高三數(shù)學(xué)教案三角函數(shù)復(fù)習(xí)資料

1、1 1 銳角三角函數(shù)甲、銳角三角函數(shù)的定義 1.在直角中，已知為銳角，。則定義ABC(1)的正弦函數(shù) = (2)的余弦函數(shù) = (3)的正切函數(shù) = (4)的余切函數(shù) = (5)的正割函數(shù) = (6)的余割函數(shù) = 【注】此六種三角函數(shù)值是直角三角形中，邊長的比值，與的大小無關(guān)。例1：在直角中，若，則的六個(gè)三角函數(shù)值？例2：如右圖所示，若，則的六個(gè)三角函數(shù)值？ABC例3：設(shè)為銳角且，試求之值。例4：設(shè)為銳角且，試以表示的其它五個(gè)三角函數(shù)值？例5：設(shè)為銳角且，則乙、特別角的三角函數(shù) 1.(1) (2) (3) 2.此三個(gè)圖形決定特別角的三角函數(shù)，故請牢記圖形之邊角關(guān)系。例6：求下列各式的值： (

2、1) (2) (3) (4) (5)例7：利用圖形關(guān)系，求，之值。丙、三角恒等關(guān)系式 1.倒數(shù)關(guān)系：(1) (2) (3) 2.商數(shù)關(guān)系： (1) (2) 3.平方關(guān)系：(1) (2) (3) 4.余角關(guān)系： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 例8：設(shè)，求例9：設(shè)，求例10：設(shè)為一銳角，若，試求下列各式的值： (1) (2) (3) 例11：設(shè)方程式有一根為，試求例12：設(shè)方程式有一根為，試求例13：試證 例14：試證 例15：試證 【課后練習(xí)】一、單一選擇題： 1、( C )之值為 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解析：原式 2、( B )試問之值為 (A)2 (B)1

3、 (C)0 (D) 解析：由平方關(guān)系知原式 3、( C )已知，則 (A) (B)2 (C)3 (D)1 (E) 解析：利用平方關(guān)系：, 則由倒數(shù)關(guān)系知 4、( C )設(shè)且，則之值等于 (A)8 (B) (C)-2 (D)-1 解析：且可作一直角ABC，并令利用勾股定理可得由銳角三角函數(shù)的定義知因此， 5、( D )下列何者錯(cuò)誤？ (A) (B) (C) (D) (E) 解析： 6、( D )下列各式何者正確？ (A) (B) (C) (D) (E) 解析： 7、( C )若，則等于 (A) (B)1 (C) (D)0 解析：原式 8、( B )設(shè)且，則 (A)1 (B) (C) (D) 解析

4、：, , 如下圖所示： 9、( C )已知，則等于 (A) (B) (C) (D) 解析：如下圖所示：可作一直角ABC，并令利用勾股定理可得再利用銳角三角函數(shù)的定義，得知10、( B )若且在第二象限，則下列何者為正確？ (A) (B) (C) (D) 解析：在第二象限且11、( B )設(shè)，則 (A) (B)2 (C)3 (D)1 (E) 解析：, 則12、( C )為第幾象限角？ (A)一 (B)二 (C)三 (D)四 解析：為第三象限角13、( A )若，則之值為 (A)0 (B)1 (C)2 (D) 解析：則14、( E )的值等于 (A) (B) (C)1 (D) (E)2 解析：15

5、、( A )若三角形之三內(nèi)角分別為，則其三邊長的比為 (A) (B) (C) (D) 解析：由的性質(zhì)知，三邊長的比為16、( A )之值為 (A)-4 (B)-3 (C)-2 (D)0 解析：由倒數(shù)關(guān)系得知因此，原式17、( C )設(shè)，則 (A) (B) (C) (D) 解析：取P(12,5)則故18、( B )若且，求之值 (A) (B) (C) (D) 解析：, , 如下圖所示：19、( C )試問的值等于 (A) (B) (C) (D) 解析：原式20、( C )若三角形之三內(nèi)角分別為，則其三邊長的比為 (A) (B) (C) (D) 解析：由的性質(zhì)知，三邊長的比為21、( C )求 (

6、A) (B) (C) (D) 解析：原式22、( A )設(shè)，下列敘述何者為真？ (A) (B) (C) (D) 解析：因此，23、( D )之值為 (A) (B) (C) (D) 解析：24、( C )下列各式何者錯(cuò)誤？ (A) (B) (C) (D) (E) 解析：, , , , 25、( A )設(shè)，且，則之值為 (A)1 (B) (C) (D) 解析：由平方關(guān)系知?jiǎng)t26、( C )若為銳角，則下列敘述何者錯(cuò)誤？ (A) (B) (C) (D) 解析：之值為大于0的實(shí)數(shù)，但不一定大于1如：27、( B )若，且。已知，則 (A) (B) (C) (D) 解析：, , , 28、( A )求

7、(A) (B) (C) (D) 解析：原式29、( D )已知且為第四象限角，則 (A) (B) (C) (D) 解析：為第四象限角, 利用平方關(guān)系得再利用商數(shù)關(guān)系得知30、( E )下列各敘述何者錯(cuò)誤？ (A) (B) (C) (D) (E) 解析：31、( A )設(shè)為二次方程式之二根，則之值為 (A) (B) (C) (D) 解析：由根與系數(shù)的關(guān)系知：又則因此32、( D )假設(shè)，且，則下列何者正確？ (A) (B) (C) (D) 解析：則又因此33、( D )已知，則的值等于 (A) (B) (C) (D) (E) 解析：利用商數(shù)關(guān)系：原式34、( C )若為銳角，且，下列何者不正確？

8、 (A) (B) (C) (D) (E) 解析：作一直角三角形ABC, 設(shè)利用勾股定理，可得由銳角三角函數(shù)的定義得知35、( A )若為第三象限角，且，則之值等于 (A) (B) (C) (D) 解析：為第三象限角。, 又36、( A )之值為 (A)1 (B)2 (C)0 (D)-1 解析：原式37、( A )，且(其中p, q互質(zhì))，則下列何者錯(cuò)誤？ (A) (B) (C) (D) 解析：則因此38、( B )化簡 (A)0 (B)1 (C)2 (D)-1 解析：原式39、( D )設(shè)為任意一有向角，若的最小正同界角為，則的最大負(fù)同界角為 (A) (B) (C) (D) 解析： 最大負(fù)同界

9、角為40、( B )設(shè)為第二象限角，則下列何者錯(cuò)誤？ (A) (B) (C) (D) 解析：在第二象限41、( B )求 (A) (B) (C) (D) 解析：原式二、填充題： 1、設(shè)，且，求之值為_。答案：解析：, 又則因此故 2、設(shè)且，則角度是第_象限角？答案：四解析： 3、設(shè)，求之值為_。答案：解析：則 4、ABC中，若，且，求(1)_；(2)_。答案：17；解析：利用勾股定理可得再由銳角三角函數(shù)的定義知 5、已知，則_。答案：解析：如下圖所示： 6、如下圖，已知，且，則_。答案：解析：則利用勾股定理得知：再由銳角三角函數(shù)的定義可得 7、若三角形之三內(nèi)角分別為，其三邊長比為，則_。答案：

10、解析：由的性質(zhì)知，三邊長的比為 8、設(shè)，則之值為_。答案：解析：則 9、設(shè)，且，求_。答案：1解析：且作直角ABC，令利用勾股定理可得再由銳角三角函數(shù)的定義得知10、已知，則_。答案：3解析：由平方關(guān)系知：因此，11、化簡之值為_。答案：解析：原式12、等于_。答案：解析：原式13、若三角形之三內(nèi)角分別為，其三邊長比為，則_。答案：解析：由的性質(zhì)知，三邊長的比為14、求之值為_。答案：解析：原式15、若且，則之值等于_。答案：解析：, , 如下圖所示：16、設(shè)，若，求之值為_。答案：解析：則(不合)如下圖所示：作直角ABC，令利用勾股定理得再由銳角三角函數(shù)的定義知17、若，則之值為_。答案：解

11、析：則因此，18、，且在第四象限，則(1)_；(2)_。答案：(1)(2)解析：如下圖所示：19、求_。答案：4解析：原式20、求之值為_。答案：解析：原式21、設(shè)為銳角，且，求之值為_。答案：解析：為銳角，且, 原式22、已知，則之值為_。答案：解析：則因此23、求_。答案：解析：原式24、若在第三象限內(nèi)，則在第_象限內(nèi)。答案：二解析：又, , 因此25、設(shè)，且，求_。答案：解析：作直角ABC，令利用勾股定理得知再由銳角三角函數(shù)的定義知26、設(shè)，且，則之值為_。答案：解析：且作直角ABC，令利用勾股定理得再由銳角三角函數(shù)的定義得知27、設(shè)，則_。答案：解析：, , 如下圖所示：28、，求之值

12、為_。答案：2解析：原式29、已知，則_。答案：4解析：原式30、設(shè)，則_。答案：2解析：則故31、設(shè)，且，則之值為_。答案：解析：如下圖所示：32、已知，求之值等于_。答案：8解析：由平方關(guān)系知原式33、求4_。答案：解析：原式【參考答案】一、單一選擇題：1.C 2.B 3.C 4.C 5.D 6.D 7.C 8.B 9.C 10.B 11.B 12.C 13.A 14.E 15.A 16.A 17.C 18.B 19.C 20.C 21.C 22.A 23.D 24.C 25.A 26.C 27.B 28.A 29.D 30.E 31.A 32.D 33.D 34.C 35.A 36.A

13、37.A 38.B 39.D 40.B 41.B二、填充題：(1) (2)第四象限 (3) (4)17； (5) (6) (7) (8) (9) 1(10) 3 (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18)， (19) 4 (20) (21) (22) (23) (24) 二 (25) (26) (27) (28) 2 (29) 4 (30) 2 (31) (32) 8 (33) 1 2 三角測量甲、正弦定律與余弦定律1.面積公式：在中，以分別表示的對邊長，以表示面積，為之外接圓半徑，為之內(nèi)切圓半徑 則 (海龍公式) ； 例1：在中，則之面積？例2：在中，若平

14、分且交于，則？2.正弦定律：在中，以分別表示的對邊長， 則，其中為的外接圓半徑例3：在中，若，試求例4：在中，已知，試求此三角形的外接圓半徑R及c？練習(xí)：在中，已知，試求此三角形的外接圓半徑R及c？ 3.余弦定理：在中，以分別表示的對邊長， 則 例5：若的三邊分別是，試求例6：在中，若，求例7：在中，求例8：在中，試求例9：在中，以分別表示的對邊長，若，試求(1) (2) 例10：(平行四邊形定理) 在中，兩對角線的平方和等于兩鄰邊平方和的兩倍。例11： 在梯形ABCD中，,M為之中點(diǎn)，N為之中點(diǎn)。，求之長？例12：在ABC中，D為之一點(diǎn)。若，求之長？例13：在ABC中，若，求A, B及C。例

15、14：若一三角形的三邊之長為，試求此三角形的最大角的度量。【課后練習(xí)】一、單一選擇題： 1、( B )ABC中，公尺，公尺，則 (A) (B) (C) (D) (E) 解析：由正弦定理得知 2、( C )ABC三邊長，則最大內(nèi)角為 (A) (B) (C) (D) 解析：利用余弦定理得知, 3、( A )在三角形ABC中，若，則下列何者為真？ (A)為最大內(nèi)角 (B) (C) (D) 解析：故 4、( C )在ABC中，若，則的值等于 (A) (B) (C) (D) 解析：則設(shè)利用余弦定理可得 5、( B )一人于某點(diǎn)測得一高樓的仰角為，然后此人向這樓前進(jìn)100 m，再測得其仰角為，則此樓高為

16、(A) (B) (C) (D) 公尺解析：如下圖所示：設(shè)樓高為h (m) 6、( B )在ABC中，已知，則 (A) (B) (C) (D) 解析：利用余弦定理得知又利用正弦定理得知, 7、( C )在ABC中，則等于 (A)4 (B)6 (C)7 (D)9 解析：利用余弦定理得知 8、( A )在三角形ABC中，的對應(yīng)邊分別為a, b, c，若，則等于 (A) (B) (C)4 (D)10 解析：利用余弦定理得知 9、( D )已知三角形的三邊長為5, 6, 7，為三內(nèi)角中最小者，求？ (A) (B) (C) (D) 解析：利用余弦定理得知10、( C )如下圖：地面上二點(diǎn)B, C被一池塘隔

17、開，在地面上找一點(diǎn)A，量得公尺，公尺，并測得，求長為 (A)50公尺 (B)60公尺 (C)70公尺 (D)80公尺 解析：利用余弦定理得知 (公尺)11、( A )在ABC中，則ABC的面積為 (A) (B)3 (C)6 (D) (E)4 解析：ABC的面積12、( D )下列何者為真？ (A)三邊長為3, 4, 5，則其面積為10 (B)三邊長為3, 5, 7，此三角形為銳角三角形 (C)三邊邊長比為，則 (D)三邊長為5, 7, 8，則 解析：(A)面積(B) 故三角形為鈍角三角形(C)設(shè)(D), 13、( E )ABC中，公尺，公尺，則之長為 (A)公尺 (B)公尺 (C)公尺 (D)

18、30公尺 (E)公尺 解析：利用余弦定理可得 (公尺)14、( A )ABC內(nèi)接于半徑為4的圓，則ABC的面積為 (A) (B) (C) (D) 解析：利用正弦定理可得故ABC的面積15、( B )在ABC中，已知，ABC的面積為，則 (A) (B) (C) (D) 解析：利用三角形面積公式得16、( C )在ABC中，則等于 (A) (B) (C) (D) 解析：利用余弦定理得知, 再由正弦定理得知, 17、( B )在ABC中，已知，則 (A) (B) (C) (D) 解析：設(shè)則因此，故18、( D )在ABC中，求的長？ (A) (B) (C) (D) 解析：利用余弦定理得知19、( D

19、 )已知中，則？ (A) (B) (C) (D) 解析：故20、( B )ABC中，求長度？ (A) (B) (C) (D)15 解析：利用正弦定理得知21、( D )一飛機(jī)在高度為公尺的水平面上等速東飛，地面上開始觀測飛機(jī)時(shí)仰角為, 6秒后再觀測仰角只有，則飛機(jī)的速度每秒為 (A)350 (B)300 (C)250 (D)200 公尺解析：設(shè)飛機(jī)的速度為v (m/s)(m/s)22、( A )ABC中，已知，則 (A) (B) (C) (D) 解析：利用正弦定理得知, 故23、( B )邊長為6的正三角形，其面積為 (A)9 (B) (C)18 (D) 解析：面積24、( C )某人在塔前1

20、2公尺處，測得此塔頂?shù)难鼋菫?，塔高?(A)12 (B) (C) (D)4 公尺解析：如下圖所示：設(shè)塔高為公尺(公尺)25、( D )設(shè)ABC中，則ABC外接圓之半徑為 (A) (B) (C)8 (D)4 解析：由正弦定理得知26、( C )已知一三角形的三邊長為13, 14, 15，則其面積等于 (A)16 (B)49 (C)84 (D)91 解析：令利用海龍公式得面積27、( D )在ABC中，則ABC的面積為 (A) (B) (C) (D) 解析：面積28、( C )下列那一組數(shù)是銳角三角形的三邊長？ (A)3, 5, 7 (B)7, 8, 13 (C)5, 7, 8 (D)7, 24,

21、 25 解析：(A)(B)(C)(D)29、( D )ABC中，則為 (A) (B) (C) (D) 解析：利用余弦定理得知, 30、( C )ABC中，則ABC的面積為 (A)8 (B)16 (C) (D) 解析：ABC的面積31、( A )如下圖：是旗桿的影子，今測得，影長為2公尺，則旗桿的長為(已知，用四舍五入法求至小數(shù)第一位) (A)4.3公尺 (B)4.4公尺 (C)4.5公尺 (D)4.6公尺 解析：4.332、( E )平面上一三角形，其三邊邊長比為，設(shè)最大邊所對之角為，則為 (A) (B) (C) (D) (E) 解析：設(shè)三邊長為利用余弦定理得知33、( C )一高樹經(jīng)韋恩臺(tái)風(fēng)

22、吹折后，其樹頂著地處與樹根相距6公尺。若樹末梢經(jīng)吹折后與地平面成角，則原樹高為 (A)公尺 (B)公尺 (C)公尺 (D)公尺 解析：如下圖所示：設(shè)原樹高為公尺(公尺)34、( B )在三角形ABC中，若，則下列何者為真？ (A) (B) (C) (D)以上皆非 解析：設(shè)利用余弦定理得知 35、( D )ABC中，則ABC為 (A) (B) (C) (D) 解析：利用余弦定理得知36、( A )已知三角形的三邊長為5, 6, 7，則此三角形的內(nèi)切圓的半徑等于 (A) (B) (C) (D) 解析：利用海龍公式知令則故內(nèi)切圓半徑37、( C )某人于澄清湖邊測得對岸一建筑物頂端的仰角為，退后30

23、公尺再測得其頂端的仰角為，求此建筑物的高度為 (A) (B) (C) (D) 公尺解析：如下圖所示：設(shè)此建筑物的高度為公尺 (公尺) (公尺)又38、( A )若平行四邊形ABCD中，且，則平行四邊形的面積為 (A) (B)30 (C) (D)60 解析：利用三角形面積公式得知平行四邊形的面積39、( D )在ABC中，下列那一個(gè)敘述是錯(cuò)的？ (A) (B)ABC的面積 (C)，則 (D)若，則 解析：則40、( A )在ABC中，已知，其對應(yīng)邊分別為b, c，若，則 (A) (B) (C) (D) 解析：利用正弦定理得知41、( D )ABC中，若，則 (A) (B) (C) (D) 解析：

24、則42、( A )已知三角形的三邊長為7, 8, 9，則此三角形外接圓的半徑R等于 (A) (B) (C) (D) 解析：令利用海龍公式得43、( D )設(shè)ABC為直角三角形，且D為上一點(diǎn)，已知，, ，其圖形如下所示，則的長度為 (A) (B) (C) (D) 解析：令則二、填充題 1、已知一三角形的三邊長為7, 24, 25，求此三角形的內(nèi)切圓之面積等于_。答案：解析：, 此三角形為直角三角形則面積令，內(nèi)切圓半徑為則故內(nèi)切圓面積 2、在ABC中，其對邊分別為a, b，而，則_。答案：2解析：利用正弦定理得知, 3、ABC中，已知，且為ABC外接圓的直徑，而，則_。答案：解析：由圓內(nèi)接三角形性

25、質(zhì)知：為直徑，則利用正弦定理知：, 4、ABC中，若，則_。答案：解析： 5、已知ABC內(nèi)接于半徑為3的圓，且，則_度。答案：解析：利用正弦定理得知 6、已知三角形的三邊邊長為6, 7, 9，且設(shè)最大內(nèi)角為，則(1)_ (2)其面積等于_。答案：(1)21(2)解析：(1)利用余弦定理得知 故(2)令利用海龍公式得面積 7、將一根長60公分的鐵線直立于墻角，C為上一點(diǎn)，今自C向下彎折使另一端B著地，其著地點(diǎn)為D且鐵線與地面的夾角為，請問你應(yīng)在離地面_公分處彎折此一鐵線。答案：20解析：如下圖所示：設(shè)應(yīng)在離地面公分處(公分) 8、在ABC中，若，則_。答案：解析：設(shè)利用余弦定理可得 9、ABC中

26、，已知，且，則_。答案：解析：利用正弦定理得知，故10、山坡與地平面成角，某人從地平面上沿山坡走了400公尺，則他升高_(dá)公尺。答案：解析：如下圖所示：設(shè)此人升高公尺(公尺)11、ABC中，若，求_。答案：解析：12、某甲要測量山高但受地形限制，于是想出一測度方法如下：當(dāng)他站于A點(diǎn)時(shí)，測量山頂B的仰角，然后向山腳水平前進(jìn)400公尺后，到達(dá)C點(diǎn)，測得山頂B的仰角，求山高為_。答案：公尺解析：如下圖所示：(1)在BCD中 (2)在ABD中，, (公尺)13、ABC中，求長度為_。答案：解析：利用正弦定理得知14、邊長為6公分的正三角形，其外接圓半徑等于_。答案：公分解析：利用正弦定理得知, 15、ABC中，已知，則第三邊長為_。答案：解析：利用余弦定理得知16、ABC中，若，則_。答案：解析：17、三角形三邊長為5, 6, 7，則此三角形的面積為_。答案：解析：令利用海龍公式得面積18、一等腰三角形之兩底角為，且兩腰長為6公分，則三角形的面積等于_。答案：平方公分解析：頂角利用三角形面積公式得面積19、一等腰三角形的頂角為，面積為，則兩腰長為_。答案：6解析：設(shè)兩腰長為則, 20、在ABC中，已知，且，則_。答案：2解析：利用余弦定理得21、在ABC中，若，則_。答案：解析：設(shè)利用余弦定理得知故22、甲、乙