第六章超導(dǎo)微觀理論

1、超導(dǎo)電性的微觀理論超導(dǎo)電性的微觀理論1、基本性質(zhì)、基本性質(zhì)超導(dǎo)電性：低溫下直流電阻消失的現(xiàn)象稱為超導(dǎo)電性超導(dǎo)電性：低溫下直流電阻消失的現(xiàn)象稱為超導(dǎo)電性*目前發(fā)現(xiàn)一半以上的金屬和成百上千種合金是超導(dǎo)體。目前發(fā)現(xiàn)一半以上的金屬和成百上千種合金是超導(dǎo)體。 但它們的轉(zhuǎn)變溫度但它們的轉(zhuǎn)變溫度Tc一般很低，直到一般很低，直到20世紀(jì)世紀(jì)80年代中期未超過年代中期未超過30K。* 1986年，年，J. D. Bednorz和和K. A. Mller發(fā)現(xiàn)高溫超導(dǎo)體以來，人們發(fā)現(xiàn)一系發(fā)現(xiàn)高溫超導(dǎo)體以來，人們發(fā)現(xiàn)一系列新的超導(dǎo)體。列新的超導(dǎo)體。加壓）K160(133125110924083221032221032

2、2263242KTOCuCaHgBaKTOCuCaBaTlKTOCuCaSrBiKTOCuYBaKTCuOSrLacxcxcxcxcxxKTFeAsKTMcc5039gB2基超導(dǎo)，液氮的溫度為液氮的溫度為77K。超導(dǎo)體的超導(dǎo)體的基本屬性基本屬性可由下列可由下列3個(gè)特征表示個(gè)特征表示1. 超導(dǎo)態(tài)是一種新的凝聚態(tài)超導(dǎo)態(tài)是一種新的凝聚態(tài) TTc時(shí)，比熱容不再與時(shí)，比熱容不再與T成線性關(guān)系，變?yōu)橹笖?shù)式的溫度關(guān)系。成線性關(guān)系，變?yōu)橹笖?shù)式的溫度關(guān)系。 TTc時(shí)，超導(dǎo)態(tài)的自由能比正常態(tài)低，因?yàn)楸仨毤哟艌鰰r(shí)，超導(dǎo)態(tài)的自由能比正常態(tài)低，因?yàn)楸仨毤哟艌鯤c才能破壞超導(dǎo)性，才能破壞超導(dǎo)性，使金屬恢復(fù)電阻，回到正常態(tài)

3、。使金屬恢復(fù)電阻，回到正常態(tài)。 Hc稱為臨界磁場。稱為臨界磁場。)/(1)0()(2cccTTHTH超導(dǎo)態(tài)超導(dǎo)態(tài)2. 存在能隙存在能隙 根據(jù)量子力學(xué)，單電子可以穿透勢壘，其隧穿電流應(yīng)與外加電壓成正比根據(jù)量子力學(xué)，單電子可以穿透勢壘，其隧穿電流應(yīng)與外加電壓成正比 對于超導(dǎo)體，對于超導(dǎo)體， TTc時(shí)，時(shí)，V必須大于必須大于 /e才有隧道電流。才有隧道電流。超導(dǎo)體超導(dǎo)體正常金屬正常金屬氧化物絕緣體氧化物絕緣體V超導(dǎo)體超導(dǎo)體說明超導(dǎo)相中激發(fā)出一個(gè)準(zhǔn)粒子至少要說明超導(dǎo)相中激發(fā)出一個(gè)準(zhǔn)粒子至少要 能量，即存在能隙。能量，即存在能隙。3. 邁斯納效應(yīng)邁斯納效應(yīng) 在超導(dǎo)態(tài)弱磁場不能透入宏觀樣品內(nèi)部，超導(dǎo)體對于

4、弱磁場是完全逆磁體。在超導(dǎo)態(tài)弱磁場不能透入宏觀樣品內(nèi)部，超導(dǎo)體對于弱磁場是完全逆磁體。第一類超導(dǎo)體第一類超導(dǎo)體* 如果在超導(dǎo)態(tài)弱磁場可以透入宏觀樣品內(nèi)部。如果在超導(dǎo)態(tài)弱磁場可以透入宏觀樣品內(nèi)部。第二類超導(dǎo)體第二類超導(dǎo)體Bardeen、Cooper和和Schrieffer于于1957成功解釋了第一類超導(dǎo)體的超導(dǎo)性。成功解釋了第一類超導(dǎo)體的超導(dǎo)性。BCS理論認(rèn)為，電子間通過交換虛聲子產(chǎn)生超導(dǎo)基態(tài)，理論認(rèn)為，電子間通過交換虛聲子產(chǎn)生超導(dǎo)基態(tài)， 費(fèi)米面附近相反動(dòng)費(fèi)米面附近相反動(dòng)量和自旋的電子對通過吸引互作用形成束縛電子對狀態(tài)。稱為量和自旋的電子對通過吸引互作用形成束縛電子對狀態(tài)。稱為Cooper對組對

5、組態(tài)態(tài)超導(dǎo)體超導(dǎo)體2、BCS約化哈密頓量約化哈密頓量* 電子交換虛聲子的有效互作用電子交換虛聲子的有效互作用222,)()(2|211111122221112121qkqkqqqkkkqkqkqkkkqeffEEDVCCCCVH在費(fèi)米面附近在費(fèi)米面附近 能殼內(nèi)，能殼內(nèi)， ，有效勢為吸引勢，有效勢為吸引勢 DqkqkEE|110,1qkV在在能殼外，能殼外， ，有效勢為排斥互作用。，有效勢為排斥互作用。 0,1qkVD是德拜頻率是德拜頻率 3333/12333213634)2()2(*TLDDDDcccckVNkkVN其中DDDg09)(32態(tài)密度：態(tài)密度：eVD210由于聲學(xué)模聲子的最大密度在

6、由于聲學(xué)模聲子的最大密度在 附近，那么可以將附近，那么可以將 中厚度隨中厚度隨 變化變化的吸引區(qū)近似用費(fèi)米面附近厚度為的吸引區(qū)近似用費(fèi)米面附近厚度為 的固定能殼區(qū)代替。的固定能殼區(qū)代替。DqkV,1qD2* 此外，金屬中電子還存在直接庫侖作用，可以用屏蔽庫侖勢表示此外，金屬中電子還存在直接庫侖作用，可以用屏蔽庫侖勢表示112222112121,222421kkqkqkkkqcoulCCCCqeH兩電子間兩電子間凈的相互作用勢凈的相互作用勢1122221112121,222,)4(21kkqkqkqkkkqCCCCqeVHBardeen等人認(rèn)為在等人認(rèn)為在 能殼外排斥相互作用可以略去。能殼外排斥

7、相互作用可以略去。D2 可設(shè)為常數(shù)可設(shè)為常數(shù)-V，V為正量為正量112222112121,21kkqkqkkkqCCCCVH. 0|11VEEDkqk區(qū)內(nèi)其中僅在這一假設(shè)為這一假設(shè)為V與取向無與取向無關(guān)，相當(dāng)于取各向同性關(guān)，相當(dāng)于取各向同性的的s波散射近似。波散射近似。兩電子在兩電子在散射后總波矢守恒散射后總波矢守恒設(shè)設(shè)21kkK112121112121,21kkKqkKqkkkqCCCCVH,211kkqkk, , , ,2kkKkKkkkKKKCCCCVHHH代表系統(tǒng)中總波矢為代表系統(tǒng)中總波矢為K的電的電子對間相互作用。子對間相互作用。不同的不同的K，具有吸引作用的電子對數(shù)目不一樣，具有吸

8、引作用的電子對數(shù)目不一樣，由陰影區(qū)繞由陰影區(qū)繞K軸轉(zhuǎn)成的體積決定軸轉(zhuǎn)成的體積決定的項(xiàng)?？陕匀サ枚唷ｋ娮訉φ加械南囿w積大比，電子對占有最大相體積顯然，000KKK令令只取只取K=0電子對項(xiàng)電子對項(xiàng)的電子間的相互作用的電子間的相互作用, , , ,2kkkkkkCCCCVH代表準(zhǔn)動(dòng)量相反的電子對的吸引互作用。代表準(zhǔn)動(dòng)量相反的電子對的吸引互作用。由于泡利不相容原理將限制自旋平行電子在位置空間靠攏，因此，由于泡利不相容原理將限制自旋平行電子在位置空間靠攏，因此， = 項(xiàng)項(xiàng)的貢獻(xiàn)比的貢獻(xiàn)比 = - 項(xiàng)小，也可略去。項(xiàng)小，也可略去。, , , ,2kkkkkkCCCCVH總的哈密頓量總的哈密頓量, , ,

9、 ,2kkkkkkkkkkCCCCVCCEH經(jīng)經(jīng)整理后得整理后得kkkkkkkkkkkkCCCCVCCCCEH,(這就是這就是BCS理論用于描述理論用于描述超導(dǎo)基態(tài)的哈密頓量超導(dǎo)基態(tài)的哈密頓量其基本假定是，其基本假定是，在費(fèi)密面附近在費(fèi)密面附近準(zhǔn)動(dòng)量和自旋準(zhǔn)動(dòng)量和自旋都相反的電子都相反的電子之間的吸引互之間的吸引互作用是產(chǎn)生超作用是產(chǎn)生超導(dǎo)凝聚的主要導(dǎo)凝聚的主要原因原因），代表（），代表（令kkkk則則BCS的哈密頓量簡化為的哈密頓量簡化為kkkkkkkkkkkkCCCCVCCCCEH,)(BCS約化哈密頓量約化哈密頓量kkkkkkkkkkkkFCCCCVCCCCNEHH,)(其中其中FkkE

10、E 代表從費(fèi)米面算起的自由電子能量。代表從費(fèi)米面算起的自由電子能量。約化哈密頓選用的理由是在超導(dǎo)問題中，粒子數(shù)不守恒約化哈密頓選用的理由是在超導(dǎo)問題中，粒子數(shù)不守恒NEHHF相當(dāng)于用熱力學(xué)勢代替自由能討論粒子數(shù)可變系統(tǒng)相當(dāng)于用熱力學(xué)勢代替自由能討論粒子數(shù)可變系統(tǒng)3、Cooper對對 費(fèi)密球外一對動(dòng)量和自旋相反的電子之間只要存在凈的吸引互作用，不管費(fèi)密球外一對動(dòng)量和自旋相反的電子之間只要存在凈的吸引互作用，不管它多弱，都能形成束縛電子對，即它多弱，都能形成束縛電子對，即Cooper對。對。兩個(gè)束縛電子對的能量為兩個(gè)束縛電子對的能量為的態(tài)密度為費(fèi)米面上某自旋取向)0(, )0(2exp2gVgED

11、E0和空間非均勻等情況和空間非均勻等情況這里介紹簡單的自洽場近似法求這里介紹簡單的自洽場近似法求BCS約化哈密頓的本征函數(shù)和本征值約化哈密頓的本征函數(shù)和本征值 （其實(shí)質(zhì)與（其實(shí)質(zhì)與BCS變分法相同）變分法相同）* 根據(jù)根據(jù)Cooper對組成超導(dǎo)基態(tài)的想法，假定下列對算符的超導(dǎo)基態(tài)平均值存在：對組成超導(dǎo)基態(tài)的想法，假定下列對算符的超導(dǎo)基態(tài)平均值存在：00|000|0kkkkkkkkCCCCCCCC將將對算符對算符寫成寫成)()(kkkkkkkkkkkkkkkkCCCCCCCCCCCCCCCC將對算符寫成將對算符寫成為小量為小量)()(,kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

12、kkCCCCCCCCCCCCVCCCCCCCCVCCCCH取一級近似取一級近似自洽場近似（自洽場近似（SCFA）的哈密頓量）的哈密頓量kkCC由于必須求出超導(dǎo)基態(tài)后才能最后求得由于必須求出超導(dǎo)基態(tài)后才能最后求得 ，所以稱自洽場近似。，所以稱自洽場近似。* 定義定義kkkkkkCCCCV*, 為復(fù)量，為簡單起見，僅考慮為復(fù)量，為簡單起見，僅考慮 為實(shí)量：為實(shí)量：VCCCCCCCCHkkkkkkkkkkk/)()(2由于由于 相當(dāng)于相當(dāng)于“對算子對算子”的外勢場，所以又稱為對的外勢場，所以又稱為對勢。勢?！皩λ阕訉λ阕印崩貌８炅舨７蛘齽t變換可將以上哈密頓對角化利用玻戈留玻夫正則變換可將以上哈密頓

13、對角化kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkvuCvuCvuCvuC,)()0(22kkkkkksEH變換后變換后：其中基態(tài)能量：其中基態(tài)能量：VvuvEkkkkkks2222)0()()1 (21)1 (212222FkkkkkkkkkkEEvu其中：其中：代表超導(dǎo)的元激發(fā)能量代表超導(dǎo)的元激發(fā)能量 玻戈留玻夫正則變換玻戈留玻夫正則變換（算符滿足反對易關(guān)系）（算符滿足反對易關(guān)系）說明從費(fèi)米面激發(fā)一個(gè)準(zhǔn)粒子至少說明從費(fèi)米面激發(fā)一個(gè)準(zhǔn)粒子至少需要需要 能量，能量，它代表它代表元激發(fā)的能隙元激發(fā)的能隙。1. 能隙能隙 的計(jì)算的計(jì)算 T=0K時(shí)的時(shí)的 ，可通過元激發(fā)算子對基態(tài)的自洽平均來決定，由于此

14、，可通過元激發(fā)算子對基態(tài)的自洽平均來決定，由于此時(shí)無準(zhǔn)粒子激發(fā)：時(shí)無準(zhǔn)粒子激發(fā)：kkkkkkkkkkkkkkkkkVvuVvuvuVCCV210| )(|0）（能隙方程能隙方程向的態(tài)密度。為費(fèi)米面上一種自旋取其中，)0()0(121102222gdVgVDkkk最后求得最后求得)0(1exp2DVg量級。約為那么，對于金屬，eVeVVgD421010, 3 . 02 . 0)0(2. 凝聚能凝聚能 E（0）k22222222)0(kkkkkkkkksVvuvE基態(tài)能基態(tài)能正常態(tài)費(fèi)米正常態(tài)費(fèi)米分布能量分布能量FkkknE2)0(凝聚能凝聚能)()0(2111)(0(22)0(2(2222222)

15、0()0(22202222222222 DDDFkkkkkkkkkkkkkkkkknsggdgEEEEDFFF因?yàn)椋┛昭▽ΨQ性因?yàn)殡娮诱f明凝聚能說明凝聚能量為負(fù)，超量為負(fù)，超導(dǎo)基態(tài)能量導(dǎo)基態(tài)能量低于正常態(tài)低于正常態(tài)能量，因此，能量，因此，必然發(fā)生超必然發(fā)生超導(dǎo)相變導(dǎo)相變3. BSC基態(tài)基態(tài)超導(dǎo)超導(dǎo)基態(tài)應(yīng)當(dāng)是準(zhǔn)粒子消滅算符基態(tài)應(yīng)當(dāng)是準(zhǔn)粒子消滅算符 k和和 -k的的真空態(tài)。的的真空態(tài)。00|0|kk不難驗(yàn)證，態(tài)不難驗(yàn)證，態(tài)Vackkk|滿足基態(tài)條件式滿足基態(tài)條件式00,kkkk因?yàn)榉磳σ钻P(guān)系因?yàn)榉磳σ钻P(guān)系因此因此0|)(|)(|VacVacVackkkkkkkkkkkkkkkkkk類似的類似的0|

16、)(|)(|VacVacVackkkkkkkkkkkkkkkkkk由于由于kkkkkkkkkkCvCuCvCu,超導(dǎo)基態(tài)超導(dǎo)基態(tài)VacCCvvuVacCCvCCvuVacCvCuCvCuVackkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk| )(| )(| )( )(|22由于由于kkkvu對于正常態(tài)對于正常態(tài) =0，上式變?yōu)檎Ｏ嗟馁M(fèi)米球分布態(tài)：，上式變?yōu)檎Ｏ嗟馁M(fèi)米球分布態(tài)：VacCCFFkkkk|* 再將超導(dǎo)基態(tài)歸一化再將超導(dǎo)基態(tài)歸一化=1，得到歸一化的超導(dǎo)基態(tài)，得到歸一化的超導(dǎo)基態(tài)VacCCvuFkkkkkk| )(0|BCS超導(dǎo)基態(tài)假定的證明超導(dǎo)基態(tài)假定的證明若對電子的占據(jù)數(shù)算

17、符求基態(tài)平均：若對電子的占據(jù)數(shù)算符求基態(tài)平均：20| )( |00|0kkkkkkkkkkkvvuvuCC代表被占據(jù)概率代表被占據(jù)概率與有限溫度的費(fèi)米分布類似與有限溫度的費(fèi)米分布類似費(fèi)米面的費(fèi)米面的“模糊化模糊化”是由于形成了是由于形成了Cooper對對Cooper對的零溫分布對的零溫分布22)(/210|0FkkkkkEEvuCC顯然，顯然，Cooper對的對的凝聚主要發(fā)生在費(fèi)凝聚主要發(fā)生在費(fèi)米能米能EF附近附近4. 超導(dǎo)體的元激發(fā)超導(dǎo)體的元激發(fā))(kkkkkksEH從從BCS超導(dǎo)體的對角化哈密頓量超導(dǎo)體的對角化哈密頓量可知，對于可知，對于單準(zhǔn)粒子激發(fā)態(tài)單準(zhǔn)粒子激發(fā)態(tài)0|1 |kk其元激發(fā)能

18、量為：其元激發(fā)能量為：220|01 |1kkkkkkHH在費(fèi)米面上在費(fèi)米面上 ，這時(shí)，這時(shí)0FkFk 是單個(gè)準(zhǔn)粒子激發(fā)所需的最小能量是單個(gè)準(zhǔn)粒子激發(fā)所需的最小能量由于準(zhǔn)粒子算符：由于準(zhǔn)粒子算符： 代表電子與空穴的混合代表電子與空穴的混合kkkkkCvCu當(dāng)元激發(fā)使系統(tǒng)粒子數(shù)從當(dāng)元激發(fā)使系統(tǒng)粒子數(shù)從NN+1時(shí)，超導(dǎo)體產(chǎn)生時(shí)，超導(dǎo)體產(chǎn)生“電子電子”型元激型元激發(fā)。發(fā)。當(dāng)元激發(fā)使系統(tǒng)粒子數(shù)從當(dāng)元激發(fā)使系統(tǒng)粒子數(shù)從NN-1時(shí)，超導(dǎo)體產(chǎn)生時(shí)，超導(dǎo)體產(chǎn)生“空穴空穴”型元激型元激發(fā)。發(fā)。 實(shí)驗(yàn)上可以通過超導(dǎo)體（實(shí)驗(yàn)上可以通過超導(dǎo)體（S）與正常金屬（）與正常金屬（N）的隧道效應(yīng)，注）的隧道效應(yīng)，注入電子或空穴

19、，形成入電子或空穴，形成“電子電子”型或型或“空穴空穴”型元激發(fā)。型元激發(fā)。EE電子電子-空穴對激發(fā)空穴對激發(fā)激發(fā)一個(gè)粒子到費(fèi)米面以上，激發(fā)一個(gè)粒子到費(fèi)米面以上，保持系統(tǒng)總粒子數(shù)不變。相保持系統(tǒng)總粒子數(shù)不變。相當(dāng)產(chǎn)生兩個(gè)準(zhǔn)粒子激發(fā)，一當(dāng)產(chǎn)生兩個(gè)準(zhǔn)粒子激發(fā)，一個(gè)是個(gè)是“空穴空穴”型的，一個(gè)是型的，一個(gè)是“電子電子”型的。型的。稱為電子稱為電子-空穴對型激發(fā)空穴對型激發(fā)它相當(dāng)于拆開一個(gè)它相當(dāng)于拆開一個(gè)Cooper對對對型激發(fā)：對型激發(fā)：對|0|kk元激發(fā)能量：元激發(fā)能量：kHH20|0|對對最小激發(fā)能量為最小激發(fā)能量為 2 4. 超電流超電流不載流超導(dǎo)態(tài)，每個(gè)不載流超導(dǎo)態(tài)，每個(gè)Cooper對為（對

20、為（k ,-k ), 其總動(dòng)量為：其總動(dòng)量為：0)(kkK由于外場作用相應(yīng)的由于外場作用相應(yīng)的Cooper對變?yōu)椋▽ψ優(yōu)椋╧+ k ,-k+ k ),其總動(dòng)量為：其總動(dòng)量為：質(zhì)心速度為質(zhì)心速度為 ，稱為載流超導(dǎo)態(tài)。，稱為載流超導(dǎo)態(tài)。)2(kKmk* Cooper對運(yùn)動(dòng)的電流密度為：對運(yùn)動(dòng)的電流密度為：mknemkenjs)2(2由于互作用只使（由于互作用只使（k+ k ,-k+ k )的的Cooper對散射為（對散射為（k+ k ,-k+ k )的的Cooper對，總動(dòng)量不變。即使外場撤去，超導(dǎo)體中的組態(tài)保持不變，對，總動(dòng)量不變。即使外場撤去，超導(dǎo)體中的組態(tài)保持不變，因此，超導(dǎo)電流因此，超導(dǎo)電流js將不衰減，說明將不衰減，說明Cooper對所載電流是無阻電流。對所載電流是無阻電流。 超導(dǎo)電流超導(dǎo)電流 js存在一個(gè)上限：存在一