數(shù)學物理方程分離變量法研究生高校本科生PPT課件

1、2.1 分離變量法概述 求解數(shù)學物理方程定解問題的主要方法有：分離變量法求解數(shù)學物理方程定解問題的主要方法有：分離變量法(也叫駐波法、富氏級數(shù)法也叫駐波法、富氏級數(shù)法)、行波法行波法(達朗貝爾法達朗貝爾法)、積分變換法、積分變換法、Green函數(shù)法函數(shù)法(鏡象法鏡象法)等等。其中分離變量法等等。其中分離變量法是最常用、最基本和最重要的方法。是最常用、最基本和最重要的方法。 分離變量法的物理背景是波動現(xiàn)象，它的結構特點是時間和空間函數(shù)的乘積形式。分離變量法的物理背景是波動現(xiàn)象，它的結構特點是時間和空間函數(shù)的乘積形式。于是這給我們一個啟示：波動方程的解是否可以具有變量分離形式的解（即時間于是這給我

2、們一個啟示：波動方程的解是否可以具有變量分離形式的解（即時間空間分離）？空間分離）？第1頁/共97頁2.1 分離變量法概述 一、基本思想： 1、利用變量分離形式的解，把求解偏微分方程定解問題化為常微分方程的定解問題； 2、先尋找方程滿足齊次邊界條件的特解，然后利用解的疊加原理求出偏微分方程定解問題的形式解； 3、分離變量法屬于直接求方程特解的方法。第2頁/共97頁2.1 分離變量法概述 分離變量法解題的難易程度與選擇的坐標系有關。 常用的坐標系有： 直角坐標系(笛卡爾坐標系) ：適合于求解區(qū)域為矩形域； 極坐標系：適合于求解區(qū)域為圓形或扇形域； 柱坐標系：適合于求解區(qū)域為圓柱形域； 球坐標系：

3、適合于求解區(qū)域為球形域。 因此，當偏微分方程的研究區(qū)域為矩形、圓形、扇形、圓柱形、球面等區(qū)域時，特別適合使用分離變量法求解。第3頁/共97頁2.1 分離變量法概述 分離變量法解題的求解步驟-五步： (1)分離變量； (2)求解常微分方程的本征值問題(Eigenvalue problem); (3)決定解的基本結構(本征解)； (4)解的疊加； (5)確定方程中的疊加系數(shù)。第4頁/共97頁2.1 分離變量法概述 掌握直角坐標系下使用分離變量法求解偏微分方程的思路和步驟； 掌握直角坐標系下齊次方程、齊次邊界條件下分離變量法的求解方法; 掌握求解非齊次方程的固有函數(shù)法固有函數(shù)法和沖量定理法沖量定理法

4、； 掌握非齊次邊界條件齊次化的方法； 學習其它坐標系下使用分離變量法求解偏微分方程的方法。本章主要內容第5頁/共97頁講解內容安排2.1 分離變量法概述2.2 直角坐標系下的分離變量法 2.2.1 齊次方程定解問題的解法 2.2.2 非齊次方程定解問題的解法 2.2.3 非齊次邊界條件的齊次化 2.2.4 高維定解問題的解法2.3 極坐標系下的分離變量法2.4 Sturm-Liouville問題2.1 分離變量法概述第6頁/共97頁2.2 直角坐標系下的分離變量法2.2.1 齊次方程定解問題的解法20001, 0,0 (1)( )|0, |0,0 (2)|( ), |( ),0 (3)(),i

5、ttxxxx ltttua uxl tuutuxuxxlu x t例：求解有界弦的自、對偏微分方程定由振動解問題滿足第一類齊次邊界條件的定解問題解實施分離變，設量：22)( ) ( ) (4)( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) (5)( )( )X x T tX xT tX x Tta Xx T tXxTtX xa T t其中和是待定函數(shù)。為了求出滿足邊界條件(2)的特解，把(4)代入(1)，得即，第7頁/共97頁2.2.1 齊次方程定解問題的解法22(5),-( )( )- (5)( )( )( )( )0 (6)( )( )0 x tXxTtX xa T tXxX xTt

6、a T t式中的是兩個獨立變量，為了使之成立，只有兩側都等于一個常數(shù)才行，我們把其記為，即 (7)(4)(2) (3)(0) ( )( ) ( )0 (8)( ) (0)( ) (9)( ) (0)( )XT tX l T tX x TxX x Tx把代入定解條件、 ，分別得及2000, 0,0 (1)|0, |0,0 (2)|( ), |( ),0 (3)ttxxxx ltttua uxl tuutuxuxxl第8頁/共97頁2.2.1 齊次方程定解問題的解法( )( )0(0)0,( )0 (10)( ),( )( )0 (6)( )(0)0,( )0 T tT tXX lX xXxX x

7、XX l因為是任意的，故，所以由(8)式得為了確定下一步首要任務就是求解下列常微分方程問題： (10)( )SturmLiouville通常稱定解問題為固有值問題或問題。2000, 0,0 (1)|0, |0,0 (2)|( ), |( ),0 (3)ttxxxx ltttua uxl tuutuxuxxl第9頁/共97頁2.2.1 齊次方程定解問題的解法( )( )0,(6)( ), ,(10)0110ii( )xxllllX xAeBeA BABAeBeee 。目標：選取適當?shù)?，使得具有非零解。稱能夠使具有非零解的常數(shù) 為，相應的非零解為。下面分三種情況進行討論：時 此時)求的通解為其中

8、為任意常數(shù)。把其代入邊界解固有值問題條，數(shù)得數(shù)件固有值(或本征值)固有函(或本征函)AB0( )( )0 (6)(0)0,( )0 (10)XxX xXX l固有值問題第10頁/共97頁2.2.1 齊次方程定解問題的解法1 10 0 ( )000,(6)( ), ,(10)0 00( )00llABeeX xX xAxBA BBABAlBX x 對于這個矩陣方程，其系數(shù)行列式為從而有，故時，方程只有零解， 不可取。時 此時的通解為其中為任意常數(shù)。把其代入邊界條件，得從而有，故時，方程只有零解， 也不可取。( )( )0 (6)(0)0,( )0 (10)XxX xXX l固有值問題AX = 0

9、A0X = 0線性代數(shù)中，對于方程當系數(shù)行列式，則只有第11頁/共97頁2.2.1 齊次方程定解問題的解法( )( )0 (6)(0)0,( )0 (10)XxX xXX l固有值問題2220,(6)( )cossin, ,(10)0 sin0cossin0( )0sin00, (1,2,.) , (1,2,.) nX xAxBxA BABlAlBlX xlBlnnnnl時 此時的通解為(一對共軛復根)其中為任意常數(shù)。把其代入邊界條件，得欲使，必須要求，即保證，于是從而得到了固有值為 (11)( )sin , (1,2,.) (12)nnXxBxnl相應的固有函數(shù)為第12頁/共97頁2.2.1

10、 齊次方程定解問題的解法2222( )(11)(7)( )( )0( )cossin (13)(12) (13)(4)( , )( )( )(cossin)isin i14)(innnnnnnT tnaTtT tln an aT tCtDtlln an anux tXx T tCtDtxlll為了求出，把式代入式求方程滿足邊界條件的特解，得其通解為一對共軛復根，即把、代入式即得。到一族特解，為)nnnnCCBDDB其中的，為任意常數(shù)。2( )( )0 (7)Tta T t222 , (1,2,.) (11)( )sin,(1,2,.) (12)nnnnlnXxBx nl( , )( ) ( )

11、 (4)u x tX x T t設第13頁/共97頁2.2.1 齊次方程定解問題的解法11iv)(14)( , )( , )(cossin)sin (15)(15)( , )(1)( )v)(2nnnnnnnn an anu x tux tCtDtxlllCDu x t一般而言，式特解中的任一個未必滿足初始條件，這些特解一般還不是原定解問題的最終解。令其中的、為待定的任意常數(shù)。根據(jù)疊加原理，由式所確利用疊加原理求出定的函數(shù)也是方程定解問題的滿足形式解確定方邊界條的數(shù)件程中系0101(15)( )( , )(3)|( )sin|( )sintnnttnnu x tnuxCxln anuxDxll

12、的解。欲使式成為定解問題的真正解，還需要使得滿足初始條件，即第14頁/共97頁2.2.1 齊次方程定解問題的解法010100|( )sin|( )sin( )( )sin2( )sin, 1,2,.(16)2( )sintnnttnnlnlnnuxCxln anuxDxllnxxxlFouriernCxxdxllnnDxxdxn al這兩式正好是和關于的正弦展開。根據(jù)級數(shù)展開法則(見下頁附錄)，便可得到定( )(15) (16)解問題的最終解由、式共同確定。end第15頁/共97頁2.2.1 齊次方程定解問題的解法01- , ( )( )(cossin)21( )cos, 0,1,2,.1(

13、)sin, 1,2,.nnnlnllnll lf xannf xaxbxllnaf xxdxnllnbf xxdxnlFour rlie對于周期為的函數(shù)，可以展開為三角函數(shù)級數(shù)：附錄：級數(shù)展開法則其中，第16頁/共97頁2.2.1 齊次方程定解問題的解法1001( )()( )sin (0)2( )sin, 1,2,.( )()( )cos (0)22( )sin, nnnlnnnnnf xodd functionnf xbxalnbf xxdxnllf xeven functionanf xaxblnaf xxdxnllFourier當為奇函數(shù) 時，其系數(shù)為當為偶函數(shù) 時，其系數(shù)為附錄：級數(shù)

14、展開法則001,2,.l，第17頁/共97頁2.2.1 齊次方程定解問題的解法32( )( )( )( )( )( )( )(0)( )(0)( )(0)( )0,( )xxxCxxCxlll對于定解問題，如果初始條件和滿足：，即連續(xù)三次可微， ，即連續(xù)二次可微；即全部符合齊次邊界條件，則定解問題的解是適定的，即解是存在的、唯一的并且穩(wěn)定的。解的存在定理第18頁/共97頁2.2.1 齊次方程定解問題的解法2222(14)( , )()cos(arctan)sin( , )()sincos(arctan)arctannnnnnnnnnnnnDn anux tCDtxlClnux tCDxlDDn

15、 atlCCn al對式可以重寫為代表了一個駐波，代表了弦上各點振動的，代表，其中為，弦振義振幅相位初相固有頻率(本征頻率動的為)。解的物理意( , )( )( )(cossin)sin (14)nnnnnn an anux tXx T tCtDtxlll第19頁/共97頁2.2.1 齊次方程定解問題的解法arctan (0,1,2,.)sinsin0(1)nnmmDn anlCmlnxmxmnln對每個 值，弦上的各點均以相同的頻率和相同的初相位振動。當時，表明這些點振義節(jié)點幅為零，永遠保持不動，這些點稱為節(jié)點包括兩個端點一共是個 ；解的物理意121 (1,2,.)sin221sin1,(2

16、)( , )( , )tanding wavemknnknxl kxnlknnu x tux t 當時，表明這些點振幅達到最大，這些點稱為腹點一共是個 。所以，用方程來描述弦的振動，就表示了一系列振幅不同、頻率不同、相位不點同的駐波(S )的疊加。腹第20頁/共97頁2.2.1 齊次方程定解問題的解法1fundamental wave2secondary harmonic wave/first overtone3triple-harmonic wave/second overtone(.1)( )nnnFigfundamental tone義基波二次諧波三次諧波稱時的駐波為()；時的駐波為()

17、；時的駐波為()；依此類推。弦線上的基波對應弦發(fā)出的最低音，其它頻率均為其整數(shù)倍，音均基解的物理意overtone)n all稱為(。頻率為。我們聽到的音樂是不同頻率聲音的疊加，改變 就可以改變頻率，小提琴、吉他就是通過改變長度而更泛音換聲音的。n=1n=2n=3x=0 x=lfundamentalfirst overtonesecond overtoneFig1. Normal modes of vibration for a standing wave on a string fixed at both ends第21頁/共97頁2.2.1 齊次方程定解問題的解法123、雖然可以使用駐波的

18、思想來幫助理解解題的思路和方法，但分離變量法并不僅僅只適合于表達駐波的傳播，這種方法的求解能力遠大于此。求解其它各種定解問題，如擴散問題、熱傳導問題、溫定場問題等均可以適用。、分離變量法的解題精髓是通過變量分離，把求解偏微分方程的問題化為求解常微分方程的問題。、只有當時，定解問題才可以采用分離變量法求解，否則無效。邊條為齊注意：方程和界件均次第22頁/共97頁2.2.1 齊次方程定解問題的解法利用分離變量法求解定解問題的過程可以條寫邊條齊個驟問題關歸納變題鍵結如下：定解件完整，界件次化，五步 分離量法循序解，固有(值思)解小是路的。對偏微分方程定解問題實施分離變量五個步驟是：求固有值問題(空間

19、變量)求偏微分方程滿足邊界條件的特解(時間變量與固有函數(shù)乘積形式)利用疊加原理求出定解問題的形式解確定系數(shù)第23頁/共97頁第24頁/共97頁第25頁/共97頁第26頁/共97頁第27頁/共97頁第28頁/共97頁2.2.1 齊次方程定解問題的解法20002, 0,0 (1)( )|0,|0,0 (2)|( ), |( ),0 (3i)( , ) ( )(ttxxxxx ltttua uxl tuutuxuxxlu x tX x T t、對偏微分方程例 ：使用分離變量法求解下列定解問題解：，設定解問題實施分離變量22 (4)( )( )(4)(1)( ) ( )( ) ( )( )( )()

20、(5)( )( )X xT tX x Tta Xx T tXxTtX xa T t其中和是待定函數(shù)。把代入，得即，常數(shù)第29頁/共97頁2.2.1 齊次方程定解問題的解法22( )( )- (5)( )( )( )( )0 (6)( )( )0 (7)(4)(2) (3)XxTtX xa T tXxX xTta T t把代入邊界和初始條件、 ，分(0) ( )( ) ( )0 (8)( ) (0)( ) (9)( ) (0)( )XT tX l T tX x TxX x Tx別得及2000, 0,0 (1)|0,|0,0 (2)|( ), |( ),0 (3)ttxxxxx ltttua ux

21、l tuutuxuxxl第30頁/共97頁2.2.1 齊次方程定解問題的解法( )( )0(8)(0)0,( )0 (10)(6)(10)( )( )0 (6)( )(0)0,( )0 T tT tXX lXxX xXX l因為是任意的，故，所以由式得于是和就組成了一個固有值問題。 (10)2000, 0,0 (1)|0,|0,0 (2)|( ), |( ),0 (3)ttxxxxx ltttua uxl tuutuxuxxl第31頁/共97頁2.2.1 齊次方程定解問題的解法10,(6)( ), ii( ),(10)0011xxllllX xAeBeA BABAeBeABee 0。類似地，和

22、例 一樣，分三種情況進行討論：時 此時的通解為其中為任意常數(shù)。把其代入邊界條件，)求解固有得值問題( )( )0 (6)(0)0,( )0 (10)XxX xXX l固有值問題第32頁/共97頁2.2.1 齊次方程定解問題的解法 1 10 0 - ( )000,(6)( ), ,(10)0 00( )00llABeeX xX xAxBA BBABAX x對于這個矩陣方程，其系數(shù)行列式為從而有，故時，方程只有零解， 不可取。時 此時的通解為其中為任意常數(shù)。把其代入邊界條件，得從而有，故時，方程只有零解， 也不可取。( )( )0 (6)(0)0,( )0 (10)XxX xXX l固有值問題第3

23、3頁/共97頁2.2.1 齊次方程定解問題的解法( )( )0 (6)(0)0,( )0 (10)XxX xXX l固有值問題2220,(6)( )cossin, ,(10)0 cos0sincos0( )00cos021, (0,1,2,.)2(21) , (4nX xAxBxA BABlAlBlX xBlnlnnnl時 此時的通解為(一對共軛復根)其中為任意常數(shù)。把其代入邊界條件，得欲使，必須保證，即要求，于是從而得到了固有值為0,1,2,.) (11)(21)( )sin , (0,1,2,.) (12)2nnXxBxnl相應的固有函數(shù)為第34頁/共97頁2.2.1 齊次方程定解問題的解

24、法2222( )(11)(7)(21)( )( )04(21)(21)( )cossin (13)22(12) (13)(4)(21)( , )( )( )iic si()o2nnnnnnT tnaTtT tlnanaT tCtDtllnaux tXx T tCtl。為了求出，把式代入式，得其通解為一對共軛復根，即把、代入式即得到一族特求方程滿足邊界條件的特解解，為(21)(21)sin)sin 22. (14)nnnnnnanDtxllCCBDDB其中的，為任意常數(shù)。2( )( )0 (7)Tta T t222(21) , (0,1,2,.) (11)4(21)( )sin,(0,1,2,.

25、) (12)2nnnnlnXxBx nl( , )( ) ( ) (4)u x tX x T t設第35頁/共97頁2.2.1 齊次方程定解問題的解法110(21)(21)(21)( , )( , )(cossin)sin 222 .(15)(15)( )( , )(3)(|( )siinv)( )v)nnnnnnntnnananu x tux tCtDtxlllCDu x tuxC。令其中的、為待定的任意常數(shù)。欲使式成為定解問題的真正解，還需要使得滿足初利用疊加原理求出定解問題的形式解確定方程始條的件，即中系數(shù)10121)2(21)(21)|( )sin22nttnnnxlnanuxDxll

26、第36頁/共97頁2.2.1 齊次方程定解問題的解法end01010(21)|( )sin2(21)(21)|( )sin22(21)( )( )sin22(21)( )sin24(21)( )sin(21)2tnnttnnlnnnuxCxlnanuxDxllnxxxlFouriernCxxdxllnDxxdxnal這兩式正好是和關于的正弦展開。根據(jù)級數(shù)展開法則，便可得到0, 0,1,2,.(16)( )(15) (16)ln定解問題的最終解由、式共同確定。第37頁/共97頁2.2.1 齊次方程定解問題的解法2010( )( )310(10)( ),100)1000( , ), 010,0 (

27、1)( )|0, |ttxxxxxxxxxauu x txtua uxtuu下面舉一個具體給定、值的例子。例 ：設有一根常為個單位的弦，兩端固定，初速度為零，初位移為求弦作微小橫向振動時的位移（設。解：設表示弦上任意位置 和任意時刻 的位移，它可以歸結為下列定解問題0020,0 (2)(10)|, |0,0 (3)100010,10000()11(15)(16)ttttxxuuxllaa的解。這時是代表與弦的材料、張力等有關的量 。顯然，本例與例 完全相同，可以直接套用例的結果，其付氏級數(shù)解由、確定。第38頁/共97頁2.2.1 齊次方程定解問題的解法10003333330( )0,021(

28、)sin(10)sin5000100, ; 2(1 cos)45, ;5( )21( , )cos10(215(21)nlnnxDnnCxxdxdllWhen n is evennnWhen n is oddnu x tnn 本問題的方程和例1是一樣的，這里僅需要確定其系數(shù)即可。所以定解問題的解為：(21) sin10(21)ntxnnn這里 為奇數(shù)時，使用代替了 。第39頁/共97頁2.2.1 齊次方程定解問題的解法2004, 0,0 (1) ( )|0, |0,0 (2)|( ), 0 (3)( , )( ) ( ) (4)(1)(i)txxxx ltua uxl tuutuxxlu x

29、tX x T tX x T例 ：用分離變量法求解下列熱傳導方程的第一類邊值問題解：，設代入)分離變原程量方，得222)( ) ( )( )( )- (5) ( )( )ta Xx T tXxT tX xa T t即，第40頁/共97頁2.2.1 齊次方程定解問題的解法222( )( )0 (6)( )( )0 (7)(4)(2) (3)(0) ( )( ) ( )0 (8)( ) (0)XxX xT ta T tXT tX l T tX x T把代入定解條件、 ，分別得( ) (9)x200, 0,0 (1)|0, |0,0 (2)|( ),0 (3)txxxx ltua uxl tuutux

30、xl第41頁/共97頁2.2.1 齊次方程定解問題的解法2( )( )0(0)0,( )0 (10)( )( )0 (6)( )(0)0,( )0 T tT tXX lXxX xXX l因為是任意的，故，所以由(8)式得于是(6)和(10)就構成了固有值問題：(10)200, 0,0 (1)|0, |0,0 (2)|( ),0 (3)txxxx ltua uxl tuutuxxl第42頁/共97頁2.2.1 齊次方程定解問題的解法2( )( )0 (6)(0)0,( )0 (10)XxX xXX l固有值問題0,(6)( )( )cossin, ,(10)0 sin0cossin0( )0si

31、n00, ii( ) (1,2,.)nX xAxBxA BABlAlBlX xlBlnnn。我們知道，只有當時 方程才有非零解。 的通解為其中為任意常數(shù)。把其代入邊界條件，得欲使，必須要求，即保證，于是從而得到了固有值（特征值）為)求解固有值問題 , (1,2,.) (11)( )sin , (1,2,.) (12)nnlnXxBxnl相應的固有函數(shù)為第43頁/共97頁2.2.1 齊次方程定解問題的解法22222222(11)(7)( )( )( )0( ),(1,2,.) (13)(12) (13)(4)( , )iii)natlnnnnT tnaT tT tlT tC enux tX。把式

32、代入式，以求出，得這是一個一階常微分方程，可以使用常數(shù)變易法求之（使用移項積分也可以得到，如下例）。其解可以直接得到，為把、代入式即得求方程滿足邊界條件的到一簇特特解，為解2222( )( )sin (14)natlnnnnx T tC exlC其中的為任意常數(shù)。( )( )( )( ) ( )( ),( )( )P t dtP t dtT tP t T tQ tT teQ t edtc附：常數(shù)變易法對于其解為第44頁/共97頁2.2.1 齊次方程定解問題的解法222211010( , )( , )sin (1i5)(15)( )( , )(3)|( )sin2( )sin (v) v)nat

33、lnnnnntnnlnnu x tux tC exlCu x tnuxCxlnCxxdxll。令其中的為待定的任意常數(shù)。欲使式成為定解問題的真正解，還需要使得滿足初始條件，利用疊加原理求出定解問題的形式解確定即方程中的系數(shù) (16)( )(15) (16)定解問題的最終解由、式共同確定。第45頁/共97頁2.2.1 非齊次方程定解問題的解法2000, 00 (1)00 (2)|3sin ,|0 (3)ttxxxxtttua u x, t u|, u| ux u 例5：用分離變量法求解下列定解問題解：這是一個有界弦自由振動問題，和本章例1一樣。這1, ( )3sin ,( )0,(1,2,.),

34、1( , )(cossin)sin (4)nnnnnlxxxnnu x tCnatDnatnx 里固有值為由例的結果可確定本問題的最終解。T(t)X(x)第46頁/共97頁2.2.1 非齊次方程定解問題的解法00002122( )sin0 sin022( )sin3sinsin1 23sinsin20( 1),1 213sinsin3sin32( , )3cossinnnnDn dn dn an aCn dn dn dCwhen nCddu x tatx 這里，根據(jù)三角函數(shù)的正交性，有所以本定解問題的解為：第47頁/共97頁2.2.1 非齊次方程定解問題的解法11(4)(3)sin3sin (

35、5)sin0 (6)(5)nnnnCnxxDnanx通過本例，我們發(fā)現(xiàn)，對于初始條件已經是三角函數(shù)級數(shù)的情況下，我們不必要再使用系數(shù)公式去求積分來計算形式解中的系數(shù)，而只需要比較兩邊的系數(shù)即可。如對本題而言，把代入，有顯然，欲使成立，10(1),3;(6)0nnCnCD只可能是欲使成立，只可能是。這樣處理，問題就容易多了。第48頁/共97頁2.2.1 非齊次方程定解問題的解法第49頁/共97頁2.2.1 齊次方程定解問題的解法00, 00 (1)00 (2)|sin2sin3 (3)txxxxtuDu x, t u|, u| uxx 例6：用分離變量法求解下列定解問題解：這個問題沒有現(xiàn)成的公式

36、可套,直接2( , )( ) ( ) (4)( ) ( )( ) ( )( )( )- (5)( )( )i)u x tX x T tX x T tDXx T tXxT tX xDT t按照分離變量法求解。，設把(4)、對偏微分方程定解問題實施代入(1分離變，量)，得即第50頁/共97頁2.2.1 齊次方程定解問題的解法22( )( )0 (6)( )( )0 (7)(4)(2) (3)(0) ( )( ) ( )0 (8)( ) (0)sXxX xT tDT tXT tXT tX x T把代入定解條件、 ，分別得in2sin3 (9)xx200, 00(1)00 (2)|sin2sin3 (

37、3)txxxxtua Du x, t u|, u| uxx 第51頁/共97頁2.2.1 齊次方程定解問題的解法2( )( )0(0)0,( )0 (10)(6)(10)( )( )0 (6)( )(0)0,( )0 (1T tT tXXXxX xXX因為是任意的，故，所以由(8)式得于是和就構成了固有值問題：0)200, 00(1)00 (2)|sin2sin3 (3)txxxxtua Du x, t u|, u| uxx 第52頁/共97頁2.2.1 齊次方程定解問題的解法2( )( )0 (6)(0)0,( )0 (10)XxX xXX固有值問題0,(6)( )( )cossin, ,(

38、10)0 sin0cossin0( )0sin00, (1,2,.ii( ) nX xAxBxA BABABX xBnnn。我們知道，只有當時 方程才有非零解。 的通解為其中為任意常數(shù)。把其代入邊界條件，得欲使，必須要求，即保證，于是從而得到了固有值（特征值）為)求解固有值問題, (1,2,.) (11)( )sin , (1,2,.) (12)nnXxBnxn相應的固有函數(shù)為第53頁/共97頁2.2.1 齊次方程定解問題的解法222(11)(7)( )( )( )0( ),(1,2,.) (13)(12) (13)(4)( , )( )( )sin (iii14)Dn tnnDn tnnnn

39、nT tT tDn T tT tC enux tXx T tC enxC。把式代入式，以求出，得解之得把、代入式求方程滿足邊界條件的即得到一簇特解，為其中的為任特解意常數(shù)。第54頁/共97頁2.2.1 齊次方程定解問題的解法2110113( , )( , )sin (15)(15)iv)( )(3)|sinsin2sin3sin1,2,0( 1 3)(15)v)Dn tnnnnntnnnu x tux tC enxCuCnxxxnxCCCwhen nand。令其中的為待定的任意常數(shù)。把代入初始條件，比較兩邊的、利用疊加原理求出定解問題的形式解系數(shù)，得代入、確定，方程中的系數(shù)得原定解問9( ,

40、)sin2sin3DtDtu x texex題的解為第55頁/共97頁2.2.2 非齊次方程定解問題的解法 對于非齊次方程的定解問題，不能直接使用分離變量法，可以采用下列幾種辦法求解這種問題： (一)、 固有函數(shù)法 (二) 、沖量定理法 (三) 、積分變換法（第四章講）第56頁/共97頁2.2.2 非齊次方程定解問題的解法2001( , ), 0,0 (1) ( )|0, |0,0 (2)|( ), 0 (3)( )iiitxxxx ltua uf x txl tuutuxxl例：求解有限長度桿、有熱源的熱傳導方程的定解問題解：問題產生的熱傳導現(xiàn)象由以下兩部分組成：）熱源產生的熱傳導；( ,

41、)( , )( , )(4)( , )( , ) u x tv x tw x tv x tw x t) 初始溫度產生的熱傳導。由物理學中的疊加規(guī)律，可以假設 其中和分別滿足：熱源初始溫度第57頁/共97頁2.2.2 非齊次方程定解問題的解法200200( , ), 0,0 ( )|0, |0,0 |0, 0 , 0,0 ()|0,|0,0 |( ), 0txxxx lttxxxx ltva vf x txl tvvtvxlwa wxl twwtwxx ()(1)( )( )()( )lvwuvw我們知道，只有當方程和邊界條件均為齊次時，才能直接使用分離變量法求解。對定解問題 ，可以直接使用分離

42、變量法 與本章例同，這里解略 。剩下的主要任務就是求解定解問題。另外，不難驗證，只要 是的解， 是 的解，那么就一定是原定解問題的解。第58頁/共97頁2.2.2 非齊次方程定解問題的解法20( )(), 0,0 (2) |0, |0,0 (3)( , )( ) ( ),(2) (3)( )( )0 ()i0txxxx lva vxl tvvtv x tX x T tXxX xX定解問題的解法有以下兩種：一解：，即求定解問題 )首先求出相應的齊次方程滿足齊次邊界條件 的固有函數(shù)。設代入、 可得固有值問的固有函數(shù)固有函數(shù)法 付氏級數(shù)法三步驟完成。題)( )02.2.11( )sin,1,2,.(

43、4)nX lnXxBx nl這與的例 完全相同，根據(jù)例1，可知其固有函數(shù)為第59頁/共97頁2.2.2 非齊次方程定解問題的解法111ii( )iii)( , )( , )( )( )( )sin (5)( )( )( )sin( , ), )( )sin,nnnnnnnnnnnnnv x tvx tT t XtTT tTtxlT tT tnxlnf x tfltfttxx。其中為待定函數(shù)。這里與直接使用分離變量法不同，沒有直接把代入，而是作為待定函數(shù))求定解問題的形式解確定待定函數(shù)為了確定處理。的，即，把展開成為付氏級數(shù)10 (6)2( )( , )sin, (7)nlnnf tf x tx

44、dxll其中第60頁/共97頁2.2.2 非齊次方程定解問題的解法112121120(5) (6)( )( )sin,( )cos,( )() sin,( )()( )sin( )sin,( )()( )( ) (8)2( )( , )tnxnnnxxnnnnnnnnnnnnnnvTtx vT txlllnnvT txllannnTtT txf txlllanTtT tf tlf tf x tl 把、 都代入的方程，得從而有 即其中sin,lnxdxl1111( , )( , )( )( )( )sin (5)( , )( )sin, (6)nnnnnnnnnnv x tvx tT t XtT

45、 txlnf x tf txl第61頁/共97頁2.2.2 非齊次方程定解問題的解法222222222()0()0( )()( )( ) (8)(8)( )( ) (9)(9)(5)()( , )( )sinnnna nttlnna nttlnanTtT tf tlT tfednv x tfed式是一階常微分方程，使用常數(shù)變易法可以得到其結果，同時應用積分中值定理，可以得到把代入，即得到定解問題 的解，為1 (10)( )( , )( , )( , )nxlu x tv x tw x t而原定解問題 的解由組成。以上即為固有函數(shù)法求解定解問題的三步驟。( )( )()tfdft積分中值定理表述

46、為第62頁/共97頁2.2.2 非齊次方程定解問題的解法22112101112220010( )|0,|0|( , )( , ; )( , ) ( )|0, |0 |0 ( , )( , ; ) (11)(xx ltxx lttvvatxvvvf x tv x tvvaf x ttxvvvv x tv x td：若定解問題的解為，則定沖解二 、沖量定理法量定理問題的解為此兩行對應即可可以使用分離變量法第63頁/共97頁2.2.2 非齊次方程定解問題的解法1222( )( )(11)( )( , )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )02.2.21

47、v x tX x T tX x T ta Xx T tXxT tX xa T tT ta T tn根據(jù)沖量定理，欲求定解問題，只需求定解問題 ，然后再代入即可。而 中的方程和邊界條件均為齊次的，故可以使用分離變量法求之。設，代入 中的方程，得對于這個問題，我們根據(jù)例，已經知道其固有值為=2222222,1,2,.( )( )0nla nT tT tl第64頁/共97頁2.2.2 非齊次方程定解問題的解法222222222222222222222222()( )( )0( )( )ln ( )ln ( )( )tttta na ndttlla nT tT tlT ta ndtT tla ndT

48、tdtla nT tdtlT tcece 第65頁/共97頁2.2.2 非齊次方程定解問題的解法2222()110( )( )0,1( )sin,1,2,.( , ; )( )sin (12)2( )( , )sin (13)(13)(12)(12)(11)( )na ntlnnlnXxX xnX xBx nlnv x tBexlnBf xxdxll而對可以由本章例 知道，其中根據(jù)沖量定理，把代入，再把代入，即得到定解問題的解。即第66頁/共97頁2.2.2 非齊次方程定解問題的解法22222222()001()0012( , )( , )sinsin2( , )sinsin (14)a nt

49、tllna nttllnnnv x tf xxdx ex dlllnnf xxdx edxlll (10)(14)通過比較，可見。2222()01()( , )( )sin (10)a nttlnnnv x tfedxl 而前面(一)使用固有函數(shù)法得到的定解問題 的解為02( )( , )sin,lnnf tf x txdxll其中第67頁/共97頁小 結 方法方法定解定解條件條件分離變量法分離變量法 固有函數(shù)法固有函數(shù)法 沖量定理法沖量定理法齊次方程齊次方程 齊次邊界齊次邊界條件條件 2.2.2 非齊次方程定解問題的解法如果邊界條件為非齊次的，怎么辦？注：Laplace方程除外，邊界條件非齊

50、次，仍然可以用分離變量法求之(見下節(jié))。要求不要求要求要求要求不要求第68頁/共97頁2.2.3 非齊次邊界條件的齊次化( , )( , )( , )( , )( , )u x tv x tw x tw x tv x t利用解的線性疊加原理，設選取適當?shù)模蛊溥吔鐥l件為非齊次，從而使得的邊界條件齊次化。( , )w x t首要任務-如何選取適當?shù)?。邊界條件（非齊次）泛定方程定解問題初始條件定解條件下面分不同類型的邊界條件進行討論。第69頁/共97頁2.2.3 非齊次邊界條件的齊次化0|( )|( )( , )( , )( , ) (1)( , )( )( )( )( )( )( )( , )(

51、 )( ), ( )xx lttw x txtlututu x tv x tw x tw x tA t xB tttB ttA tl一、對于第一類非齊次邊界條件若設則可以取直線實際上，可以取簡單的直線情況，即可以令代入邊界條件于是得，再代入直線方程即得。第70頁/共97頁2.2.3 非齊次邊界條件的齊次化02|( )|( )( , )( , )( )( )( , ) )( )(2xxxx lututu x tv x twttw x txt xlx t二、對于第二類非齊次邊界條件若設則可以取第71頁/共97頁2.2.3 非齊次邊界條件的齊次化0|( )|( )( , )( , )( ,( ,)

52、(3)(xxx lututu x tv x twwxx tt xtt三、對于混合非齊次邊界條件若設則可以取第72頁/共97頁2.2.3 非齊次邊界條件的齊次化0(|( )|( )( , )( , )( , ), )( ) )( ) (4(xxx lututu x tw xv x tw x tttxlt四、對于混合非齊次邊界條件(另一類)若設則可以取第73頁/共97頁2.2.3 非齊次邊界條件的齊次化200( , ),0,0( )|( ), |( )|( )1( )( , )( , )( , ) (1)( ) ( , )( )()( ) (2)txxxxx ltw xua uf x txl tu

53、t utuxu x tv x tttxlxtwt例1:求解下列定解問題解： ）首先把邊界條件齊次化。設的解為的邊界條件左端為第二類，右端為第一類，故可取第74頁/共97頁2.2.3 非齊次邊界條件的齊次化2000( )()( )( , ) ( )()( )( ), |()| ( ) ( )()( )|( ) (0)()(0)tttttttxxxxxxxxxxtttuvwvtxltvuwa uf x ttxltuvwvtvuvuwxtxltxxl這時， 又 ( , )( )()( ) (2)w x ttxltutwt第75頁/共97頁2.2.3 非齊次邊界條件的齊次化000200|-|( )(

54、)0|-|( )( )0( , )( , ) ( )()( ),0,0( )|0, |0|( ) (0)()(0)xxxxxxx lx lx ltxxxxx ltvuwttvuwttv x tva vf x ttxltxl tvvvxxl對于邊界條件來說，有左端：右端：所以，得到了滿足的定解問題為邊界條件已經齊次化( , )( )()( ) (2)w x ttxlt第76頁/共97頁2.2.3 非齊次邊界條件的齊次化12122211210110222222( )()( )( , )( , )( , ) (3)( , )( , )( , ) ( )()( )()|0, |0|0,0,0()xx

55、ltv x tv x tv x tv x tv x tvvaf x ttxlttxvvxvvvaxl ttx）求解定解問題 邊界條件已齊次化，方程為非齊次對于，可以令其中和分別滿足20220|0,|0|( ) (0)()(0)xx ltvvxvxxl()()對于 ，可以使用固有函數(shù)法或者沖量定理法求之 非齊次方程，齊次邊界條件()()對 ，則完全可以使用分離變量法求之 解略第77頁/共97頁 目前，數(shù)學物理方程中一般都僅給出了一維空間的波動方程或熱傳導方程的分離變量法的解，很少見到如何用分離變量法求解高維空間的邊值或混合問題，本節(jié)討論高維空間下求解偏微分方程的分離變量法的技巧。2.2.4 高維

56、定解問題的解法第78頁/共97頁2.2.4 高維定解問題的解法1, ,( , , ,0)( , , )(), 0,0,0,0 (1) (0, , , )( , , , )0 ( )txxyyzza b cu x y zx y zuk uuuxaybzc tuy z tu a y z t現(xiàn)在用一個長方體的熱傳導問題說明高維情況的分離變量法。例：求邊長分別為的長方體中的溫度分布，設長方體表面溫度保持零度，初始溫*布。*度分為 (2)( ,0, , )( , , , )0 (3)( , ,0, )( , , , )0 (4)( , , ,0)( , , ) u xz tu x b z tu x yt

57、u x y c tu x y zx y z222 (5)i( , , , )( , , ) ( )(1)( )( )0 () (6)0 xxyyzzu x y z tv x y z T tT tkT tvvvv解： )時空變量的分離。令代入得，這里已令比值等于- (7)第79頁/共97頁2.2.4 高維定解問題的解法222ii( , , )( ) ( , )(7)(2)( )( )()( )0()(8)( )(0)0,( )0 (9)( , )v x y zX x w y zX xXxX xXX aw y z)空間變量的分離。令，代入和得到關于的常微分方程及邊界條件，即固有值問題這里已令第二個

58、比值等于同時，22220 (10)( , )( ) ( )(10)(3) (4)( )() ( )0()(11)()(0)0, ( )0 yyzzwwww y zY y Z zYyY yYY b遵守再令，并且代入和、 可以得到另外兩個固有值問題這里已令第三個比值等于2 (12)( )( )0 (13)()(0)0,( )0 (14)ZzZ zZZ c第80頁/共97頁2.2.4 高維定解問題的解法22222222222222iii)( ) () (),( )sin,1,2,. (15),( )sin,1,2,. (16)nmnnZzCz nccmmYyBy mbbpa求解固有值問題。這三個固有

59、值問題、 、 的固有值和固有函數(shù)分別為2222222,( )sin,1,2,. (17)(15) (16) (17)( , , ) (18)ppmnppYxAx pav x y zpmnabcv2把、相加，即得到關于空間變量的固有值及相應的固有函數(shù)，為=(+)( , , )sinsinsin (19)mnpmnx y zCxyzabc第81頁/共97頁2.2.4 高維定解問題的解法22iv)( )(18)(6),( )( ) (20)v)( , , , )sinsinsin pmnpmnktpmnpmnktpmnpmnT tT tTtAepmnux y z tAxyzeabc求解關于的常微分方

60、程，為此，把代入得的通解疊加并且確定系數(shù)。2111111000 (21)( , , , )sinsinsin (22)(18)(5)( , , )( , , ,0)sinsinsin8( , , )pmnktpmnpmnpmnpmnabpmnpmnu x y z tAxyzeabcpmnx y zu x y zAxyzabcFourierAx y zabc 把代入，可得這是三重級數(shù)。系數(shù)為sinsinsin (23)(22) (23)cpmnxyzdxdydzabc最終解由、共同確定。第82頁/共97頁2.3 極坐標下的分離變量法22222222222(, )(, )()11cos ,sint