高等數學第一類換元積分ppt課件

1、1.1.不定積分定義不定積分定義3.3.直接積分法直接積分法: :復習復習)()(xfxF 或或那么函數那么函數)(xF稱為稱為)(xf在區(qū)間在區(qū)間I內的原函數內的原函數. . )()(xfxF ddx假設在假設在I I內，內， CxFxf)()( dx那么，那么，2.2.不定積分的性質不定積分的性質0, 021 kk xxgkxxfkxxgkxfk )()()()(2121ddd經過恒等變形，經過恒等變形，方式，方式， 而求出積分的方法而求出積分的方法. .把積分化成公式中有的把積分化成公式中有的4.4.兩個微分式子兩個微分式子(1)adx =d(ax),(2)dx=d(x+b).一切原函數

2、一切原函數叫不定積分叫不定積分. .5.5.根本積分公式根本積分公式;arctanCx ;arcsinCx CCx 11 );1( 12345 xd0 dxx xxd112 xxd112 xxdCx ln;cosCx ;sinCx ;tanCx ;cotCx ;secCx ;cscCx ;Cex ;lnCaax 根根本本積積分分公公式式表表(1(1) )6 xxdsin7 xxdcos8 xx2cosd9 xx2sind 10 xxxdtansec11 xxxdcotcsc12 xexd13 xaxd問題問題,2sinCx 經檢驗是錯誤的經檢驗是錯誤的緣由：緣由：Cxxx sincos d x

3、x 2cosd所以所以 xx 2cosd)22cos21xx ( d.2sin21Cx 令令tx 2Ct sin21ttdcos21 普通地，普通地，假假設設,)(d)( CxFxxf能否有能否有 CuFuuf)()( d成立呢？成立呢？ 這里這里)(xu xxfxF )()( dd，uufuF )()( dd那么有積分定義，那么有積分定義，CuFuuf )()( d即為積分方式的不變性即為積分方式的不變性當當)(xu 時，時，.)(CxF )(xf uuf )(dCuF )(由此可得換元法定理由此可得換元法定理d)(x )(xf d xx )( 普通地，普通地，假假設設,)(d)( CxFx

4、xf能否有能否有 CuFuuf)()( d成立呢？成立呢？ 這里這里)(xu 定理定理1 1假假設設CxF )( 令令ux )( CuF )(回代回代)(xu 關鍵：關鍵： 將將化為：化為：那么有換元公那么有換元公式式)(xu 可導，可導，4-2 4-2 第一類換元積分法第一類換元積分法， CuFuf)()( du )(xgdx )(ufdu )(xgdx )(xf d)(x )(xf d xx )( d )(xf xx )( ( (第一類換元積分法第一類換元積分法) )解解ux 2令令.2sinCx C usin xu 2 回代回代令令ux 13uln31 C 回代回代13 xu.13ln3

5、1Cx 例例1 1求求 x2cos2dx. x2cos2dx )2(2cosxxdx ucosdu解解例例2 2求求xxd131 31 u131du x2cosd(2x) 13 x xxd131) 13( d xC 解解令令uax uln axu 回代回代.lnCax 普通地：普通地： )(baxf2xe .C 例例3 3求求 ax1dx. ax1dx ax1d(x-a) u1du )(baxfdx解解例例4 4 求求 22xxedx. 22xxedx 2xed)(bax a1d)(2x解解原式原式= =.1sinCx 解解原式原式= =.)1 (31232Cx 普通地：普通地： )(1mxf

6、例例5 5 xx1cos12求求dx. x1cosd例例6 6求求 21xxdx.21 dd)(1 mx )(1mxfdxmx11 m x21-( ) 212)1 (x)1(x 解解.coslnCx 即即類似地：類似地：解解原式原式= =.323Cex 例例7 7 xtan求求dx. xtandx xxcossindx xxcos)(cos dCxx coslntan dxCxxx sinlndcot例例8 8xex31 求求dx.)(23 xex d)3(3123 xex d解解xuln21 Cu ln21.ln21ln21Cx 例例9 9 求求.d)ln21(1xxx )ln21(1xxd

7、x)(lnln211xx d)ln21(ln21121xx d u121du解解Cx )1sin(2 )1sin(2Cx )1sin(2)1sin(22xx )1sin(22)1cos(22xxx .)1sin()1cos(22xxx 現實上現實上: : )1sin()1cos(22xxxdx例例1010求求 )1sin()1cos(22xxxdx.)1 ()1sin()1cos(21222xxx d )1sin()1sin(212212xx d闡明：闡明：微分運算與積分運算互為逆運算微分運算與積分運算互為逆運算. .關鍵：關鍵：所以，所以，原式原式= =Caxa arctan1即即解解例例1

8、111求求 221xa) 0( adx. 22)(11axadx 2)(1)(1axaxa dCaxaxa arctan1122 dx把所求積分把所求積分 湊成湊成 )(xgdx )(xf d.)(xx 第一類換元積分法也叫湊微分法第一類換元積分法也叫湊微分法. .原式原式= =arcsinxCa 即即解解例例1212求求221dxax ) 0( a211 ( )axa dx2 d( )1 ( )xaxa 221darcsin.xxCaax 例例13 13 求求解解.32d2 xxx原式原式= = 2)21(1d21xx 2)1(2dxx 2)21(1)21d(221xx.21arctan22

9、Cx 解解.ln21Caxaxa Caxaxa lnln21例例14 14 求求).0(122aax dx 221axdx )(1axaxdx 1121axaxadx 1121 axaxadxdxCaxaxaax ln21122 dx即即例例15 15 求求解解.32d2 xxx原式原式= = )1)(3(dxxxxxxd)3111( 41)3d(3141)1d(1141 xxxxCxx 3ln411ln41.31ln41Cxx .dxeeeexxxx 例例16 16 求求解解 xeeeexxxxd xxxxeeee)d(.)ln(Ceexx 思索題：思索題：.dcos11)2(xx ,d11

10、)1(xex 求求答案：答案：,)1ln()1(Cexx 增減項后，湊微分增減項后，湊微分.方法：方法：.2tan)2(Cx 2cos2cos12xx 利用利用解解),cos()cos(21coscosBABABA ),5cos(cos212cos3cosxxxx .5sin101sin21Cxx 例例17 17 求求.d2cos3cosxxx xx2cos3cosdxdx )5cos(cos21xx變形方法：變形方法：積化和差積化和差.解解Cx 2tanln.cotcsclnCxx 運用了三角函數恒等變形運用了三角函數恒等變形例例18 18 求求 xcscdx xcscdx xxdsin1x

11、xxd2cos2sin21 )2()2(cos2tan12 xxx d )2(tan2tan1xx d xcsc.cotcsclnCxx dx所以所以(一一) 2cos2sin2tanxxx xxsincos1xxcotcsc xxcos1sin 2cos22cos2sin22xxx2cos2sin2xx 解二解二xucos Cuu 11ln21 Cxxcos1cos1ln21類似地可推出類似地可推出 xcscdx xsin1dx xx2sinsindx )(coscos112xx d 112udu.tanseclnsec Cxxx dx.cotcsclnCxx 解解 d2cosd121xxx

12、例例1919 求求.dcos2xx xxdcos2)2(d2cos2121xxx Cxx)2sin21(21.2sin4121Cxx xx d)2cos1(21解解 ( (一一) )Cxx 64tan61tan41解解 ( (二二) ).sec41sec6146Cxx 察看重點不同，所得結論不同察看重點不同，所得結論不同. .原式原式原式原式= =例例20 20 求求.dcossin2xxx )(tandtan sec32xxx)(tan)tan1 (tan23xxx d )(tand)tan(tan53xxx )(secdsectan32xxx )(secdsec) 1(sec32xxx )(secd)sec(sec35xxx.dtansec34xxx 根根本本積積分分表表(2)(2)第一類換元法第一類換元法( (湊微分法湊微