chapt08-分離變量法(6學(xué)時(shí))

1、Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT第八章 分離變量法本章中心內(nèi)容本章中心內(nèi)容用分離變量法求解各種有界問題；用分離變量法求解各種有界問題；本章基本要求本章基本要求n掌握有界弦的自由振動(dòng)解及其物理意義掌握有界弦的自由振動(dòng)解及其物理意義n著重掌握分離變量法的解題思路、著重掌握分離變量法的解題思路、 解題步驟及其核心問題解題步驟及其核心問題-本征值問題本征值問題Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT問題的引入問題的引入 2,0,0ttxxtua uu xxuxx,0 xtxx (

2、1)(2)(3)行波法行波法達(dá)朗貝爾公式達(dá)朗貝爾公式 1,22x atx atxatxatu x tda Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 前一章所講的行波法，適用范圍會(huì)受到一定限前一章所講的行波法，適用范圍會(huì)受到一定限制本章介紹的制本章介紹的分離變量法分離變量法（又稱為本征函數(shù)展（又稱為本征函數(shù)展開法）是開法）是解偏微分方程定解問題最常用的重要方解偏微分方程定解問題最常用的重要方法法 其基本思想其基本思想是把偏微分方程分解為幾個(gè)常微分是把偏微分方程分解為幾個(gè)常微分方程，其中有的常微分方程帶有附加條件從而構(gòu)方程，其中有的常微分方

3、程帶有附加條件從而構(gòu)成本征值問題成本征值問題 Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT8.1 分離變量理論 11111( , )( , )( , )( , )( , )0 xxyyxyA x y uC x y uD x y uE x y uF x y u8.1.1 8.1.1 偏微分方程變量分離及條件偏微分方程變量分離及條件 對于一個(gè)給定的偏微分方程實(shí)施變量分離應(yīng)該對于一個(gè)給定的偏微分方程實(shí)施變量分離應(yīng)該具備什么條件？具備什么條件？假設(shè) （8.1.2）的解有下列分離的形式 ( , )( ) ( )u x yX x Y y11111( ,

4、 )( , )( , )( , )( , )0A x y X YC x y XYD x y X YE x y XYF x y XYChang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT1. 1. 常系數(shù)偏微分方程常系數(shù)偏微分方程,X Y若（若（.4）的系數(shù)均為常數(shù)，并分別用小寫的）的系數(shù)均為常數(shù)，并分別用小寫的 , , , ,a c d e f代表代表 11111,A C D E F，將方程兩邊同將方程兩邊同除以除以XY, XY, 則則0XYXYacdefXYXYaXdXcYeYfXY Chang-Kui Duan, Institut

5、e of Modern Physics, CUPT要等式恒成立，只能它們等于一個(gè)既不依賴于x,也不依賴于y的常數(shù)，記為 ，從而得到兩個(gè)常微分方程0()0aXdXXcYeYfYChang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT對于變系數(shù)函數(shù)對于變系數(shù)函數(shù) 111( , ),( , ),( , ),A x y C x y D x y ，假設(shè)存在某一個(gè)函數(shù)，假設(shè)存在某一個(gè)函數(shù) ( , )0P x y ，使得方程除以使得方程除以( , )P x y后變?yōu)榭煞蛛x的形式后變?yōu)榭煞蛛x的形式112233( )( )( )( ) ( )( )0a x X Yb y

6、 XYa x XYb y XYa xb y XYChang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT上式要上式要恒成立恒成立，只有它們均等于，只有它們均等于同同一個(gè)常數(shù)一個(gè)常數(shù)，記為，記為 112233( )( )( )( ) ( )( )0a x X Yb y XYa x XYb y XYa xb y XY123123()XXYYaaabbbXXYY ，從而得到兩個(gè)，從而得到兩個(gè)123123()0;()0a Xa XaXbYb YbYChang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT由以上討論知道：

7、對于常系數(shù)二階偏微分齊次方程，總是能實(shí)施變量分離 需要滿足一定的條件，即必須找到討論需要滿足一定的條件，即必須找到討論2 2中適當(dāng)中適當(dāng)?shù)牡?函數(shù)函數(shù)才能實(shí)施變量分離才能實(shí)施變量分離 但對于變系數(shù)的二階偏微分齊次方程但對于變系數(shù)的二階偏微分齊次方程 ( , )P x yChang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT第一類邊界條件第二類邊界條件( )|,x lu x |, x lux 8.1.2 8.1.2 邊界條件可實(shí)施變量分離的條件邊界條件可實(shí)施變量分離的條件|x luhuxChang-Kui Duan, Institute of Mode

8、rn Physics, CUPT假設(shè)具體定解問題（以弦的橫振動(dòng)為例）的邊界假設(shè)具體定解問題（以弦的橫振動(dòng)為例）的邊界條件為齊次的：條件為齊次的： (0, )0, ( , )0utu l t( , )( ) ()u xtX xT t(0) ( ) 0, ( ) ( ) 0XT tX l T tChang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT可見，只有當(dāng)邊界條件是齊次的，方可分離出單變可見，只有當(dāng)邊界條件是齊次的，方可分離出單變量未知函數(shù)的邊界條件此外，進(jìn)行分離變量時(shí)，量未知函數(shù)的邊界條件此外，進(jìn)行分離變量時(shí)，還須根據(jù)具體情況確定直角坐標(biāo)系，球坐標(biāo)

9、系以及還須根據(jù)具體情況確定直角坐標(biāo)系，球坐標(biāo)系以及柱坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系( , )u x t( )0T t 須須(0)0, ( )0XX lChang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT8.2直角坐標(biāo)系中的分離變量法 8.2.1 8.2.1 分離變量法介紹分離變量法介紹例例.1：具體考慮長為：具體考慮長為l，兩端固定的均勻弦的自，兩端固定的均勻弦的自由振動(dòng)由振動(dòng)泛定方程泛定方程 初始條件初始條件 02xxttuau(0, 0)xlt（.）00,0 xxluu(0)t （.）00( ),( )tttux u

10、x)0(lx （.） Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 【解】解】 第一步：分離變量第一步：分離變量用分離變量法求解定解問題，具體分如下四個(gè)步驟：用分離變量法求解定解問題，具體分如下四個(gè)步驟：變量分離形式的試探解變量分離形式的試探解 ( , )( ) ( )u x tX x T t代入代入（.）和和（.）: :2( )( )( ) ( )0X x Tta Xx T t2( )( )( )( )XxTtXxa T t寫為寫為Chang-Kui Duan, Institute of Mode

11、rn Physics, CUPT偏微分方程分離成兩個(gè)常微分方程偏微分方程分離成兩個(gè)常微分方程: :2( )( )0TtaT t(8.2.4)(8.2.4)( )( )0XxX x(8.2.5)(8.2.5)(0) ( )0( ) ( )0XT tX l T t(8.2.6)(8.2.6)( )0T t 0)0(X0)(lX（.7） 單的單的結(jié)論，而非齊次邊界條件需要轉(zhuǎn)化為齊次邊界條件結(jié)論，而非齊次邊界條件需要轉(zhuǎn)化為齊次邊界條件 Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT第二步：求解本征值（或稱為固有值）問題第二步：求解本征

12、值（或稱為固有值）問題上面推導(dǎo)的方程上面推導(dǎo)的方程0 XX （.5） (0)0,X0)(lX（.7）三種可能逐一加以分析三種可能逐一加以分析000（.5），將），將本征值本征值 不能任意取，只能根據(jù)邊界條件（不能任意取，只能根據(jù)邊界條件（.7）取某些特定值。取某些特定值。Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT（.5）的解為）的解為 （）（）0 xxeCeCxX21)(1C2C和和由（由（.）確定，即有）確定，即有. 0, 02121lleCe

13、CCC由此解出由此解出0, 021CC0)(xX0)()(),(tTxXtxu0被排除被排除 Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT（）（）0方程（方程（.5）的解是）的解是21)(CxCxX解出解出1C2C和和由（由（.7）確定，即）確定，即 21200CC lC0, 021CC0)(xX0 XTu0也被排除也被排除 Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT（.5）的解）的解xCxCxXsincos)(21120sin0CCl如

14、如 0sinl，則仍然解出，則仍然解出 0, 021CC0),(txu01C2C和和Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT只剩下一種可能性： 0sin, 01lCln222nnl), 3 , 2 , 1(n（.8）2( )sinnn xXxCl( )sinnn xXxl（.9）正是傅里葉正弦級(jí)數(shù)的基本函數(shù)族）正是傅里葉正弦級(jí)數(shù)的基本函數(shù)族n對應(yīng)的函數(shù)為對應(yīng)的函數(shù)為 常數(shù)常數(shù)的這種特定數(shù)值叫作的這種特定數(shù)值叫作本征值本征值，相應(yīng)的解叫作，相應(yīng)的解叫作本征函數(shù)本征函數(shù)Chang-Kui Duan, Inst

15、itute of Modern Physics, CUPT第三步：先求特解，再疊加求出通解第三步：先求特解，再疊加求出通解22220nTaTl （.10）方程的解：方程的解：( )cossinnnnn atn atT tABll（.11）( )nT tn，由，由方程（方程（.4）求出相應(yīng)的）求出相應(yīng)的 ( , )cossinsinnnnn atn atn xux tABlll),3,2, 1(n（.12）Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT這就是滿足這就是滿足(8

16、.2.1)(8.2.1)和條件（和條件（.2）的）的通解通解11( , )( , )cossinsinnnnnnn atn atn xu x tux tABlll（8.2.13）Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT初始條件初始條件(8.2.3)(8.2.3)確定疊加系數(shù)確定疊加系數(shù) ,nnA B11sin( )sin( )nnnnn xAxln an xBxll（.14）002( )sind 2( )sindlnlnnAllnBn al (8.2.15)至此，定解問題（至此，定解問題（8.2.18.

17、2.1）-(8.2.3)-(8.2.3)的解已經(jīng)求出的解已經(jīng)求出Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT(2)(2)第二個(gè)限制：二階線性偏微分方程的解，第二個(gè)限制：二階線性偏微分方程的解，不一定是分離變量的乘積形式不一定是分離變量的乘積形式分離變量法是有條件的，會(huì)受到一定的限制分離變量法是有條件的，會(huì)受到一定的限制注意：注意：Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT8.2.2. 解的物理意義特解特解 (8.2.12) (8.2.12) 改寫為改寫為 ,cossinnnnnn xu

18、x tNtl22, arctan, nnnnnnnBn aNABAl (8.2.16)(8.2.16)駐波疊加駐波疊加Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT振幅振幅: : sinnn xNl頻率頻率: : n初位相初位相: : n波節(jié)波節(jié): : 120 ,nlllxlnnn2135,2222nllllxnnnn波腹波腹: :Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT點(diǎn)數(shù)為2，3，4的駐波形狀 0 l / 2l 0 l 圖 14.1 圖8.1Chang-Kui Duan, Inst

19、itute of Modern Physics, CUPT（成倍增長）、位相不同、振幅不同的駐波疊加而成的（成倍增長）、位相不同、振幅不同的駐波疊加而成的 所以分離變量法又稱駐波法各駐波振幅的大小和位相所以分離變量法又稱駐波法各駐波振幅的大小和位相于是我們也可以說解于是我們也可以說解),(txu是由一系列頻率不同是由一系列頻率不同的差異，由初始條件決定，而圓頻率的差異，由初始條件決定，而圓頻率 nn al與初始條件無關(guān)，所以也稱為弦的本征頻率與初始條件無關(guān)，所以也稱為弦的本征頻率 Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT中最小的一個(gè) 稱

20、為基頻，n1al111,sinsinxaux tNtll稱為基波稱為基波 ,432稱為諧頻，稱為諧頻， 相應(yīng)的相應(yīng)的,432uuu稱為諧波稱為諧波 基波的作用往往最顯著基波的作用往往最顯著 Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT2222222uuuuatxyz( , , , )( , , ) ( )u x y z tV x y z T t坐標(biāo)變量和時(shí)坐標(biāo)變量和時(shí)間變量分離間變量分離 2. 2. 三維形式的直角坐標(biāo)分離變量三維形式的直角坐標(biāo)分離變量三維齊次熱傳導(dǎo)方程為例三維齊次熱傳導(dǎo)方程為例: :222222221TVVVka TVxy

21、z Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT在上式中在上式中平方形式平方形式來表示固有值來表示固有值得得 22( )( )0T ta k T t22222220VVVk Vxyz亥姆霍茲方程( , , )( ) ( ) ( )V x y zX x Y y Z z20XYZkXYZ由于上式中函數(shù)的每一項(xiàng)都是單一自變量的函數(shù)由于上式中函數(shù)的每一項(xiàng)都是單一自變量的函數(shù) Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT分離變數(shù)：其中其中 000XXYYZZ2k上面三個(gè)方程，就是上面三個(gè)方程，就是

22、X, Y, ZX, Y, Z的分離方程的分離方程. .這些這些方程的通解是正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的組合而時(shí)間部分的解為:2()( )a tT te 因此，三維形式中熱傳導(dǎo)問題的完整解為因此，三維形式中熱傳導(dǎo)問題的完整解為2(),( , , , )( )( )( )a tl m nlmnlmnu x y z tCeXx Yy Zz Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT8.2.3直角坐標(biāo)系分離變量例題分析 上面我們已經(jīng)研究的例題上面我們已經(jīng)研究的例題8.2.1討論的是兩個(gè)討論的是兩個(gè)邊界點(diǎn)均為邊界點(diǎn)均為第一類齊次邊界條件的定解問題第一類齊次

23、邊界條件的定解問題下下面討論的例題面討論的例題8.2.2是既有第一類，也有第二類齊是既有第一類，也有第二類齊次邊界條件的定解問題；而例題次邊界條件的定解問題；而例題8.2.3討論的是均討論的是均為第二類齊次邊界條件的定解問題，注意到本征為第二類齊次邊界條件的定解問題，注意到本征值和本征函數(shù)的區(qū)別值和本征函數(shù)的區(qū)別Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT22222, (0, ),0 (14.2.17)(0, )( , )0 0 (14.2.18)( ,0)( ), xuuaxl ttxutu l ttu xx (14.2.19)( ,0)

24、( ), (0, ) (14.2.20)tu xxxl例例8.2.2 研究定解問題：研究定解問題： Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT【解】【解】用分離變量法求解用分離變量法求解. 令令( , )() ( ) (14.2.21)u xtT t X x( )( ) 0 (14.2.22)(0)() 0 (14.2.23)X xX xXX l2( )( )0 (14.2.24)T taT t0( )cossinX xAxBx則則方程的解是方程的解是(0)0( )cos0XAX lBlcos0l非零解非零解即即: 1() (0,1,2,

25、 )2lnnChang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT故得到故得到本征值本征值:221() , 0,1,2,2nnnl相應(yīng)的相應(yīng)的本征函數(shù)本征函數(shù)是是21 ( )sin , (0,1,2, )2nnXxxnl1() (0,1,2, )2lnnChang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT將將n代入（代入（8.2.24）解得）解得2121cossin , (0,1,2,)22nnnnnTCatDatnll( , )( )( ) (0,1,2,)nnnu x tT t X xn疊加得疊加得0

26、212121( , ) cossinsin 222nnnnnnu x tCatDatxlllChang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT系數(shù)由定解條件確定傅里葉展開式系數(shù)傅里葉展開式系數(shù)可確定為可確定為021( ,0)( ) sin 2nnnu xxCxl02121( ,0)( ) sin 22tnnnnu xxDaxll0221 ( )sin( )d 2lnnCxx xll0421( )sin d (0,1,2,) (21)2lnnDxx xnnalChang-Kui Duan, Institute of Modern Physics,

27、CUPT例例:熱傳導(dǎo)：設(shè)物體表面溫度保持零度，初始溫度分布為熱傳導(dǎo)：設(shè)物體表面溫度保持零度，初始溫度分布為 ),()0 ,(zyxzyxu【解】解】定解問題為：定解問題為：230000,(0,0,0,0)000( , , )txx ayy bzz ctukuxaybzc tuuuuuuux y z(8.2.36)(8.2.37)(8.2.38)(8.2.39)(8.2.40)Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT(1) 時(shí)空變量的分離： (2) 空間變量的分離空間變量的分離 ： ),()(zyxVtTu 代入方程式，可得：代入方程式，

28、可得：21100 xyzTkTVVVV (8.2.41)( )( , )VX x W y z代入（代入（8.2.41）式及（）式及（8.2.37） 關(guān)于關(guān)于)(xX的常微分方程及邊界條件，構(gòu)成本征值問題：的常微分方程及邊界條件，構(gòu)成本征值問題：Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT同時(shí)， 滿足滿足0,00)(021 axxXXXX( , )W y z20yyzzWWW （8.2.428.2.42）再令再令 ( , )( ) ( )W y zY y Z z可得另外可得另外兩個(gè)本征值問題兩個(gè)本征值問題 和 0, 00)(032byyYYY

29、Y 0, 0003czzZZZZChang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT(3) 求本征值問題求本征值問題 這三個(gè)本征值問題的這三個(gè)本征值問題的本征值本征值與與本征函數(shù)本征函數(shù)分別為：分別為： 22322223222122,sin,(1,2,3,),sin,(1,2,3,),sin,(1,2,3,)nmPnnZz nccmmYy mbbppXxpaa(8.2.43)(8.2.44)(8.2.45)Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT（8.2.468.2.46）本征值相加:222

30、2222pmnpmnabc本征函數(shù)相乘本征函數(shù)相乘: :sin()sin()sin()pmnpmnVxyzabcChang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT(4) 求解關(guān)于 (5) (5) 解疊加起來解疊加起來: :)(tT的的常微分方程常微分方程 ：021TkT2pmnk tpmnpmnTAe21110sin()sin()sin()( , , )pmnk tpmnpmntpmnuA exyzabcux y zChang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT其中其中0008( , , )si

31、n()sin()sin()d d dabcpmnpmnAx y zxyz x y zabcabc 21110sin()sin()sin()( , , )pmnk tpmnpmntpmnuAexyzabcux y zChang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT83 二維極坐標(biāo)系下拉普拉斯方程分離變量 例例 8.3.1 物理模型：物理模型： 帶電的云與大地之間的靜電場近似是勻強(qiáng)靜電場,其電場強(qiáng)度 E E0 是豎直的，方向向下水平架設(shè)的輸電線處于這個(gè)靜電場之中，輸電線是導(dǎo)體圓柱，柱面由于靜電感應(yīng)出現(xiàn)感應(yīng)電荷，圓柱鄰近的靜電場也就不再是勻強(qiáng)的了，如圖8.2所示不過離圓柱“無遠(yuǎn)限遠(yuǎn)”處的靜電場仍保持為勻強(qiáng)的現(xiàn)在研究導(dǎo)體圓柱怎樣改變了勻強(qiáng)靜電場,求出柱外的電勢分布 B A 帶電云 + + + + + + + y x 圖 8.2 Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT解題分析解題分析：首先需要把這個(gè)物理問題表示為定解問題取圓柱的軸為Z軸如果圓柱“無限長”，那么，這個(gè)靜電場的電場強(qiáng)度、電勢顯然與Z坐標(biāo)無關(guān)，我們只需在XY平面上加以研究就行了圖8.2畫出了 XY平面上的靜