2009年上海高考數(shù)學理科卷帶詳解

1、2009年上海市高考數(shù)學試卷（理科）一、填空題（共14小題，每小題4分，滿分56分）1若復數(shù)z滿足z（1+i）=1i（i是虛數(shù)單位），則其共軛復數(shù)=_【測量目標】復數(shù)的基本概念；復數(shù)代數(shù)形式的四則運算.【考查方式】化簡復數(shù)等式，求解一個復數(shù)的共軛復數(shù).【難易程度】中等【參考答案】i【試題解析】設zabi，則（abi）(1+i) =1i，即ab（ab）i1i，（步驟1）由，解得a0，b1，所以zi，i，故答案為i（步驟2）2已知集合A=x|x1，B=x|xa，且AB=R，則實數(shù)a的取值范圍是_【測量目標】集合的基本運算.【考查方式】給出兩個集合，已知集合間的關系，運用數(shù)軸法求解集合中未知參數(shù)的取

2、值范圍【難易程度】容易【參考答案】a1【試題解析】因為AB=R，畫數(shù)軸可知，實數(shù)a必須在點1上或在1的左邊，所以，有a1.第2題圖 3若行列式中，元素4的代數(shù)余子式大于0，則x滿足的條件是_【測量目標】矩陣初步.【考查方式】根據(jù)代數(shù)余子式的概念，列出關于x的不等式求出取值范圍.【難易程度】中等【參考答案】x【試題解析】依題意，得： (1)2(9x24)0，解得：，故答案為：x.4某算法的程序框如下圖所示，則輸出量y與輸入量x滿足的關系式是_ 第4題圖 【測量目標】選擇結(jié)構(gòu)程序框圖.【考查方式】給出程序框圖，按照程序框圖的執(zhí)行流程分析循環(huán)過程，判斷輸入值與輸出值之間的關系.【難易程度】容易【參考

3、答案】【試題解析】根據(jù)流程圖所示的順序，程序的作用是分段函數(shù)的函數(shù)值其中輸出量y與輸入量x滿足的關系式是，故答案為：.5如圖，若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面邊長為2，高為4，則異面直線BD1與AD所成角的大小是_.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）第5題圖 【測量目標】異面直線所成的角.【考查方式】給出正四棱柱的邊長及高，判斷正四棱柱中兩條異面直線所成角的值.【難易程度】容易【參考答案】arctan【試題解析】先畫出圖形將AD平移到BC，則D1BC為異面直線BD1與AD所成角，（步驟1）BC=2，D1C=，tanD1BC=，D1BC=arctan，故答案為arctan（步驟2）第5題圖 6函

4、數(shù)y=2cos2x+sin2x的最小值是_【測量目標】三角函數(shù)的最值.【考查方式】給出三角函數(shù)，通過化簡求解函數(shù)的最小值.【難易程度】中等【參考答案】1【試題解析】=1+（步驟1）當=2k，有最小值1，故答案為1.（步驟2）7某學校要從5名男生和2名女生中選出2人作為上海世博會志愿者，若用隨機變量表示選出的志愿者中女生的人數(shù)，則數(shù)學期望E_（結(jié)果用最簡分數(shù)表示）【測量目標】離散型隨機變量的期望與方差【考查方式】給出數(shù)學實例，結(jié)合變量對應的事件寫出分布列求出期望【難易程度】容易【參考答案】【試題解析】用隨機變量表示選出的志愿者中女生的人數(shù)，可取0，1，2，當=0時，表示沒有選到女生；當=1時，表

5、示選到一個女生；當=2時，表示選到2個女生，（步驟1）P（=0）=.P（=1）=.P（=2）=（步驟2）E=0=故答案為：.（步驟3）8已知三個球的半徑R1，R2，R3滿足R1+2R2=3R3，則它們的表面積S1，S2，S3，滿足的等量關系是_【測量目標】球的表面積.【考查方式】給出三個球的半徑之間的關系，根據(jù)面積公式推出表面積之間的關系.【難易程度】中等【參考答案】【試題解析】因為=4R12，所以，同理：，（步驟1）即R1=，R2=，R3=，由S1+S2=3R3得，故答案為：.（步驟2）9已知F1、F2是橢圓C：（ab0）的兩個焦點，P為橢圓C上一點，且若PF1F2的面積為9，則b=_【測量

6、目標】橢圓的簡單幾何性質(zhì).【考查方式】給出橢圓上的一點與橢圓兩交點之間的位置關系，及它們所形成的三角形面積求解橢圓方程中b的值.【難易程度】中等【參考答案】3【試題解析】依題意，有，可得即故有.10在極坐標系中，由三條直線=0，cos+sin=1圍成圖形的面積等于_【測量目標】坐標系與參數(shù)方程.【考查方式】給出直線的參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為普通方程后求解直線與坐標軸所形成的三角形面積.【難易程度】容易【參考答案】【試題解析】化為普通方程，分別為：y0，yx，xy1，畫出三條直線的圖像如右圖，（步驟1）可求得A（，），B（1,0），三角形AOB的面積為：（步驟2）第10題圖 11當時，不等式sinxkx

7、恒成立則實數(shù)k的取值范圍是_【測量目標】不等式恒成立問題.【考查方式】給出x在一定區(qū)間內(nèi)，不等式恒成立的關系式，利用圖像得到k的范圍.【難易程度】中等【參考答案】k2【試題解析】設m=sinx，n=kx，x0，根據(jù)題意畫圖得：mn恒成立即要m的圖像要在n圖像的上面，當x=時即x=時相等，所以此時k=2，所以k2，故答案為k2.第11題圖 12已知函數(shù)f（x）=sin x+tan x，項數(shù)為27的等差數(shù)列an滿足an（,），且公差d0，若f（a1）+f（a2）+f（a27）=0，則當k=_時，f（ak）=0【測量目標】函數(shù)的奇偶性.【考查方式】利用奇函數(shù)的性質(zhì)及等差數(shù)列的性質(zhì)求解綜合性問題.【難

8、易程度】中等【參考答案】14【試題解析】因為函數(shù)f（x）=sinx+tanx是奇函數(shù)，所以圖像關于原點對稱，圖像過原點（步驟1）而等差數(shù)列an有27項，an（,）若f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a27）=0，則必有f（a14）=0，所以k=14故答案為：14.（步驟2）13某地街道呈現(xiàn)東西、南北向的網(wǎng)格狀，相鄰街距都為1兩街道相交的點稱為格點若以互相垂直的兩條街道為軸建立直角坐標系，現(xiàn)有下述格點（2，2），（3，1），（3，4），（2，3），（4，5），（6，6）為報刊零售點請確定一個格點（除零售點外）_為發(fā)行站，使6個零售點沿街道到發(fā)行站之間路程的和最短【測量目標】兩點間距離公式的

9、應用.【考查方式】利用兩點間的距離公式判斷實際問題中的最短路線問題.【難易程度】中等【參考答案】（3，3）【試題解析】設發(fā)行站的位置為（x，y），零售點到發(fā)行站的距離為z，則z=2|x+2|+|y2|+2|x3|+|y1|+|y4|+|y3|+|x4|+|y5|+|x6|+|y6|，（步驟1）這六個點的橫縱坐標的平均值為，（步驟2）記A（2，），畫圖可知發(fā)行站的位置應該在點A附近，代入附近的點的坐標進行比較可知，在（3，3）處z取得最小值.故答案為（3，3）（步驟3）第13題圖 14將函數(shù)（x0，6）的圖像繞坐標原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角（0），得到曲線C若對于每一個旋轉(zhuǎn)角，曲線C都是一個函數(shù)的圖像

10、，則的最大值為_【測量目標】函數(shù)圖像的性質(zhì).【考查方式】給出曲線函數(shù)解析式，通過圍繞原點旋轉(zhuǎn)，判斷旋轉(zhuǎn)角與函數(shù)關系式之間的關系.【難易程度】中等【參考答案】【試題解析】先畫出函數(shù)（x0，6）的圖像這是一個圓弧，圓心為M（3，2）由圖可知當此圓弧繞坐標原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角大于MAB時，曲線C都不是一個函數(shù)的圖像MAB=故答案為：.第14題圖 二、選擇題（共4小題，每小題4分，滿分16分）15 “2a2”是“實系數(shù)一元二次方程x2+ax+1=0有虛根”的（ ）A必要不充分條件 B充分不必要條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件【測量目標】充分、必要條件.【考查方式】給出兩個命題判斷它們之間的關系

11、【難易程度】容易【參考答案】A【試題解析】實系數(shù)一元二次方程x2+ax+1=0有虛根，=a240，解得2a2，（步驟1）“2a2”是“2a2”的必要不充分條件，（步驟2）故選A16若事件E與F相互獨立，且P（E）=P（F）=，則P（EF）的值等于（）A0 B C D【測量目標】相互獨立事件的概率乘法公式【考查方式】給出相互獨立事件的概率，由相互獨立事件的概率計算公式P（EF）=P（E）P（F），求解.【難易程度】容易【參考答案】B【試題解析】故選B17有專業(yè)機構(gòu)認為甲型H1 N1流感在一段時間沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標志為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過15人”根據(jù)過去10天甲、乙、丙、丁

12、四地新增疑似病例數(shù)據(jù)，一定符合該標志的是 （）A甲地：總體均值為6，中位數(shù)為8 B乙地：總體均值為5，總體方差為12C丙地：中位數(shù)為5，眾數(shù)為6 D丁地：總體均值為3，總體方差大于0【測量目標】用樣本數(shù)字特征估計總體數(shù)字特征.【考查方式】運用均值、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的數(shù)值特征對整體數(shù)字特征進行估計【難易程度】容易【參考答案】B【試題解析】假設連續(xù)10天，每天新增疑似病例的人數(shù)分別為x1，x2，x3，x10并設有一天超過15人，不妨設第一天為16人，根據(jù)計算方差公式有s2= （165）2+（x25）2+（x35）2+（x105）212，說明乙地連續(xù)10天，每天新增疑似病例的人數(shù)都不超過15人故選

13、B18過圓C：（x1）2+（y1）2=1的圓心，作直線分別交x、y正半軸于點A、B，AOB被圓分成四部分（如圖），若這四部分圖形面積滿足SI +SIV= SII + S則直線AB有 （ ）A0條 B1條 C2條 D3條第18題圖 【測量目標】直線與圓的位置關系.【考查方式】給出已知圓方程，討論過圓心把圓分割的面積成等量關系的直線的條數(shù).【難易程度】中等【參考答案】B【試題解析】由已知，得：SIVSII=SSI，由圖形可知第II，IV部分的面積分別為S正方形OECFS扇形ECF=1 和S扇形ECF= ，所以，SIVSII為定值，即SSI為定值，（步驟1）當直線AB繞著圓心C移動時，只可能有一個位

14、置符合題意，即直線AB只有一條（步驟2）故選B三、解答題（共5小題，滿分78分）19如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=BC=AB=2，ABBC，求二面角的大小第19題圖 【測量目標】向量在幾何中的應用；二面角.【考查方式】給出直三棱柱棱長的長度及其之間的關系，求解直三棱柱中二面角的大小.【難易程度】中等【試題解析】如圖，建立空間直角坐標系則A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（0，0，2），C1（0，2，2），(步驟1)設AC的中點為M，BMAC，BMCC1BM平面A1C1C，即=（1，1，0）是平面A1C1C的一個法向量（步驟2）設平面A1B1C的一個法向

15、量是=（x，y，z）=（2，2，2），=（2，0，0），（步驟3）令z=1，解得x=0，y=1=（0，1，1），（步驟4）設法向量與的夾角為，二面角B1A1CC1的大小為，顯然為銳角cos=|cos|=，解得：=二面角B1A1CC1的大小為（步驟5）第19題圖 20有時可用函數(shù)f（x）=，描述學習某學科知識的掌握程度其中x表示某學科知識的學習次數(shù)（xN*），f（x）表示對該學科知識的掌握程度，正實數(shù)a與學科知識有關（1）證明：當x7時，掌握程度的增長量f（x+1）f（x）總是下降；（2）根據(jù)經(jīng)驗，學科甲、乙、丙對應的a的取值區(qū)間分別為（115，121，（121，127，（127，133當學習某

16、學科知識6次時，掌握程度是85%，請確定相應的學科【測量目標】分段函數(shù)【考查方式】求解分段函數(shù)在實際問題中的應用問題.【難易程度】容易【試題解析】證明：（1）當x7時，（步驟1）而當x7時，函數(shù)y=（x3）（x4）單調(diào)遞增，且（x3）（x4）0故函數(shù)f（x+1）f（x）單調(diào)遞減，當x7時，掌握程度的增長量f（x+1）f（x）總是下降（步驟2）（2）由題意可知0.1+15ln=0.85（步驟3）整理得解得，由此可知，該學科是乙學科.（步驟4）21已知雙曲線，設直線l過點.（1）當直線l與雙曲線C的一條漸近線m平行時，求直線l的方程及l(fā)與m的距離；（2）證明：當k時，在雙曲線C的右支上不存在點Q，

17、使之到直線l的距離為【測量目標】雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關系.【考查方式】給出雙曲線方程及直線l與雙曲線的位置關系，求解直線方程及直線與雙曲線漸近線的距離，探討雙曲線上是否存在一點使得在直線斜率一定的情況下，點到直線的距離為一定值.【難易程度】中等【試題解析】（1）雙曲線C的漸近線，即直線l的方程（步驟1）直線l與m的距離（步驟2）（2）設過原點且平行于l的直線b：kxy=0，則直線l與b的距離，（步驟3）當又雙曲線C的漸近線為，（步驟4）雙曲線C的右支在直線b的右下方，雙曲線C的右支上的任意點到直線l的距離大于故在雙曲線C的右支上不存在點Q（x0，y0）到到直線l的距離為（步

18、驟5）22已知函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)定義：若對給定的實數(shù)a（a0），函數(shù)y=f（x+a）與互為反函數(shù)，則稱y=f（x）滿足“a和性質(zhì)”；若函數(shù)y=f（ax）與互為反函數(shù)，則稱y=f（x）滿足“a積性質(zhì)”（1）判斷函數(shù)g（x）=x2+1（x0）是否滿足“1和性質(zhì)”，并說明理由；（2）求所有滿足“2和性質(zhì)”的一次函數(shù)；（3）設函數(shù)y=f（x）（x0）對任何a0，滿足“a積性質(zhì)”求y=f（x）的表達式【測量目標】反函數(shù).【考查方式】給出一種關于函數(shù)的新定義，討論新定義的具體應用.【難易程度】較難【試題解析】（1）函數(shù)g（x）=x2+1（x0）的反函數(shù)是，（步驟1）而g（x+1）=（x+1）2+1（

19、x1），其反函數(shù)為，故函數(shù)g（x）=x2+1（x0）不滿足“1和性質(zhì)”（步驟2）（2）設函數(shù)f（x）=kx+b（xR）滿足“2和性質(zhì)”，k0，（步驟3）而 f（x+2）=k（x+2）+b（xR），得反函數(shù)，（步驟4）由“2和性質(zhì)”定義可知 =，對（xR）恒成立k=1，bR，即所求一次函數(shù)f（x）=x+b（bR）（步驟5）（3）設a0，x00，且點（x0，y0）在y=f（ax）圖像上，則（y0，x0）在函數(shù)圖像上，故，可得 ay0=f（x0）=af（ax0），（步驟6）令 ax0=x，則，即（步驟7）綜上所述，此時，其反函數(shù)是，而，故y=f（ax）與互為反函數(shù)（步驟8）23已知an是公差為d的等差數(shù)列，bn是公比為q的等比數(shù)列（1）