)歡唱 6 小時，經(jīng)服務(wù)生試算后，告知他們選擇包廂計(jì)費(fèi)方案會比人數(shù)計(jì)費(fèi) 方案便宜，則他們至少有多少人在同一間包廂里歡唱？ ()A . 6 B . 7

14、C . 8 D . 9ABC現(xiàn)由水廠A向B，C兩廠供水，要 ( 圖中實(shí)線為鋪設(shè)管道路線 ) ，其中最合3 如圖，水廠A和工廠B, C正好構(gòu)成等邊 在 A， B， C 間鋪設(shè)輸水管道，有如下四種設(shè)計(jì)方案 理的方案是 ()4. （2013黃石）把一副三角板如圖甲放置，其中/ ACB=Z DEC= 90。，/ A= 45°,/ » 30°,斜邊AB= 6, DC= 7,把三角板 DCE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)15°得到 DCE（如圖乙）， 此時AB與CD交于點(diǎn)O,則線段AD的長為（）A. 3 B. 5 C. 4 D.5. （2015莆田）數(shù)學(xué)興趣小組開展以下折紙活動：

15、（1）對折矩形ABCD使AD和 BC重合，得到折痕 EF,把紙片展平；（2）再一次折疊紙片，使點(diǎn) A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn) B,得到折痕BM同時得到線 段 BN. 觀 察 ， 探 究 可 以 得 到 / ABM 的 度 數(shù) 是 （）A. 25°B. 30°C. 36°D. 45°二、填空題（每小題6分，共18分）6某班級為籌備運(yùn)動會，準(zhǔn)備用365元購買兩種運(yùn)動服，其中甲種運(yùn)動服20元/套，乙種運(yùn)動服35元/套，在錢都用盡的條件下，有種購買方案.7 .動手折一折：將一張正方形紙片按下列圖示對折3次得到圖，在 AC邊上取點(diǎn)D,使AD= AB沿虛線BD剪開

16、，展開 ABD所在部分得到一個多邊形，則這個多邊形的一個內(nèi) 角的度數(shù)是度.8 . （2015 杭州）如圖，在四邊形紙片 ABCD中，AB= BC, AD= CD / A=Z C= 90°,/ B= 150° 將紙片先沿直線 BD對折，再將對折后的圖形沿從一個頂點(diǎn)出發(fā)的直線裁剪， 剪開后的圖形打開鋪平.若鋪平后的圖形中有一個是面積為2的平行四邊形，則CD= _三、解答題 （ 共 52 分 ）9. （10分）（2014溫州）如圖，在所給方格紙中，每個小正方形邊長都是1，標(biāo)號為的三個三角形均為格點(diǎn)三角形 （頂點(diǎn)在方格頂點(diǎn)處 ） ,請按要求將圖甲,圖乙中的指定 圖形分割成三個三角形

17、，使它們與標(biāo)號為的三個三角形分別對應(yīng)全等.（1）圖甲中的格點(diǎn)正方形 ABCD；（2）圖乙中的格點(diǎn)平行四邊形ABCD.10. （10分）（2014珠海）為慶祝商都正式營業(yè)，商都推出了兩種購物方案.方案一：非會員購物所有商品價格可獲九五折優(yōu)惠,方案二：如交納 300 元會費(fèi)成為該商都會員,則所有商品價格可獲九折優(yōu)惠.（1）以x（元）表示商品價格，y（元）表示支出金額，分別寫出兩種購物方案中y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）若某人計(jì)劃在商都購買價格為5880元的電視機(jī)一臺，請分析選擇哪種方案更省錢？11. （10分）（2015龍巖）下列網(wǎng)格中的六邊形 ABCDE是由邊長為6的正方形左上角剪去邊 長為2的正

18、方形所得，該六邊形按一定的方法可剪拼成一個正方形.（1）根據(jù)剪拼前后圖形的面積關(guān)系求出拼成的正方形的邊長；（2）如圖甲，把六邊形 ABCDEI沿 EH BG剪成三部分，請?jiān)趫D甲中畫出將與 拼成的正方形，然后標(biāo)出變動后的位置，并指出屬于旋轉(zhuǎn)、平移和軸對稱中的 哪一種變換；（3）在圖乙中畫出一種與圖甲不同位置的兩條裁剪線，并在圖乙中畫出將此六邊形剪拼成的正方形.12. （10分）（2015甘孜州）一水果經(jīng)銷商購進(jìn)了 A, B兩種水果各10箱，分配給他的 甲、乙兩個零售店（分別簡稱甲店、乙店）銷售，預(yù)計(jì)每箱水果的盈利情況如下表：A種水果/箱B種水果/箱甲店11元17元乙店9元13元（1）如果甲、乙兩店各配貨 10箱，其中A種水果兩店各5箱，B種水果兩店各5箱，請 你計(jì)算出經(jīng)銷商能盈利多少元？（2） 在甲、乙兩店各配貨 10箱（按整箱配送 ） ，且保證乙店盈利不小于 100 元的條件下， 請你設(shè)計(jì)出使水果經(jīng)銷商盈利最大的配貨方案，并求出最大盈利為多少？13（12 分） 小明聽說“武黃城際列車”已經(jīng)開通，便設(shè)計(jì)了如下問題：如圖，以