第三章隨機變量的數(shù)字特征

1、第三章 隨機變量的數(shù)字特征內(nèi)容提要 本章主要講述離散型隨機變量的數(shù)學期望，連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望，隨機變量的函數(shù)的數(shù)學期望，數(shù)學期望的性質(zhì)；方差的概念，方差的計算，方差的性質(zhì)；協(xié)方差及相關系數(shù)的定義、協(xié)方差與相關系數(shù)的性質(zhì)、矩等內(nèi)容切比雪夫不等式與大數(shù)定律。重點分析 理解數(shù)學期望與方差的概念，掌握它們的性質(zhì)與計算 了解二項分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布的數(shù)學期望與方差 了解矩、相關系數(shù)的概念及其性質(zhì)與計算難點分析 數(shù)學期望與方差的概念、性質(zhì)與計算 矩、相關系數(shù)的概念、性質(zhì)與計算 切比雪夫不等式與大數(shù)定律。第三章 隨機變量的數(shù)字特征(Chapter Three Figure Charact

2、eristic of Random Variable) 第二章我們討論了隨機變量的分布函數(shù)，我們看到分布函數(shù)能夠完整地描述隨機變量的統(tǒng)計特性但在一些實際問題中，不需要去全面考察隨機變量的整個變化情況，而只需知道隨機變量的某些統(tǒng)計特征例如，在檢查一批棉花的質(zhì)量時，只需要注意纖維的平均長度，以及纖維長度與平均長度的偏離程度，如果平均長度較大、偏離程度較小，質(zhì)量就越好從這個例子看到，某些與隨機變量有關的數(shù)字，雖然不能完整地描述隨機變量，但能概括描述它的基本面貌這些能代表隨機變量的主要特征的數(shù)字稱為數(shù)字特征本章介紹隨機變量的常用數(shù)字特征：數(shù)學期望、方差和相關系數(shù)3.1 數(shù)學期望(隨機變量的均值)Mat

3、hematical Expectation（Average of Random Variable）1. 離散型隨機變量的數(shù)學期望(Mathematical expectation of discrete random variable) Example 1 某年級有50名學生，17歲的有2人，18歲的有2人，16歲的有46人，則該年級學生的平均年齡為 事實上我們在計算中是用頻率為權(quán)重的加權(quán)平均，對于一般的離散型隨機變量，其定義如下： Definition 1 設離散型隨機變量的分布律為P(Xk = xk) = pk (k = 1，2，), 若級數(shù)絕對收斂，則稱其為隨機變量的數(shù)學期望(Mathe

4、matical expectation)或均值(Average)記為 若級數(shù)發(fā)散，則稱隨機變量的數(shù)學期望不存在(Suppose is a discrete random variable, which distribution law is table 3-1. if progression is absolutely convergent, then it is called mathematical expectation (or average) of random variable , which is written . If seriesis divergent, then ran

5、dom variable has not mathematical expectation.) Example 2 一批產(chǎn)品有一二三等品及廢品4種，所占比例分別為，各級產(chǎn)品的出廠價分別為6元，4.8元，4元，0元，求產(chǎn)品的平均出廠價 Solution 設為任取一只產(chǎn)品的出廠價, 的分布律為:X64.840p0.60.20.10.1平均出廠價為(元) Example 3 (P75,例 3)設隨機變量服從參數(shù)為的泊松分布，求它的數(shù)學期望 Solution 由于，k=1,2,因而2. 連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望(Mathematical expectation of a continual rando

6、m variable) Definition 2 設連續(xù)型隨機變量的分布密度函數(shù)為，若積分絕對收斂，則稱其為的數(shù)學期望或均值記為，(Suppose is a continuous random variable, which its probability density function is . if integral, , is absolutely convergent, then it is called mathematical expectation (or average) of random variable, which is written, and .) 若積分發(fā)散，則

7、稱隨機變量的數(shù)學期望不存在 Example 3 (P75,例 5) 設隨機變量服從參數(shù)為(>0)的指數(shù)分布，求 Solution 由于指數(shù)分布的密度函數(shù)為因而 Example 4 設隨機變量服從上的均勻分布，求 Solution 由于均勻分布的密度函數(shù)為因而 Example 5 設隨機變量服從柯西分布，其密度函數(shù)為，由于積分發(fā)散，因而不存在3. 隨機變量的函數(shù)的數(shù)學期望(Mathematical expectation of random variable function) Theorem 3.1 設為隨機變量的函數(shù)：(g是連續(xù)函數(shù))， (1) 是離散型隨機變量，分布律為；若級數(shù)絕對收

8、斂，則有 (2) 是連續(xù)型隨機變量，它的分布密度為，若積分絕對收斂，則有 (Suppose Y is a function of random variable,(g is a continuous function), (1) is a discrete random variable, distribution law is ; if series, , is absolutely convergent, then . (2) is a continuous random variable, its probability distribution density function is

9、, if integral is absolutely convergent, then .)（證明略） 定理3.1告訴我們：求時，不必知道的分布，而只需知道的分布就可以了 Example 6 隨機變量的分布律如下:X0 1 2 3P 求 Solution Theorem 3.2 設是隨機變量的連續(xù)函數(shù)， (1) 是二維離散型隨機變量，聯(lián)合分布律為；則有（設該級數(shù)絕對收斂） (2) 是二維連續(xù)型隨機變量，聯(lián)合分布密度為，則有（設該積分絕對收斂） (Suppose is a continuous function of random vector, (1) are discrete random

10、 vector of two dimensions, its joint distribution law is;then . (Suppose this series is absolutely convergent)(2) are continuous random vector of two dimensions, its joint distribution density function is , then. (Suppose this integral is absolutely convergent)（證明略） Example 7 設的概率密度函數(shù)為 求 Solution 由定

11、理3.2， ， 思考: 的結(jié)果與上面結(jié)果一樣嗎? Example 8 (P76,例7) Example 8 (P77,例9)4. 數(shù)學期望的性質(zhì)（The property of mathematical expectation） (1) 設是常數(shù)，則有 (2) 設是隨機變量，設是常數(shù)，則有 (3) 設，是隨機變量，則有 （該性質(zhì)可推廣到有限個隨機變量之和的情況） (4) 設，是相互獨立的隨機變量，則有（該性質(zhì)可推廣到有限個隨機變量之積的情況） 1、2由讀者自己證明我們來證明3和4，僅就連續(xù)型情形給出證明，離散型情形類似可證 Proof: 設二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合分布密度為，其邊緣分布密度為，

12、 則+.性質(zhì)3得證 又若和相互獨立，此時，故有性質(zhì)4得證 Example 8 (P79,例10)3.2 方 差(variance) 前面曾提到在檢驗棉花的質(zhì)量時，既要注意纖維的平均長度，還要注意纖維長度與平均長度的偏離程度那么，用怎樣的量去度量這個偏離程度呢？用來描述是不行的，因為這時正負偏差會抵消；用來描述原則上是可以的，但有絕對值不便計算；因此，通常用來描述隨機變量與均值的偏離程度1. 方差的概念(Conception of variance) Definition 1 設是隨機變量，存在，就稱其為的方差，記為(或)，即=稱為均方差或標準差，記為 (Suppose is a random

13、variable, if is exist, then it is called variance of, and written or , namely =, is called standard variance, and written .2. 方差的計算(Calculation of variance) (1) 若是離散型隨機變量，分布律為；則 (2) 若是連續(xù)型隨機變量，它的概率密度為，則 (3) = Proof: 由方差的定義及數(shù)學期望的性質(zhì) Example 1（P80 例1） Example 2（P81 例4） 設隨機變量服從參數(shù)為的泊松分布，求 Solution 由于=， 而因

14、而 Example 3（P82 例5） 設隨機變量服從上的均勻分布，求 Solution 由于均勻分布的密度函數(shù)為， ，故 Example 4（P82 例6） 設隨機變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布，求 Solution 由于指數(shù)分布的密度函數(shù)為故 3. 方差的性質(zhì)(The property of variance) (1) 設是常數(shù)，則有； (2) 設是常數(shù)，則有,; (3) ,當，是相互獨立時， ； (4) 若是相互獨立的隨機變量，則 (5) 的充要條件是X以概率為一取常數(shù),即. Example 1 （P83 例7） 設隨機變量服從二項分布，求, Solution 由二項分布的定義知是n重伯奴利試

15、驗中事件A發(fā)生的次數(shù),且每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p,引入隨機變量: k=1,2,n.易知.且獨立同分布，的分布律均為, k=1,2,n.那么服從.因為 k=1,2,n.所以. Example 2 (機動) 設的概率密度函數(shù)為求及 Solution 3.3 協(xié)方差與相關系數(shù) (Covariance and Correlation coefficient) 我們除了討論與的數(shù)學期望和方差外，還需討論描述與之間相互關系的數(shù)字特征本節(jié)討論這方面的數(shù)字特征 1. 協(xié)方差及相關系數(shù)的定義(Covariance and correlation coefficient) Definition 1 稱為隨機

16、變量與的協(xié)方差記為，即而,()稱為隨機變量與的相關系數(shù)(無量綱) ( is called covariance of random variableand , and written , namely, is called correlation coefficient of random variable and .)2. 協(xié)方差與相關系數(shù)的性質(zhì)(Property of covariance and correlation coefficient)(1) 協(xié)方差的性質(zhì) 1) ； 2）； 3) ； 4) ； 5) ； 6) ；(2) 相關系數(shù)的性質(zhì)Theorem 1 設是和的的相關系數(shù),則有

17、1) ； 2) 的充要條件是和以概率為1存在線性關系,即存在常數(shù)使 證明(機動) Definition 2 若(即)，稱與不相關Theorem 2 若與相互獨立，則,即與不相關. Note: 與不相關實際上是指和沒有線性關系,它們?nèi)钥梢杂衅渌蔷€性關系,所以與不相關不能說明與相互獨立. 事實上相關系數(shù)只是隨機變量間線性關系強弱的一個度量，當表明隨機變量與具有線性關系,時為正線性相關， 時為負線性相關，當時，這種線性相關程度就隨著的減小而減弱，當時，就意味著隨機變量與是不相關的 Example 1 設是服從上的均勻分布，又，試求相關系數(shù) Solution 因而 相關系數(shù)=0，隨機變量與不相關，但

18、是有，從而與不獨立 Example 1 （P85 例1）自看3. 矩 (Moment) Definition 3設和是隨機變量， 若存在，稱它為的階原點矩，簡稱階矩 若存在，稱它為的階中心矩 若存在，稱它為和的階混合矩 若存在，稱它為和的階混合中心矩(Suppose and are random variables, if , is exist, it is called order origin moment of . If , is in existence, then it is called order central moment of . If , is in existence,

19、 then it is called order hybrid moment ofand. If , is in existence, then it is called order hybrid central moment of and .) 顯然，的數(shù)學期望是的一階原點矩，方差是的二階中心矩，協(xié)方差是和的二階混合中心矩3.4 切比雪夫不等式與大數(shù)定律人們在長期的實踐中發(fā)現(xiàn)，事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，也就是說隨著試驗次數(shù)的增多，事件發(fā)生的頻率將穩(wěn)定與一個確定的常數(shù)。對某個隨機變量進行大量的重復觀測，所得到的大批觀測數(shù)據(jù)的算術平均值也具有穩(wěn)定性，由于這類穩(wěn)定性都是在對隨機現(xiàn)象進行大量重復試驗

20、的條件下呈現(xiàn)出來的，因而反映這方面規(guī)律的定理我們就統(tǒng)稱為大數(shù)定律。1 切比雪夫不等式（Chebyshev inequality） Theorem 4.1 設隨機變量的均值及方差存在，則對于任意正數(shù)，有不等式或 成立。 (If the mean and variance of the random variable are known，then for any value or )我們稱該不等式為契比雪夫（Chebyshev）不等式。Proof: （我們僅對連續(xù)性的隨機變量進行證明）設為的密度函數(shù)，記，則 從定理中看出，如果越小，那么隨機變量取值于開區(qū)間中的概率就越大，這就說明方差是一個反映隨機

21、變量的概率分布對其分布中心(distribution center)的集中程度的數(shù)量指標。利用契比雪夫不等式，我們可以在隨機變量的分布未知的情況下估算事件的概率。Example 1 已知某班某門課的平均成績?yōu)?0分，標準差為10分,試估計及格率。Solutio 設X表示任抽一學生的成績,則 2 弱大數(shù)定理1Theorem 4.2 設相互獨立的隨機變量有相同的分布，且 ，存在，則對于任意正整數(shù)，有. （Let be a sequence of independent and identically distributed random variables，and ，exist ,then,for

22、 any value ，.）Proof：定理4.2表明，當很大時，事件的概率接近于1。一般地，我們稱概率接近于1的事件為大概率事件(large probability event)，而稱概率接近于0的事件為小概率事件(small probability event)，在一次試驗中大概率事件幾乎肯定要發(fā)生，而小概率事件幾乎不可能發(fā)生，這一規(guī)律我們稱之為實際推斷原理(fact infer principle)。弱大數(shù)定理1有下面特例:3 伯努利大數(shù)定律（Bernoulli Law of Large Number）Theorem 4.3 設是n次獨立重復試驗中事件發(fā)生的次數(shù)，是事件在每次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意正整數(shù)，有 . （Let represents the number of events that occur in the independent trials， represents the probability of events that occur in each trials, then f