5.3中心極限定理

1、 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的學(xué)科性的學(xué)科. 隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)才會(huì)呈現(xiàn)出來(lái)進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)才會(huì)呈現(xiàn)出來(lái). 也就是說(shuō)，也就是說(shuō)，要從隨機(jī)現(xiàn)象中去尋求必然的法則，應(yīng)該研究大要從隨機(jī)現(xiàn)象中去尋求必然的法則，應(yīng)該研究大量隨機(jī)現(xiàn)象量隨機(jī)現(xiàn)象. 研究大量的隨機(jī)現(xiàn)象，常常采用極限形式，由研究大量的隨機(jī)現(xiàn)象，常常采用極限形式，由此導(dǎo)致對(duì)極限定理進(jìn)行研究此導(dǎo)致對(duì)極限定理進(jìn)行研究. . 極限定理的內(nèi)容很廣極限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有兩種泛，其中最重要的有兩種: :與與大數(shù)定律大數(shù)定律

2、中心極限定理中心極限定理 設(shè)設(shè)m是是n重貝努利試驗(yàn)中事件重貝努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，發(fā)生的次數(shù)，p是事件是事件A發(fā)生的概率，則對(duì)任給的發(fā)生的概率，則對(duì)任給的 0，定理定理1（貝努利大數(shù)定律）（貝努利大數(shù)定律）或或1)|(|lim pnmPn0)|(|lim pnmPn 貝努利大數(shù)定律表明，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)貝努利大數(shù)定律表明，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n充分充分大時(shí)，事件大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率m/n會(huì)靠近事件會(huì)靠近事件A的概率的概率p5.2 大數(shù)定律大數(shù)定律 設(shè)設(shè) X1,X2, 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，EXi =, DXi=2 ，i=1,2, ，定理定理2 （切比

3、雪夫大數(shù)定律）（切比雪夫大數(shù)定律） niinXnP11)|1(|lim 則對(duì)任意的則對(duì)任意的0， 定理定理2表明，獨(dú)立隨機(jī)變量序列表明，獨(dú)立隨機(jī)變量序列Xn, 如果方差如果方差存在，則存在，則與其數(shù)學(xué)期望與其數(shù)學(xué)期望 偏差很小的概率偏差很小的概率接近于接近于1. 取值非常接近于其數(shù)學(xué)期望取值非常接近于其數(shù)學(xué)期望.即當(dāng)即當(dāng)n充分大時(shí)，充分大時(shí)，差不多不再是隨機(jī)的了差不多不再是隨機(jī)的了, niiXn11 niiXn11 中心極限定理的客觀背景中心極限定理的客觀背景 在實(shí)際問(wèn)題中，常常需要考慮許多隨機(jī)因素在實(shí)際問(wèn)題中，常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生總影響所產(chǎn)生總影響. 例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏

4、差，就受例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機(jī)因素的影響著許多隨機(jī)因素的影響.5.3 中心極限定理空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，對(duì)我們來(lái)說(shuō)重要的是這些對(duì)我們來(lái)說(shuō)重要的是這些隨機(jī)因素的總影響隨機(jī)因素的總影響.如瞄準(zhǔn)時(shí)的誤差，如瞄準(zhǔn)時(shí)的誤差，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等.，設(shè)炮彈落點(diǎn)的偏差為設(shè)炮彈落點(diǎn)的偏差為 X總和，總和，它是許多隨機(jī)小誤差的它是許多隨機(jī)小誤差的 niiXX1即即.,相互獨(dú)立相互獨(dú)立而且而且iX隨機(jī)變量和的分布隨機(jī)變量和的分布的分布就是要討論獨(dú)立的分布就是要討論獨(dú)立因此要討論因此要討論X 由于無(wú)窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于由于無(wú)

5、窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于，故我們，故我們不研究不研究n個(gè)隨機(jī)變量之和本身而考慮它的個(gè)隨機(jī)變量之和本身而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)化的隨的隨機(jī)變量機(jī)變量的分布函數(shù)的極限的分布函數(shù)的極限. niininiiinXDXEXY111)()( 可以證明，滿足一定的條件，上述極限分布可以證明，滿足一定的條件，上述極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. 定理定理1（獨(dú)立同分布下的中心極限定理）（獨(dú)立同分布下的中心極限定理） 設(shè)設(shè)X1,X2, 是是獨(dú)立同分布獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且的隨機(jī)變量序列，且EXi = ，DXi =2 ，i=1,2,，則，則)(lim)(lim1xnnXPxFniinnn )(x 滿足滿足

6、對(duì)對(duì)的分布函數(shù)的分布函數(shù)xxFnnXXDXEXYnniiniininiiin )()()(1111 雖然在一般情況下，我們很難求出雖然在一般情況下，我們很難求出X1+X2+ +Xn 的分布的確切形式，但當(dāng)?shù)姆植嫉拇_切形式，但當(dāng)n很大時(shí)，可以求出近似分很大時(shí)，可以求出近似分布布.即當(dāng)即當(dāng)n充分大時(shí)，充分大時(shí)，n個(gè)個(gè)獨(dú)立同分布獨(dú)立同分布的的r.v之和近似服從標(biāo)之和近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布準(zhǔn)正態(tài)分布.)(x )(1xnnXPnnii 很大時(shí)，很大時(shí)，它表明，當(dāng)它表明，當(dāng))(x )(1xXPnii 則則)(nnx )(lim)(lim1xnnXPxFniinnn 例例1 根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某種電器元件的壽命服

7、從均值為根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某種電器元件的壽命服從均值為100小時(shí)的指數(shù)分布小時(shí)的指數(shù)分布. 現(xiàn)隨機(jī)地取現(xiàn)隨機(jī)地取16只，設(shè)它們的壽命只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的是相互獨(dú)立的. 求這求這16只元件的壽命的總和大于只元件的壽命的總和大于1920小小時(shí)的概率時(shí)的概率.由題給條件知，由題給條件知，Xi獨(dú)立同分布，獨(dú)立同分布，解解: 設(shè)第設(shè)第i只元件的壽命為只元件的壽命為Xi , i=1,2, ,16EXi=100, DXi=10000)(1xXPnii )(nnx =1- - (0.8)=1- -0.7881=0.2119)40016001920(1 )1920(1)1920(161161 iiiiXPX

8、P則則定理定理2( (棣莫弗拉普拉斯定理）棣莫弗拉普拉斯定理） 定理表明，當(dāng)定理表明，當(dāng)n很大，很大，0p1是一個(gè)定值時(shí)，是一個(gè)定值時(shí)，有有則對(duì)則對(duì)，設(shè)設(shè)xppnBZn , 10),()1(limxpnpnpZPnn )(x 下面介紹的下面介紹的棣莫弗拉普拉斯定理棣莫弗拉普拉斯定理（二項(xiàng)分布收（二項(xiàng)分布收斂于正態(tài)分布）是上述定理的特殊情況斂于正態(tài)分布）是上述定理的特殊情況.即二項(xiàng)分布近似于正態(tài)分布即二項(xiàng)分布近似于正態(tài)分布)(xZPn 則則)1(pnpnpx knkbkaknnppCbZaP )1()()(xZPn )1(pnpnpx )1()1(pnpnpapnpnpb )(計(jì)算繁瑣！計(jì)算繁瑣

9、！)(查表即可！查表即可！)()(aZPbZPnn 例例2 某車間有某車間有100臺(tái)車床臺(tái)車床, 設(shè)開(kāi)工率為設(shè)開(kāi)工率為0.8, 并設(shè)每臺(tái)并設(shè)每臺(tái)車床的工作是獨(dú)立的，求在某時(shí)刻同時(shí)開(kāi)工的臺(tái)數(shù)車床的工作是獨(dú)立的，求在某時(shí)刻同時(shí)開(kāi)工的臺(tái)數(shù)在在70到到86之間的概率之間的概率.解解：用用X表示在某時(shí)刻工作著的車床數(shù)，表示在某時(shí)刻工作著的車床數(shù)， 則則 XB(100,0.8)由棣莫弗由棣莫弗- -拉普拉斯極限定理拉普拉斯極限定理P(70X86)48070()48086( 這里這里 np=80, np(1- -p)=16)(bZaPn )1()1(pnpnpapnpnpb )5 . 2()5 . 1( 9

10、27. 0)5 . 2(1)5 . 1( 例例2 某車間有某車間有200臺(tái)車床臺(tái)車床, 設(shè)開(kāi)工率為設(shè)開(kāi)工率為0.6, 并設(shè)每臺(tái)并設(shè)每臺(tái)車床的工作是獨(dú)立的，且在開(kāi)工時(shí)需電力車床的工作是獨(dú)立的，且在開(kāi)工時(shí)需電力1千瓦千瓦.問(wèn)應(yīng)供應(yīng)多少千瓦電力就能以問(wèn)應(yīng)供應(yīng)多少千瓦電力就能以99.9%的概率保證該的概率保證該車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)?用用X表示在某時(shí)刻工作著的車床數(shù)，表示在某時(shí)刻工作著的車床數(shù)，P(XN)0.999的最小的的最小的N.要求滿足要求滿足解解：設(shè)需：設(shè)需N千瓦電力，千瓦電力， 對(duì)每臺(tái)車床的觀察作為一次試驗(yàn)，對(duì)每臺(tái)車床的觀察作為一次試驗(yàn)，每次試驗(yàn)觀每次試驗(yàn)觀察該臺(tái)車床是否工作，察該臺(tái)車床是否工作， 工作的概率為工作的概率為0.6，共進(jìn)行，共進(jìn)行200次試驗(yàn)次試驗(yàn). 則則 XB(200,0.6)由棣莫弗由棣莫弗- -拉普拉斯極限定理拉普拉斯極限定理P(XN)48120( N這里這里 np=120, np(1- -p)=48查正態(tài)分布