Newton插值多項(xiàng)式ppt課件

1、 本節(jié)內(nèi)容提要本節(jié)內(nèi)容提要根本思想根本思想 NewtonNewton插值多項(xiàng)式的構(gòu)造插值多項(xiàng)式的構(gòu)造 差商差商 定義、計(jì)算、性質(zhì)定義、計(jì)算、性質(zhì) NewtonNewton插值多項(xiàng)式的誤差插值多項(xiàng)式的誤差；，：插值多項(xiàng)式以構(gòu)造項(xiàng)式的存在唯一性，可由插值多，個(gè)互異插值節(jié)點(diǎn)已知nkiiikiknkkknnxxxxxlyxlxLexxxn0010)()()(Lagrang1根本思想根本思想 缺陷：添加節(jié)點(diǎn)時(shí)，需求計(jì)算缺陷：添加節(jié)點(diǎn)時(shí)，需求計(jì)算 ，而已得的，而已得的 )(1xLn)(xLn不能被利用；不能被利用；為此我們思索對(duì)為此我們思索對(duì)LagrangeLagrange插值多項(xiàng)式進(jìn)展改寫(xiě)；插值多項(xiàng)式進(jìn)

2、展改寫(xiě)； 由獨(dú)一性，僅是方式上的變化由獨(dú)一性，僅是方式上的變化 期望：期望： 作一個(gè)簡(jiǎn)單的修正；的計(jì)算只需對(duì))()(1xLxLnn；，從而可由由新增節(jié)點(diǎn)可以計(jì)算出待定；，的零點(diǎn)是即；，且有的多項(xiàng)式，是次數(shù)，則令)()()()()()()()()()(2100)()()(1)()()()(111101110111xLxLaaxxxxxxaxLxLxxxxxxaxhxhxnjxLxLxhnxhxLxLxhnnnnnnnnnnjjnjnjnn；)()()()()()()()()()()()()(110102010110210121101nnnnnnnnnnnxxxxxxaxxxxaxxaaxxxxx

3、xaxxxxxxaxLxxxxxxaxLxL普通遞推得：普通遞推得：；，；比較點(diǎn)斜式直線(xiàn)方程：；時(shí)，有：特別，當(dāng)01011000010100101)()()()()()()()()(1xxxfxfaxfaxxxxxfxfxfyxxaaxLn 上述修正正的上述修正正的 可看成是由點(diǎn)斜式直線(xiàn)方程往可看成是由點(diǎn)斜式直線(xiàn)方程往 )(xLnn+1個(gè)插值點(diǎn)情形的推行，而個(gè)插值點(diǎn)情形的推行，而Lagrange插值多項(xiàng)式是插值多項(xiàng)式是由兩點(diǎn)式直線(xiàn)方程推導(dǎo)而來(lái)的。由兩點(diǎn)式直線(xiàn)方程推導(dǎo)而來(lái)的。 注：注： 一、系數(shù)一、系數(shù) 確實(shí)定確實(shí)定ka；，??；，取；，取來(lái)確定待定系數(shù)；，由插值條件；設(shè)1201010202120

4、202102221202202102201011101101100000110010)()()()()()()()()()(210)()()()()(xxxxyyxxyyxxxxxxayyayxxxxaxxaaxLxxxxyyayxxaaxLxxyxfaxLxxnjyxLxxxxxxaxxaaxLnnnjjnnnn10101010101010111011101)()()()()()()()()()()()()()()()()()()(niinknknkiiikinniinnniinknknknniinnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxfxxxxxxxfxxxfxlxfxxxLxLax

5、xxxxxaxLxLxxxxxxxxaxLxL，取一般，由：LagrangeLagrange插值插值插值條件插值條件基函數(shù)基函數(shù)；nnkknknknkiiikknknkiiikkniinnnknkiiikknkniinnaxxfxxxfxxxfxxxfxxxxxfxxxf010010010101010)()()()()()()()()()()()()( 依此公式費(fèi)事！依此公式費(fèi)事！ 二、差商二、差商1 1、定義：、定義：上的變化率；，在區(qū)間；表示，記作的一階差商；，關(guān)于節(jié)點(diǎn)為稱(chēng))()()()(jijijiijijxxxfxxfxxxfxxxfxf；，記作：的二階差商，關(guān)于節(jié)點(diǎn)的均差為，稱(chēng)一階均

6、差ikjikjkjikjikjjixxxxfxxfxxxfxxxxfxxfxxf)(；，階差商，有階差商的均差為一般，稱(chēng)011021101xxxxxfxxxfxxxfnnnnnn注：為一致記號(hào)，規(guī)定：注：為一致記號(hào)，規(guī)定： ；)(iixfxf稱(chēng)為零階差商稱(chēng)為零階差商類(lèi)比：類(lèi)比：導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)：差商：差商：；000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx；，ijijjixxxfxfxxf)()(2 2、差商的計(jì)算、差商的計(jì)算,3,2,10321032132332102122101100 xxxxfxxxfxxfxfxxxxfxxfxfxxxfxfxxfxxkk三階差商二階差商一階差商零階差商列差商

7、表列差商表列出差商表；，已知：11014)(76421kkxfx1801121610174607412116365210423121410四階三階二階一階kkxfxk解一：解一：例：例： 1801912121174607535316365340423121410四階三階二階一階kkxfxk解二：解二：可見(jiàn)，求各階差商是方便的，且可見(jiàn)，求各階差商是方便的，且 ，100 xxfxf，210 xxxf位于差商表的對(duì)角線(xiàn)上。位于差商表的對(duì)角線(xiàn)上。3 3、性質(zhì)、性質(zhì)；的線(xiàn)性組合階差商可表為即；，)()()()()(1010010knkknknknkiiikknxfnxxfxxxfxxxf證明：歸納法證明

8、：歸納法 ；，時(shí))(000 xfxfn；，；，時(shí)成立，即設(shè)11111210010)()()()(mkmkiiikkmmkmkiiikkmxxxfxxxfxxxfxxxfmn)()()()(11001111010110121110mkmkiiikkmkmkiiikkmmmmmxxxfxxxfxxxxxxxfxxxfxxxfmn，時(shí)，有：則)()()()()()()()(1100101111101miimkmkiiikkmkiiikkmiimmmxxxfxxxfxxxfxxxfxx得證。，10101100111100)()()()()()()()(mkmkiiikkmkmkiiikkmiimmmi

9、ixxxfxxxfxxxfxxxf)(11010101xxxxxxxxxxkmkmkmk通分：通分： 注：注： ；，10nnxxxfa 對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性差商與節(jié)點(diǎn)的陳列次序無(wú)關(guān)；線(xiàn)性組合差商與節(jié)點(diǎn)的陳列次序無(wú)關(guān)；線(xiàn)性組合 因此當(dāng)添加節(jié)點(diǎn)時(shí)，只需在差商表的末尾加上一行即可！因此當(dāng)添加節(jié)點(diǎn)時(shí)，只需在差商表的末尾加上一行即可！差商定義亦可變成：差商定義亦可變成：；，202110212010210 xxxxfxxfxxxxfxxfxxxf；，有：則，個(gè)節(jié)點(diǎn)階可導(dǎo)，且上，在若)(!)(1)(2)(10banfxxxfbaxnnbaxfnnk。，；即，至少有一個(gè)零點(diǎn)個(gè)互異零點(diǎn)；至少有個(gè)互異零點(diǎn)；至少有個(gè)互異零

10、點(diǎn)，由有；即：，由于，；令，其中；)(!)(0!)()()(0)()()(1)()(1)(100)()()()()()()()()(10)()()()()(10110010banfaxxxfanfLfRbaxRnxRnxRThRollenxRnkxRxLxfxRxxxfaxxxxxxaxxaaxLnnnnnnnnnnnnnknnnnnnnn證明：證明：三、三、NewtonNewton插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式1 1、定義：、定義：)()()()()(11010102100100nnnxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxN， 稱(chēng)為稱(chēng)為 次次NewtonNewton插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式

11、n插值多項(xiàng)式；次求，給定數(shù)據(jù)：Newtonxfxkk411014)(76421；：插值多項(xiàng)式為，則有見(jiàn)上例先求差商表)6)(4)(2)(1(1801)4)(2)(1(607)2)(1(65) 1(34)()(4xxxxxxxxxxxNNewton例：例： 解：解： 2 2、余項(xiàng)：、余項(xiàng)： ；)(!) 1()()()(1)1(xnfxNxfnnn帶余項(xiàng)的帶余項(xiàng)的NewtonNewton插值公式插值公式 ；，的任意性，可得：由；，從而：其中；，則有：，增加節(jié)點(diǎn)，；得，已知互異節(jié)點(diǎn))()()()()()()()()()()()()(1101101110110 xxxxxfxNxfxxxxxxfxNx

12、fxfxNxxxxxfxNxNxbaxxNxxxnnnnnnnnnnnnn；，階連續(xù)導(dǎo)，則：上有，在若)(!) 1()()()(!) 1()(1)(1)1()1(10 xnfxNxfnfxxxxfnbaxfnnnnn比較可知，比較可知， 與與 確實(shí)只是方式上的不同，確實(shí)只是方式上的不同， 注：注： NewtonNewton插值多項(xiàng)式便于計(jì)算，而插值多項(xiàng)式便于計(jì)算，而LagrangeLagrange插值插值多項(xiàng)式多用于實(shí)際推導(dǎo)。多項(xiàng)式多用于實(shí)際推導(dǎo)。)(xNn)(xLn性質(zhì)性質(zhì)2 2例：例：( (上例中上例中) )插值余項(xiàng)為：插值余項(xiàng)為：有界，則可估計(jì)誤差。連續(xù)若；)()7)(6)(4)(2)(

13、1(!5)()()()5()5(4xfxxxxxfxNxf插值多項(xiàng)式。次的出；并寫(xiě)，證明：互不相同，且設(shè)Newtonnxfnkxaxxxfxxxaxaxfkiikn)(21)(11)(01021例：例：；，)(1111)()(1100101010110 xaxaxaxaxxxxxfxfxxfk證明：歸納法證明：歸納法 ；，；，時(shí)成立，即：設(shè)11121010)(1)(1miimmiimxaxxxfxaxxxfmk；由歸納法得證。，時(shí)，有：則1001101011010110121110)(1)11()(11)(1)(1(11miimmiimmiimiimmmmmxaxaxaxaxxxaxaxxxxxxxfxxxfxxxfmk；，)()()()()(1)()()()(101101000110100100nnnnnxaxaxaxxxxxxxaxaxxxaxxxxxxxxxfxxxxfxfxNNewton插值公式求解插值問(wèn)題的算法插值公式求解插值問(wèn)題的算法算法算法1.初始化初始化 xn保管保管n個(gè)插值點(diǎn)；個(gè)插值點(diǎn)； fnn保管保管n個(gè)插值點(diǎn)的函數(shù)值和各階差商個(gè)插值點(diǎn)的函數(shù)值和各階差商 i-求解求解j階差商的下標(biāo)階差商的下標(biāo) j-差商的下標(biāo)差商的下標(biāo)j=1,n2.按