最值問題的求解八法

1、最值問題的求解八法最值問題，也就是最大值和最小值問題。它是初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的常見問題。這類問題出現(xiàn)的試題，內(nèi)容豐富，知識(shí)點(diǎn)多，涉及面廣，解法靈活多樣，而且具有一定的難度。本文以例介紹一些常見的求解方法，供讀者參考。一. 配方法例1. 可取得的最小值為_。解：原式由此可知，當(dāng)時(shí)，有最小值。二. 設(shè)參數(shù)法例2.已知實(shí)數(shù)滿足。則的最大值為_。解：設(shè)，易知由，得從而，由此可知，是關(guān)于t的方程的兩個(gè)實(shí)根。于是，有解得。故的最大值為2。例3.若，則可取得的最小值為（ ）A. 3B. C. D. 6解：設(shè)，則從而可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值。故選（B）。三. 選主元法例4.實(shí)數(shù)滿足。則z的最大值是_。解：由得。代入

2、消去y并整理成以為主元的二次方程，由x為實(shí)數(shù)，則判別式。即，整理得解得。所以，z的最大值是。四. 夾逼法例5. 是非負(fù)實(shí)數(shù)，并且滿足。設(shè)，記為m的最小值，y為m的最大值。則_。解：由得解得由是非負(fù)實(shí)數(shù)，得從而，解得。又，故于是，因此，五. 構(gòu)造方程法例6.已知矩形A的邊長(zhǎng)為a和b，如果總有另一矩形B使得矩形B與矩形A的周長(zhǎng)之比與面積之比都等于k，試求k的最小值。解：設(shè)矩形B的邊長(zhǎng)為x和y，由題設(shè)可得。從而x和y可以看作是關(guān)于t的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則因?yàn)?，所以，解得所以k的最小值是四. 由某字母所取的最值確定代數(shù)式的最值例7.已知為整數(shù)，且。若，則的最大值為_。解：由得，代入得。而由和可

3、知的整數(shù)。所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，為。七. 借助幾何圖形法例8.函數(shù)的最小值是_。解：顯然，若，則。因而，當(dāng)取最小值時(shí)，必然有。如圖1，作線段AB=4，且AC=1，BD=2。對(duì)于AB上的任一點(diǎn)O，令OA=x，則。那么，問題轉(zhuǎn)化為在AB上求一點(diǎn)O，使OC+OD最小。圖1設(shè)點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)為E，則DE與AB的交點(diǎn)即為點(diǎn)O，此時(shí)，。作EF/AB與DB的延長(zhǎng)線交于F。在中，易知， 所以，。因此，函數(shù)的最小值為5。八. 比較法例9.某項(xiàng)工程，如果有甲、乙兩隊(duì)承包天完成，需付180000元；由乙、丙兩隊(duì)承包天完成，需付150000元；由甲、丙兩隊(duì)承包天完成，需付160000元?，F(xiàn)在工程由一個(gè)隊(duì)單獨(dú)承包，在保證一周完成的前提下，哪個(gè)隊(duì)承包費(fèi)用最少？解：設(shè)甲、乙、丙單獨(dú)承包各需天完成，則解得又設(shè)甲、乙、丙單獨(dú)工作一天，各需付元，則解得于是，由甲隊(duì)單獨(dú)承包