慣性張量-轉(zhuǎn)動(dòng)慣量[學(xué)習(xí)資料]

1、參考資料-一-頁(yè)眉頁(yè)腳可刪除-一轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，又稱慣性距、慣性矩（俗稱慣性力距、慣性力矩，易與力 矩混淆），通常以I表示，si單位為kg * m,可說(shuō)是一個(gè)物體對(duì) 于旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的慣性。對(duì)于一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，I二mr2，其中m是其質(zhì)量，r是質(zhì)點(diǎn)和轉(zhuǎn)軸的垂直 距離。丄=L皿片對(duì)于一個(gè)有多個(gè)質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)，ML 。若該系統(tǒng)由剛體組成，可以用無(wú)限個(gè)質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和，即用積分計(jì) 算其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。如果一個(gè)質(zhì)量為 m的物件，以某條經(jīng)過(guò)A點(diǎn)的直線為軸，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣 量為Ia。在空間取點(diǎn) B,使得AB垂直于原本的軸。那么如果以經(jīng) 過(guò)B平行于原本的軸的直線為軸，AB的距離為d，則Ib二I a+ md。 力距在直線運(yùn)動(dòng)，F(xiàn) = m

2、a在旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，則有t = I a ,其中t是力矩, a是角加速度。動(dòng)能礦12一般物件的動(dòng)能是 T 。將速度V和質(zhì)量m用轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)的定 義取代：K = 一2簡(jiǎn)化得一。如果一個(gè)人坐在一張可轉(zhuǎn)動(dòng)的椅子，雙手拿重物，張開(kāi)雙手，轉(zhuǎn) 動(dòng)椅子，然后突然將手縮到胸前，轉(zhuǎn)動(dòng)的速度將突然增加，因?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng) 慣量減少了。慣性張量對(duì)于三維空間中任意一參考點(diǎn) Q與以此參考點(diǎn)為原點(diǎn)的 直角座標(biāo)系 Qxyz，個(gè)剛體的慣性張量I是學(xué)習(xí)材料i參考資料-頁(yè)眉頁(yè)腳可刪除I甘工【劇G1怡G :。.>7J O對(duì)角兀素乙工、'畑 分別為對(duì)于x-軸、y-軸、z-軸的慣 dm對(duì)于點(diǎn)Q的相對(duì)位置。則這些這里，性矩。設(shè)定 為微小質(zhì)量慣性

3、矩，可以精簡(jiǎn)地用方程式定義為defdefyy =x2 + z2 dm，x2 + y2 dm|o而非對(duì)角元素，稱為慣性積，可以定義為xy dmxz dmyz dmo導(dǎo)引圖AIa.如圖A，一個(gè)剛體對(duì)于質(zhì)心G與以點(diǎn)G為原點(diǎn)的直角座標(biāo)系Gxyz 的角動(dòng)量L&定義為L(zhǎng)g = / r X * dm這里，丁代表微小質(zhì)量區(qū)在Gxyz座標(biāo)系的位置，1：計(jì)代表微小質(zhì)量 的速度。因?yàn)樗俣仁墙撬俣?"叉積位置，所以，Lg = / T % （3 x t） dm計(jì)算x-軸分量，#（3 x r）,玄（3 x r）y din學(xué)習(xí)材料3參考資料-頁(yè)眉頁(yè)腳可刪除=/ yy 一 y.yx + 一 dm=/+ z2

4、 一 Ljyjcy 一 3尹z dm=% j y1 -I- x1 dm 叫 J 工剳 dm % xz dm .相似地計(jì)算y-軸與z-軸分量，角動(dòng)量為L(zhǎng)ax = 5 I y1 + z2 dm I dm sq / xz dm學(xué)習(xí)材料#參考資料-頁(yè)眉頁(yè)腳可刪除如果，我們用方程式（1）設(shè)定對(duì)于質(zhì)心G的慣性張量丘，讓角速 度3為（址，嗎? S）,那么，Lg = lg 3。平行軸定理平行軸定理能夠很簡(jiǎn)易的，從對(duì)于一個(gè)以質(zhì)心為原點(diǎn)的座標(biāo)系統(tǒng)的慣性張量，轉(zhuǎn)換至另外一個(gè)平行的座標(biāo)系統(tǒng)。 假若已知?jiǎng)傮w對(duì)于質(zhì) 心G的慣性張量T，而質(zhì)心G的位置是 ，則剛體對(duì)于原點(diǎn)0的慣性張量I,依照平行軸定理，可以表述為,(6)證明

5、：ZBn圖Ba）參考圖B，讓仗：/ 列）、（場(chǎng)爐R分別為微小質(zhì)量 心G與原點(diǎn)0的相對(duì)位置：劭=I可,=<+乏。依照方程式（2），1.工=I yt2 zf2 dmIxx = + z2 dm所以，匚=f （+ y）2 * （* I 即 dm=ba I m（y2 + 0）相似地，可以求得L、的方程式b）依照方程式（3），= - / 工宙 dm因?yàn)閦 = I癥，y =參視圖C，設(shè)定點(diǎn)O為直角座標(biāo)系的原點(diǎn)，點(diǎn) Q為二維空間里任 意一點(diǎn)，Q不等于0。思考一個(gè)剛體，對(duì)于 0Q-軸的慣性矩是 IOq =/ 護(hù)力"=J I"這里，.是微小質(zhì)量離0Q-軸的垂直距離，呵是沿著0Q-軸的單 位向量，是微小質(zhì)量也的位置。展開(kāi)叉積，loql （"廬一佔(zhàn) + 仏？ -+ （跟/ - 7）yx）2 dm稍微加以編排，log =2 / y2 + z2 dm + ?/： / x2 +z7 dm + tjI J x2 + y2 dm 2rxiy f xy dm 2耳