數(shù)學(xué)物理方法 PPT課件

1、1目的與要求：目的與要求：掌握復(fù)數(shù)項級數(shù)、冪級數(shù)、泰勒級數(shù)、與洛 朗級數(shù)的概念、性質(zhì)及基本計算方法、孤 立奇點的概念及判定、零點與極點的關(guān)系。重點：重點：難點：難點：函數(shù)展開成泰勒級數(shù)與洛朗級數(shù)函數(shù)展開成洛朗級數(shù)第1頁/共108頁2 無窮級數(shù)無窮級數(shù)：一無窮多個數(shù)構(gòu)成的數(shù)列w1，w2，w3， wn， 寫成w1+w2+w3+ wn+ 就稱為無窮級數(shù)。這僅是一種形式上的相加。這種加法是不是具有和數(shù)呢？這個和數(shù)的確切意義是什么？ 為什么要研究級數(shù)為什么要研究級數(shù)？ (1) (1) 級數(shù)可作為函數(shù)的表達式，是研究函數(shù)的工具； (2) (2) 常微分方程的級數(shù)解。 研究級數(shù)需關(guān)心的研究級數(shù)需關(guān)心的問題：

2、問題： (1) (1) 級數(shù)的斂散性，收斂的定義、條件、判據(jù)； (2) (2) 收斂級數(shù)或一致收斂級數(shù)所具有的性質(zhì)等。第2頁/共108頁3 形如形如 的表達式被稱為的表達式被稱為復(fù)數(shù)項級數(shù)復(fù)數(shù)項級數(shù)，其中其中 是復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù)。ikkkwuv000innnnkkkkkkswuv010,kkkwwww第3頁/共108頁4復(fù)數(shù)項級數(shù)的收斂:即為兩個實數(shù)項級數(shù)000limlimliminnnkkknnnkkkwuv極限存在并有限 若在區(qū)域內(nèi)某一點z0點，前n項和極限存在, ,則 00lim()() nnszs z那么級數(shù) 在z0點收斂，0kkw為該無窮級數(shù)的和；否則稱為發(fā)散。0()s z例例1 1解解1

3、32ikk判判別別的的斂斂散散性性。1313 (1),lim322iiinnnknnkss即即,3 . i級級數(shù)數(shù)收收斂斂 且且和和為為第4頁/共108頁52200kkkkkwuv若若收斂，則稱收斂，則稱0kkw絕對收斂絕對收斂 對于任一小的正數(shù)對于任一小的正數(shù) ，必存在一必存在一 N 使得使得 nN 時有時有11,npk npksw 式中式中 p 為任意正整數(shù)為任意正整數(shù).0kkv0kku0kkw第5頁/共108頁6 0,1:kkzz分分析析級級數(shù)數(shù)的的2 2散散性性例例斂斂 1-21nnzzzs ,1時時由于當(dāng)由于當(dāng) z 11 ,1nzzz zzsnnnn 11limlim,11z .1時

4、級數(shù)收斂時級數(shù)收斂所以當(dāng)所以當(dāng) z 的每一項都是復(fù)數(shù)的模，即正實數(shù)，所以它實際上就是正項級數(shù)，這樣復(fù)數(shù)項級數(shù)絕對收斂的判別法即正項級數(shù)的判別法。0kkw第6頁/共108頁7 11i (1) nnn1 1 級級數(shù)數(shù)是是否否收收斂斂？ 解解111 ;nnnun 因因為為發(fā)發(fā)散散2111 . nnnvn 收收斂斂所以原級數(shù)發(fā)散. . 例例311(2)(1)ninn 2 2級級數(shù)數(shù) 是是否否收收斂斂？ 2111 ;nnnun 因因為為收收斂斂3111 . nnnvn 收收斂斂所以原級數(shù)收斂. . 第7頁/共108頁8120( )( )( )( ),kkkw zw zw zw z 設(shè)復(fù)變函數(shù)列wk(z)

5、定義在區(qū)域B上，則由wk(z)構(gòu)成的級數(shù)稱 當(dāng)選定z的一個確定值時，函數(shù)項級數(shù)變成一個復(fù)數(shù)項級數(shù)。 由于函數(shù)項級數(shù)定義在區(qū)域 B上，所以所以它的收斂的概念是相對于這個定義域而言的。第8頁/共108頁9第9頁/共108頁10 可由判定： 對于對于任意給定的任意給定的正數(shù)正數(shù) ，必存在一必存在一N(z)使得使得nN(z)時有時有1( ),n pkk nwz 則則函數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù)收斂，收斂，。第10頁/共108頁11 ： 若wk(z) 在B內(nèi)連續(xù)，函數(shù)級數(shù) 在B內(nèi)一致收斂，則和函數(shù)。0( )kkwz 若級數(shù) 在區(qū)域B B內(nèi)的分段光滑曲線l上一致收斂，且wk(z)為l上的連續(xù)函數(shù)，則：0( )kk

6、wz00( )( )ddkkllkkwzzwzz0000lim( )lim( )kkzzzzkkwzwz 這個性質(zhì)說明：如果級數(shù)的每一項都是連續(xù)函數(shù)，則一致收斂級數(shù)可以逐項求極限。第11頁/共108頁12第12頁/共108頁13第13頁/共108頁14第14頁/共108頁1520010200()()()kkka zzaa zza zz0()kkc zz這是一種這是一種特殊形式的常用函數(shù)項級數(shù)特殊形式的常用函數(shù)項級數(shù)。冪級數(shù)冪級數(shù)：通項為冪函數(shù)的級數(shù):第15頁/共108頁162. 2. 收斂半徑的求法收斂半徑的求法達朗貝爾判別法達朗貝爾判別法（比值法）（比值法）: :那末收斂半徑那末收斂半徑.1

7、 R,0lim 1 kkkaa如果如果 1. 1. 阿貝爾阿貝爾Abel第一第一定理定理 如果級數(shù)如果級數(shù) 在在z0點點收斂，那么在以收斂，那么在以a點為圓心，點為圓心， 為半徑的圓內(nèi)為半徑的圓內(nèi)絕對收絕對收斂，而斂，而 上一致收斂上一致收斂。0kkkaza0zazaaz 0 如果級數(shù)如果級數(shù) 在在z1點點發(fā)散，則在發(fā)散，則在 內(nèi)處處發(fā)散內(nèi)處處發(fā)散。0kkkaza1zaza第16頁/共108頁17 23001020300kkkazzaa zza zza zz證證由于110100limlimkkkkkkkkazzazzaazz分析分析：（1 1）01 ,zz 當(dāng)當(dāng)時時0,zz 級數(shù)001 ( )

8、( ),npkkkkk nazznN zwz 圓圓內(nèi)內(nèi)滿滿足足時時 , ,在在的, ,所以01 zz 內(nèi)內(nèi)絕絕對對斂斂收,第17頁/共108頁18所以1.R 注意注意:101 ,zz 由由于于11101010limkkkkkazzzzazz . 1 1 ( ),npkk nwz 滿滿. .柯柯西西不不足足判判據(jù)據(jù)001 ,kkkazzz 圓圓發(fā)發(fā)故故在在外外散散（2 2）當(dāng)01 ,zz 時時CRz0R第18頁/共108頁19: :即. R . 2( (極限不存在),),0.1 00 ,kkkazz則則級級數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)處處處處斂斂在在復(fù)復(fù)平平面面收收000 ,kkkazzzz則則級級數(shù)數(shù)對對內(nèi)內(nèi)發(fā)發(fā)

9、于于復(fù)復(fù)平平面面除除均均散散以外的一切 第19頁/共108頁20方法方法2:2: 根值法根值法那末收斂半徑那末收斂半徑11.limkkkRa ,0lim kkka如果如果230010203000000limlimlimkkkkkkkkkkkkazzaa zza zza zza zzzza zzzz : : 0 0 RR( (與比值法相同) )如果第20頁/共108頁214. 4. 復(fù)變冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)復(fù)變冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為,R 00)(kkkzza是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù)。(1) 0)()( kkkz0zazw它的和函數(shù)Rz0z 第21頁/共108頁22(2)在收斂圓

10、內(nèi)可以逐項積分, , )( zw即 0.,d)(d)(kckkcRazczz0zazzw 且且可表為連續(xù)函數(shù)的回路積分。1201020( )()()1( )2diRCw zaa zza zzwz 101 ( )d().zkkakafzak或第22頁/共108頁23 記 CR1上點為 ， CR1內(nèi)任一點為 z，則圓上的冪級數(shù)可寫為利用柯西公式用有界函數(shù)112 iz 相乘后，在CR1上一致收斂1110102202010201( )2()1122()12()()( )R1CdiddiidiRRRCCCwzaazzzazzaa zza zzw z 0zz1RC201020( )()()waazaz第2

11、3頁/共108頁2411111201020111( )( )2 ( )( )01020!( )2()()()!222()()() () () ( )didddiiiRRRRnCnnnCCCnnnnnwzaazaznnnzzzaa z za z zwz 且冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)可任意逐項求導(dǎo)0zzC1RC證:冪級數(shù) 乘以1!12()innz 201020( )()()waazaz (3)在收斂圓內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪級數(shù)逐項求導(dǎo)得到, )( zw.)()(11 kkkz0zkazw即即Rz0z 第24頁/共108頁25cosikak因因為為111 limlimkkkkkkkkaeeaee 所所以以故收斂半徑

12、故收斂半徑.1eR 0(cosi )kkn z例例1求冪級數(shù)求冪級數(shù) 的收斂半徑的收斂半徑:解解12cosh(),kkkee, e 第25頁/共108頁26解解1244 i(cosisin) 因因為為(1 i)nna 所以所以1limnnnaa .2221 R例例201 (i)nnnz求求 的收斂半徑的收斂半徑.42i,e 42i();nne nnn)2()2(lim1 . 2 第26頁/共108頁27例例3 計算計算11()d ,.2nlnzzlz 其其中中 為為解解1( )nnw zz和和函函數(shù)數(shù) czzzId)111(所以所以20i 01nnzz,111zz cczzzzd11d12 i

13、. 第27頁/共108頁2800:kkkk數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)問問如如果果復(fù)復(fù)和和均散,0()?kkk級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)嗎嗎也也散散思考題答案思考題答案不一定。冪級數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何斷定? ?由于在收斂圓周上z確定, , 可以依復(fù)數(shù)項級數(shù)斂散性討論。思考題答案思考題答案第28頁/共108頁29 3.2 3. (1)（4）(5） 4. (1)(3)第29頁/共108頁30問題問題: : 任一個解析函數(shù)能否用冪級數(shù)來表達？任一個解析函數(shù)能否用冪級數(shù)來表達？思路思路: : 1 區(qū)域內(nèi)任一個解析函數(shù)能用它在邊界上回路積分表示（柯西積分公式），1212( )( )di( )dillff zzfz Bz

14、l 2 冪級數(shù)又可表為連續(xù)函數(shù)的回路積分。1201020( )()()1( )2dRCw zaa zza zzwiz 第30頁/共108頁31其中其中泰勒級數(shù)泰勒級數(shù)定理定理設(shè)設(shè))(zfB0z為為B 內(nèi)的一內(nèi)的一d為為0z到到B的邊界上各點的最短距離的邊界上各點的最短距離, , 那末那末點點,dzz 0時時,成立成立,當(dāng)當(dāng) 00)()(kkkzzazf,2,1,0),(!10)( kzfkakk第31頁/共108頁320 zr , 設(shè) 0內(nèi)以為zB ,為中心的任一圓周,CRB記為它與它的內(nèi)部全包含于BRCz.內(nèi)任意點如圖: :r0z.CR. rz 0 圓周由柯西積分公式 , , 有1( )(

15、),2diCRff zz 其中 CR 取正方向。 為了得到冪級數(shù)，我們展開公式的為冪的幾何級數(shù)：第32頁/共108頁330001111zzzzz 則, , 的內(nèi)部在點上取在圓周因為積分變量CRzCR .1 00 zzz 所以 200000)()(11zzzzzzz 00()kzzz 10001() .()kkkzzz 用有界函數(shù) 12 if 相乘后得第33頁/共108頁3401001( )().2()dikkkCRfzzz 0010)()(d)(21)( kkCRkzzzfizf 由高階導(dǎo)數(shù)公式: : 0110!( )()2()dikkCRkffzz ( )00000()( )()()!kkk

16、kkkfzf zzzazzk我們即可得泰勒級數(shù)泰勒級數(shù)的泰勒展開式泰勒展開式。)(zf在0z, )(!10)(zfkakk 第34頁/共108頁35;,00級數(shù)稱為時當(dāng) z )( zf因為解析，可以保證無限次可各階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性; ; 注意：注意： 所以復(fù)變函數(shù)展為泰勒級數(shù)的實用范圍就要比實變函數(shù)廣闊的多。說明說明:問題：問題：利用泰勒級數(shù)可以將函數(shù)展開為冪級數(shù)， 展開式是否唯一？展開式是否唯一？第35頁/共108頁36當(dāng)展開點：z=z1=z0時：000(),f zba011(),fzba即因此, , 解析函數(shù)展開成冪級數(shù)的結(jié)果唯一的。 212110)()()(zzbzzbbzf,)(1 kkz

17、zb )(1另有一不同泰勒級數(shù):設(shè)在zzf 211111! 2! 1zzzfzzzfzf , )(!10)(zfkakk bk 第36頁/共108頁37常用方法常用方法: 直接法和間接法直接法和間接法. .1.1.直接法直接法:( )01(),0,1,2,!kkafzkk由泰勒展開定理計算系數(shù). )( 0展開成冪級數(shù)在將函數(shù)zzf例例1，. 0 的泰勒展開式的泰勒展開式在在求求 zez010 1 2( )(), (, , ,)zkzek故有2012!kkzkzzzezkk ( )(),zkzee第37頁/共108頁38, 在復(fù)平面內(nèi)處處解析因為ze。 R所以級數(shù)的收斂半徑2. 2. 間接展開法

18、間接展開法 : 借助于一些已知函數(shù)的展開式 , , 結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì), , 冪級數(shù)運算性質(zhì) ( (逐項求導(dǎo), , 積分等) )和其它數(shù)學(xué)技巧 ( (代換等) , ) , 求函數(shù)的泰勒展開式。間接法的優(yōu)點間接法的優(yōu)點: : 不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑 , , 因而比直接展開更為簡潔 , , 使用范圍也更為廣泛。第38頁/共108頁39例例2 2 )(21sinizizeeiz 210121()()!kkkzk0012( )()!kkkkizizikk. 0 sin 的泰勒展開式在利用間接展開法求 zz第39頁/共108頁40附附: 常見函數(shù)的泰勒展開式常見函數(shù)的泰勒展開式20112),!kkz

19、kzzzezkk 201211),kkkzzzzz 20131111)()(),kkkkkzzzzz 3521413521)sin(),!()!kkzzzzzk )1( z)1( z)( z)( z第40頁/共108頁41242511242)cos(),!()!kkzzzzk )( z231611231) ln()(),kkzzzzzk 1011()kkkzk)1( z 32! 3)2)(1(! 2)1(1)1( )7zzzz 11()(),!kkzk )1( z第41頁/共108頁42例例3 3. )1 (1 2的的冪冪級級數(shù)數(shù)展展開開成成把把函函數(shù)數(shù)zz 解解21111()kkzzzz 1

20、 z zz11)1 (1221112311(),.kkzzkzz 上式兩邊逐項求導(dǎo), ,11)1(12 zzz上有一奇點在由于,1區(qū)域內(nèi)解析即在 z故可在其解析區(qū)域內(nèi)展開成的冪級數(shù)z第42頁/共108頁43例例4 4* *. 0 )1ln( 泰勒展開式泰勒展開式處的處的在在求對數(shù)函數(shù)的主值求對數(shù)函數(shù)的主值 zz分析分析如圖,1OR=1xy. 1 的冪級數(shù)內(nèi)可以展開成所以它在zz , 1 , 1 )1ln( 是它的一個奇點平面內(nèi)是解析的向左沿負實軸剪開的在從 z第43頁/共108頁44000111d()dzzkkkzzzz即23111231ln()()kkzzzzzk 1 z 將展開式兩端沿 l

21、 逐項積分, , 得解解zz 11)1ln(20111()()kkkkkzzzz )1( z, 0 1 的曲線到內(nèi)從為收斂圓設(shè)zzl 第44頁/共108頁45復(fù)復(fù)1 1 .0arctan的的冪冪級級數(shù)數(shù)展展開開式式在在求求 zz解解201darctan,zzzz2201111 ()() ,kkkzzz zzzz021darctan所以所以2001()() dzkkkzz2101121(),.kkkzzk 而被積函數(shù)可在|z| 0 內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)10( )ln dtztztet( )10( )ln )(dtnztnztet（2） 遞推公式遞推公式(1)( )zzz (1)!nn函數(shù)的性

22、質(zhì)函數(shù)的性質(zhì), 2, 1 n對對 進行分部積分，可得遞推公式進行分部積分，可得遞推公式10( )dtztzte1. 1. 積分區(qū)間為無窮積分區(qū)間為無窮; ;函數(shù)函數(shù)特點特點:2. 2. 當(dāng)當(dāng) z- - 1 0, z 0 B2:Rez- - 1, z 0 在B1 中： f1(z) = f2 (z) f 2 (z)是是f1 (z)在中的解析延拓在中的解析延拓.第53頁/共108頁54（4）( ) z的其他形式的其他形式令令 t = y2 , 有有212100( )2ddztzyztetyey令令 t = py , 就有就有1100( )dtdztszpyztepyey同理同理211()()()zz

23、z z 在在B2中：中： f2(z) = f3 (z) f 3(z)是是f2 (z)在中的解析延拓在中的解析延拓. .第54頁/共108頁55例例1 1計算計算).21(),21(),25(),25(nn )25(解解 )23(23 )21(2123 43 )25( 25)23(52 )23()21( )21()21(3252 158 )121()121()21( nnn 212n )21(21232n nn2!)!12( xxxde)21(0121 xxxde021xxde202 第55頁/共108頁56nnn 21)121()21()21(12322122 nn !)!12(2)1( nn

24、n第56頁/共108頁57奇、偶函數(shù)的泰勒級數(shù)有什么特點奇、偶函數(shù)的泰勒級數(shù)有什么特點?思考題思考題 奇函數(shù)的泰勒級數(shù)只含奇函數(shù)的泰勒級數(shù)只含 z 的奇次冪項的奇次冪項, 偶函數(shù)偶函數(shù)的泰勒級數(shù)只含的泰勒級數(shù)只含 z 的偶次冪項的偶次冪項.答案答案第57頁/共108頁58 3.3 (1)（3）(6）(8)第58頁/共108頁59第59頁/共108頁60例例1.1.10)1(1)( zzzzzf及及在在都不解析, ,但在圓環(huán)域01z及及011z內(nèi)都是解析的.)1(1)(zzzf ,111zz 而1,1112 zzzzzk:10 內(nèi)在圓環(huán)域 z所以)1(1)(zzzf ,121 kzzzz即在在)

25、(zf10 z內(nèi)可以展開成冪級數(shù). .第60頁/共108頁61)1(1)(zzzf )1(1111zz kzzzz)1()1()1(1112.)1()1()1(1)1(121 kzzzz10100100( )()()()()kkkkf zazzazzaa zzazz，若f (z) 在R 2 z - z0 R1 內(nèi)解析, ,f (z) 可以展開成含有負冪次項的級數(shù), ,即內(nèi)，內(nèi)，在圓環(huán)域110 z第61頁/共108頁62負冪項部分正冪項部分主要部分解析部分同時收斂收斂kkkzza)(.10 雙邊冪級數(shù) kkkkzza)(0kkkkkkzzazza)()(0001 本節(jié)將討論在以z 0為中心的圓環(huán)

26、域內(nèi)解析的函數(shù)的級數(shù)表示法。第62頁/共108頁6300()kkkazz01()kkkazz10()zz 令令1kkka 收斂半徑r , 收時時斂斂021zzRr收斂域收斂半徑1R01zzR收斂域21 1 ( ):RR若 兩收斂域無公共部分, ,212( ):RR 兩收斂域有公共部分D: :201.RzzRra aR1aR2Df(z)=f1(z)+ f2(z第63頁/共108頁64結(jié)論結(jié)論:2R1R.0z常見的特殊圓環(huán)域常見的特殊圓環(huán)域: :1R.0z010zzR1R.0z20Rzz 00zz.0z的收斂區(qū)域為雙邊冪級數(shù)kkkzza)(0 .102RzzR 圓環(huán)域第64頁/共108頁65定理定

27、理C為圓環(huán)域內(nèi)繞為圓環(huán)域內(nèi)繞 的任一正向簡單閉曲線的任一正向簡單閉曲線. . 0z,)()(0kkkzzazf ),1,0( n內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析，在環(huán)形域在環(huán)形域設(shè)設(shè) )( 102RzzRzf 內(nèi)可展開成洛朗級數(shù)內(nèi)可展開成洛朗級數(shù)在在那末那末Bzf )( 為洛朗系數(shù)為洛朗系數(shù).1012( ) di()kkCfaz 其其中中第65頁/共108頁66證證對于第一個積分(CR1): : 121122( )ddiiCCRRfff zzz)()(1100zzzz 因因為為00001kkzzzz 000001111zzzzz zz 0100(),()kkkzzz 1RC2RCBzz00z1R.z2RC

28、1RC2R. .第66頁/共108頁67對于第二個積分:21( )2 iRCf d - z 所以 因為0011 () ()zzz z 001zzz 000111z zz zz 00()kkkazz112( )diCRfz 0110012( )d()i()kkCRkfzzz 0z1R.z2RC1RC2R. .第67頁/共108頁68則212( )diCRfz 01200112()( )d()illCRlzfzz 0010000011()()()()()llllllzzzzzzzz 10210112()( )d()ikkCRkzfzz 0121012( )()di()kkCRkfzzz 12012

29、( )di()kkCRfaz 第68頁/共108頁6901() ,kkkazz121( )1( )( )22ddiiRRCCfff zzz則 1010122( )d(,)i()kkCfakz 對于C為在圓環(huán)域內(nèi)繞 的任何一條正向簡單0zkkkkkkzzazza )()(0100.)(0kkkzza 閉曲線. .可用一個式子表示為: :kkaa 與與第69頁/共108頁70說明說明:函數(shù))(zf在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開式洛朗展開式)(zf在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗(Laurent)級數(shù). 1) 2) 某一圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)展開為含有正、負冪項的級數(shù)是唯一的， 這就是 f (z) 的洛朗級數(shù). 定理給出了將圓環(huán)

30、域內(nèi)解析的函數(shù)展為洛朗級數(shù)的一般方法. .kkkzzazf)()(0 第70頁/共108頁71常用方法 : 1.: 1.直接法 2.2.間接法 1. 直接展開法直接展開法利用定理公式計算系數(shù)ka缺點: : 計算往往很麻煩. .),2,1,0(d)()(2110 kzfiaCkk 然后寫出.)()(0kkkzzazf 根據(jù)正、負冪項組成的的級數(shù)的唯一性, , 可用代數(shù)運算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開 . .優(yōu)點 : : 簡捷 , , 快速 . .2. 間接展開法間接展開法第71頁/共108頁72例例2 2, 0 內(nèi)內(nèi)在在 z. )( 2展開成洛朗級數(shù)展開成洛朗級數(shù)將將zezfz 解解由定理知:

31、 :,)(kkkzazf 而 d)()(2110 Ckkzfia d213 Ckei故由柯西定理知: :由解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式知: :0 k- -3a, 2 時則 k, 3 時當(dāng) k, 2在圓環(huán)域內(nèi)解析zez00z 由柯西定理我們知道閉合回路C內(nèi)不含奇點時ak=0.=0.所以，我們要分析上式被積函數(shù)的解析性。第72頁/共108頁73 d213 Ckkeia022)(dd)!2(1 zzkkezk)!2(1 k ! 4! 3! 211122zzzz z0 2)!2()( kkkzzf故另解：另解：直接展開ez ! 4! 3! 21143222zzzzzzez ! 4! 3! 211122zzz

32、z第73頁/共108頁74例例3 3 ;10)1 z;21)2 z.2)3 z內(nèi)是處處解析的, ,試把 f (z) 在這些區(qū)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù). .解解,)2(1)1(1)(zzzf : )2)(1(1)( 在圓環(huán)域函數(shù) zzzf , 10 )1內(nèi)在 z第74頁/共108頁75oxy12112121zz )1(2 zz 421212zz 2874321zz nnzzz22212122 )( zf所以 nzzzz2111則,1 z由于12 z從而第75頁/共108頁7612oxyzzz111111 21111zzz1 z由11 z2 z12 z且仍有 2112121zz nnzzz2221212

33、2 , 21 )2內(nèi)在 z,)2(1)1(1)(zzzf 第76頁/共108頁77 842111121zzzzznn2oxy2 z由12 z此時zzz211121 , 2 )3內(nèi)在 z 21111zzz 2222121zz)( zf于是第77頁/共108頁78 24211zzz仍有zzz111111 21111zzz,121 zz此時 24211zzz 21111zzz.731432 zzz)( zf故第78頁/共108頁79注意注意:0 z奇點但卻不是函數(shù))2)(1(1)( zzzf的奇點 .本例中圓環(huán)域的中心是各負冪項的說明說明:1. 函數(shù))(zf在以0z為中心的圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級數(shù)中盡管含

34、有0zz 的負冪項, , 而且0z又是這些項的奇點, , 但是0z可能是函數(shù))(zf的奇點, ,也可能)(zf的奇點.不是第79頁/共108頁802. 給定了函數(shù))(zf與復(fù)平面內(nèi)的一點0z以后,函數(shù)在各個不同的圓環(huán)域中有不同的洛朗展開式 ( (包括泰勒展開式作為它的特例).).第80頁/共108頁81解解 z0zzzfsin)( .)!12()1(02 nnnnz例例4 )!12()1(! 51! 3111253nzzzzznn. 0 sin 0洛朗級數(shù)的去心鄰域內(nèi)展開成在在將函數(shù) zzz第81頁/共108頁82定義定義：若函數(shù)若函數(shù)f (z)在點在點z0處不解析處不解析（或沒有定義）（或沒

35、有定義），但在點，但在點z0的某個的某個 內(nèi)解析內(nèi)解析，則稱點，則稱點z0為為f (z)的的孤立奇點孤立奇點。00(0)zzRR 例例10 z是函數(shù)zzezsin,1的孤立奇點.1 z是函數(shù)11 z的孤立奇點. .注意注意: : 孤立奇點一定是奇點, , 但奇點不一定是孤立奇點. .第82頁/共108頁83例例2 2 指出函數(shù)0 z在點zzzf1sin)(2 的奇點特性. .解解 kzz1,0),2,1( k即在0 z的不論怎樣小的去心鄰域內(nèi), , 的奇點存在, , 函數(shù)的奇點為)(zf總有0 z不是孤立奇點.所以，因為01lim kk第83頁/共108頁84 定義定義 設(shè)設(shè)z0是解析函數(shù)是解

36、析函數(shù)f (z)的孤立奇點的孤立奇點，f (z)在點在點z0的某去心鄰域的某去心鄰域 內(nèi)的羅朗展式為內(nèi)的羅朗展式為kkkf zazz0( )() 00zzR (1)(1)若展式中不含有若展式中不含有z-z0的負冪項，則稱的負冪項，則稱z0為為f (z)的的可去奇點可去奇點； (2)(2)若展式中只含有若展式中只含有z-z0的有限的有限( (m)項負冪項項負冪項，則稱則稱z0是是f (z)的的極點極點，稱稱m為極點為極點z0的階，按照的階，按照m=1或或m1，稱稱z0是是f (z)的單極點或的單極點或m階的極點；階的極點； (3)(3)若展式中含有若展式中含有z-z0的無窮多個負冪項，則稱的無窮

37、多個負冪項，則稱z0為為f (z)的的本性奇點本性奇點。第84頁/共108頁85其和函數(shù))(zF為在0z解析的函數(shù). .說明說明: (1)0(0 zz)(lim)(00zfzfzz (2) 無論在在是否有定義, , )(zf0z補充定義則函數(shù)在在0z解析. .)(zf1可去奇點可去奇點如果洛朗級數(shù)中不如果洛朗級數(shù)中不含含 的負冪項的負冪項, 0zz 0z)(zf那末孤立奇點那末孤立奇點 稱為稱為 的的可去奇點可去奇點.1) 定義定義,)(0的孤立奇點若是zfz.)()()(0010 kkzzazzaazf,)(00azf 000,)()(zzazzzFzf第85頁/共108頁86 2) 可去奇

38、點的判定可去奇點的判定(1) 由定義判斷由定義判斷:的洛朗級數(shù)無負0z)(zf在如果冪項則0z為)(zf的可去奇點. .(2) 判斷極限判斷極限:)(lim0zfzz若極限存在且為有限值, ,則0z為)(zf的可去奇點. .如果補充定義: :0 z時, , 1sin zz那末zzsin在0 z解析. .例例3 42! 51! 311sinzzzz中不含負冪項, ,0 z是zzsin的可去奇點 . . 第86頁/共108頁87例例4 說明0 z為zez1 的可去奇點.解解 zez1,!1! 2111 nznz z0所以0 z為為的可去奇點. .zez1 無負冪項無負冪項另解另解 zzzzeze0

39、0lim1lim 因為因為0 z所以所以的可去奇點. .為為zez1 )1!1! 211(12 nznzzz, 1 第87頁/共108頁882. 極點極點 , )()(1)(0zgzzzfm 10)( zz,)(0mzz 其中關(guān)于其中關(guān)于的最高冪為的最高冪為即即級極點級極點.0z)(zfm那末孤立奇點那末孤立奇點稱為函數(shù)稱為函數(shù)的的或?qū)懗苫驅(qū)懗?) 定義定義 0zz 如果洛朗級數(shù)中只有有限多個如果洛朗級數(shù)中只有有限多個的的負冪項負冪項, 1012020)()()()( zzazzazzazfmm )(010zzaa)0,1( mam第88頁/共108頁89說明說明:1.2.0)(0 zg特點特

40、點: :(1)(2)的極點 , , 則0z)(zf為函數(shù)如果.)(lim0 zfzz例例5 有理分式函數(shù),)2(23)(2 zzzzf是二級極點, , 0 z2 z是一級極點. . 20201)()()(zzazzaazgmmm內(nèi)是解析函數(shù)在 0zz第89頁/共108頁902)極點的判定方法極點的判定方法)(zf的負冪項為有0zz 的洛朗展開式中含有限項. .在點 的某去心鄰域內(nèi)0zmzzzgzf)()()(0 其中 在 的鄰域內(nèi)解析, ,且 )(zg0z. 0)(0 zg(1) 由定義判別由定義判別(2) 由定義的等價形式判別由定義的等價形式判別(3) 利用極限利用極限 )(lim0zfzz

41、判斷判斷 .第90頁/共108頁91本性奇點本性奇點3.如果洛朗級數(shù)中如果洛朗級數(shù)中含有無窮多個含有無窮多個0zz 那末孤立奇點那末孤立奇點0z稱為稱為)(zf的的本性奇點本性奇點.的負冪項的負冪項,例如，,!1! 211211 nzznzze)0( z含有無窮多個z z的負冪項 特點: : 在本性奇點的鄰域內(nèi))(lim0zfzz不存在且不為. 同時zze10lim不存在. .為本性奇點，所以0 z第91頁/共108頁921. 定義定義如果函數(shù)如果函數(shù))(zf在無窮遠點在無窮遠點 z的去心的去心鄰域鄰域 zR內(nèi)解析內(nèi)解析, , 則稱點則稱點 為為)(zf的的孤孤立奇點立奇點. .Rxyo第92

42、頁/共108頁93令變換:1zt 規(guī)定此變換將: :映射為 z, 0 t擴充 z 平面擴充 t 平面映射為)( nnzz)0(1 nnntzt映射為 zRRt10 映射為),(t tfzf1)(則第93頁/共108頁942 結(jié)論結(jié)論: 在去心鄰域 zR內(nèi)對函數(shù))(zf的研究在去心鄰域Rt10 內(nèi)對函數(shù))(t 的研究Rt10 因為 )(t 在去心鄰域內(nèi)是解析的, ,所以0 t是)(t 的孤立奇點. .3 規(guī)定規(guī)定: m級奇點或本性奇點 .)(t 的可去奇點、m級奇點或本性奇點, ,如果 t=0 是 z是)(zf的可去奇點、 那末就稱點第94頁/共108頁951)1)不含正冪項; ;2)2)含有有

43、限多的正冪項且mz為最高正冪; ;3)3)含有無窮多的正冪項; ;那末 z是)(zf的的1)1)可去奇點 ; ;2) m 級極點;3)3)本性奇點 . .判別法1 (1 (利用洛朗級數(shù)的特點) )4.判別方法判別方法:)(zf zR在內(nèi)的洛朗級數(shù)中: :如果第95頁/共108頁96例例6 6 (1)函數(shù)1)( zzzf在圓環(huán)域 z1內(nèi)的洛朗展開式為: : nnzzzzzf1)1(111111)(2不含正冪項所以 z是)(zf的可去奇點 . .(2)(2)函數(shù)zzzf1)( 含有正冪項且 z 為最高正冪項, ,所以 z是)(zf的 m級極點. .第96頁/共108頁97(3)函數(shù)zsin的展開式: )!12(! 5! 3sin1253nzzzzz