線性代數(shù)的學(xué)習(xí)方法和心得體會(huì)

1、一、學(xué)習(xí)方法今天先談?wù)剬?duì)線形空間和矩陣的幾個(gè)核心概念的理解。 這些東西大部分是憑著自己的理解寫出來(lái)的，基本上不抄書，可能有錯(cuò)誤的地方，希望能夠被指出。但我希望做到直覺，也就是說(shuō)能把數(shù)學(xué)背后說(shuō)的實(shí)質(zhì)問(wèn)題說(shuō)出來(lái)。首先說(shuō)說(shuō)空間 （space） ，這個(gè)概念是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的命根子之一，從拓?fù)淇臻g開始，一步步往上加定義，可以形成很多空間。線形空間其實(shí)還是比較初級(jí)的，如果在里面定義了范數(shù)，就成了賦范線性空間。 賦范線性空間滿足完備性， 就成了巴那赫空間；賦范線性空間中定義角度， 就有了內(nèi)積空間， 內(nèi)積空間再滿足完備性，就得到希爾伯特空間。總之， 空間有很多種。你要是去看某種空間的數(shù)學(xué)定義，大致都是“存在一個(gè)集合

2、， 在這個(gè)集合上定義某某概念， 然后滿足某些性質(zhì)”， 就可以被稱為空間。這未免有點(diǎn)奇怪，為什么要用“空間”來(lái)稱呼一些這樣的集合呢大家將會(huì)看到，其實(shí)這是很有道理的。我們一般人最熟悉的空間， 毫無(wú)疑問(wèn)就是我們生活在其中的 （按照牛頓的絕對(duì)時(shí)空觀）的三維空間，從數(shù)學(xué)上說(shuō)，這是一個(gè)三維的歐幾里德空間，我們先不管那么多， 先看看我們熟悉的這樣一個(gè)空間有些什么最基本的特點(diǎn)。 仔細(xì)想想我們就會(huì)知道，這個(gè)三維的空間： 1. 由很多（實(shí)際上是無(wú)窮多個(gè)）位置點(diǎn)組成；2. 這些點(diǎn)之間存在相對(duì)的關(guān)系； 3. 可以在空間中定義長(zhǎng)度、角度； 4. 這個(gè)空間可以容納運(yùn)動(dòng)，這里我們所說(shuō)的運(yùn)動(dòng)是從一個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)點(diǎn)的移動(dòng)（變換）

3、，而不是微積分意義上的“連續(xù)”性的運(yùn)動(dòng)，認(rèn)識(shí)到了這些，我們就可以把我們關(guān)于三維空間的認(rèn)識(shí)擴(kuò)展到其他的空間。事實(shí)上， 不管是什么空間， 都必須容納和支持在其中發(fā)生的符合規(guī)則的運(yùn)動(dòng) （變換）。你會(huì)發(fā)現(xiàn)，在某種空間中往往會(huì)存在一種相對(duì)應(yīng)的變換，比如拓?fù)淇臻g中有拓?fù)渥儞Q，線性空間中有線性變換， 仿射空間中有仿射變換， 其實(shí)這些變換都只不過(guò)是對(duì)應(yīng)空間中允許的運(yùn)動(dòng)形式而已。因此只要知道， “空間”是容納運(yùn)動(dòng)的一個(gè)對(duì)象集合， 而變換則規(guī)定了對(duì)應(yīng)空間的運(yùn)動(dòng)。下面我們來(lái)看看線性空間。 線性空間的定義任何一本書上都有， 但是既然我 們承認(rèn)線性空間是個(gè)空間， 那么有兩個(gè)最基本的問(wèn)題必須首先得到解決， 那就是：1.

4、空間是一個(gè)對(duì)象集合，線性空間也是空間，所以也是一個(gè)對(duì)象集合。那 么線性空間是什么樣的對(duì)象的集合或者說(shuō)，線性空間中的對(duì)象有什么共同點(diǎn)嗎2. 線性空間中的運(yùn)動(dòng)如何表述的也就是，線性變換是如何表示的我們先來(lái)回答第一個(gè)問(wèn)題， 回答這個(gè)問(wèn)題的時(shí)候其實(shí)是不用拐彎抹角的， 可 以直截了當(dāng)?shù)慕o出答案。 線性空間中的任何一個(gè)對(duì)象， 通過(guò)選取基和坐標(biāo)的辦法， 都可以表達(dá)為向量的形式。 通常的向量空間我就不說(shuō)了， 舉兩個(gè)不那么平凡的例 子：L1. 最高次項(xiàng)不大于n 次的多項(xiàng)式的全體構(gòu)成一個(gè)線性空間， 也就是說(shuō)， 這個(gè)線性空間中的每一個(gè)對(duì)象是一個(gè)多項(xiàng)式。如果我們以x0, x1,，xn為基，那么任何一個(gè)這樣的多項(xiàng)式都可

5、以表達(dá)為一組 n+1 維向量，其中的每一個(gè)分量ai其實(shí)就是多項(xiàng)式中x(i-1) 項(xiàng)的系數(shù)。值得說(shuō)明的是，基的選取有多種辦法， 只要所選取的那一組基線性無(wú)關(guān)就可以。 這要用到后面提到的概念了， 所以這里先不說(shuō)， 提一下而已。下面來(lái)回答第二個(gè)問(wèn)題， 這個(gè)問(wèn)題的回答會(huì)涉及到線性代數(shù)的一個(gè)最根本的 問(wèn)題。線性空間中的運(yùn)動(dòng)， 被稱為線性變換。也就是說(shuō)，你從線性空間中的一個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到任意的另外一個(gè)點(diǎn)，都可以通過(guò)一個(gè)線性變化來(lái)完成。那么， 線性變換如何表示呢很有意思， 在線性空間中，當(dāng)你選定一組基之后，不僅可以用一個(gè)向量來(lái)描述空間中的任何一個(gè)對(duì)象， 而且可以用矩陣來(lái)描述該空間中的任何一個(gè)運(yùn)動(dòng)(變換)。而使某個(gè)

6、對(duì)象發(fā)生對(duì)應(yīng)運(yùn)動(dòng)的方法，就是用代表那個(gè)運(yùn)動(dòng)的矩陣，乘 以代表那個(gè)對(duì)象的向量。簡(jiǎn)而言之， 在線性空間中選定基之后， 向量刻畫對(duì)象， 矩陣刻畫對(duì)象的運(yùn)動(dòng)， 用矩陣與向量的乘法施加運(yùn)動(dòng)。是的，矩陣的本質(zhì)是運(yùn)動(dòng)的描述。如果以后有人問(wèn)你矩陣是什么，那么你就 可以響亮地告訴他，矩陣的本質(zhì)是運(yùn)動(dòng)的描述。（chensh,說(shuō)你呢！）可是多么有意思啊，向量本身不是也可以看成是 n x1矩陣嗎這實(shí)在是很奇 妙，一個(gè)空間中的對(duì)象和運(yùn)動(dòng)竟然可以用相類同的方式表示。能說(shuō)這是巧合嗎如果是巧合的話，那可真是幸運(yùn)的巧合！可以說(shuō)，線性代數(shù)中大多數(shù)奇妙的性質(zhì)， 均與這個(gè)巧合有直接的關(guān)系。接著理解矩陣、我們說(shuō)“矩陣是運(yùn)動(dòng)的描述”，到

7、現(xiàn)在為止，好像大家都還沒什么意見。但 是我相信早晚會(huì)有數(shù)學(xué)系出身的網(wǎng)友來(lái)拍板轉(zhuǎn)。因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)這個(gè)概念，在數(shù)學(xué)和物理里是跟微積分聯(lián)系在一起的。我們學(xué)習(xí)微積分的時(shí)候，總會(huì)有人照本宣科地告 訴你，初等數(shù)學(xué)是研究常量的數(shù)學(xué)，是研究靜態(tài)的數(shù)學(xué)，高等數(shù)學(xué)是變量的數(shù)學(xué)， 是研究運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)。大家口口相傳， 差不多人人都知道這句話。但是真知道這句 話說(shuō)的是什么意思的人，好像也不多。簡(jiǎn)而言之，在我們?nèi)祟惖慕?jīng)驗(yàn)里，運(yùn)動(dòng)是 一個(gè)連續(xù)過(guò)程，從A點(diǎn)到B點(diǎn)，就算走得最快的光，也是需要一個(gè)時(shí)間來(lái)逐點(diǎn)地 經(jīng)過(guò)AB之間的路徑，這就帶來(lái)了連續(xù)性的概念。而連續(xù)這個(gè)事情，如果不定義 極限的概念，根本就解釋不了。古希臘人的數(shù)學(xué)非常強(qiáng)，但就是

8、缺乏極限觀念， 所以解釋不了運(yùn)動(dòng)，被芝諾的那些著名悖論 （飛箭不動(dòng)、飛毛腿阿喀琉斯跑不過(guò) 烏龜?shù)人膫€(gè)悖論）搞得死去活來(lái)。因?yàn)檫@篇文章不是講微積分的，所以我就不多 說(shuō)了。有興趣的讀者可以去看看齊民友教授寫的重溫微積分。我就是讀了這 本書開頭的部分，才明白“高等數(shù)學(xué)是研究運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)”這句話的道理?！熬仃囀蔷€性空間里躍遷的描述”?？墒沁@樣說(shuō)又太物理，也就是說(shuō)太具體，而不夠數(shù)學(xué)，也就是說(shuō)不夠抽象。 因此我們最后換用一個(gè)正牌的數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)一一變換，來(lái)描述這個(gè)事情。這樣一說(shuō)， 大家就應(yīng)該明白了，所謂變換，其實(shí)就是空間里從一個(gè)點(diǎn)（元素/對(duì)象）到另一個(gè)點(diǎn)（元素/對(duì)象）的躍遷。比如說(shuō)，拓?fù)渥儞Q，就是在拓?fù)淇臻g里從一

9、個(gè)點(diǎn)到 另一個(gè)點(diǎn)的躍遷。再比如說(shuō)，仿射變換，就是在仿射空間里從一個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)點(diǎn) 的躍遷。附帶說(shuō)一下，這個(gè)仿射空間跟向量空間是親兄弟。 做計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的朋 友都知道， 盡管描述一個(gè)三維對(duì)象只需要三維向量， 但所有的計(jì)算機(jī)圖形學(xué)變換矩陣都是 4 x 4 的。說(shuō)其原因，很多書上都寫著“為了使用中方便”，這在我看來(lái)簡(jiǎn)直就是企圖蒙混過(guò)關(guān)。 真正的原因， 是因?yàn)樵谟?jì)算機(jī)圖形學(xué)里應(yīng)用的圖形變換，實(shí)際上是在仿射空間而不是向量空間中進(jìn)行的。想想看，在向量空間里相一個(gè)向量平行移動(dòng)以后仍是相同的那個(gè)向量， 而現(xiàn)實(shí)世界等長(zhǎng)的兩個(gè)平行線段當(dāng)然不能被認(rèn)為同一個(gè)東西， 所以計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的生存空間實(shí)際上是仿射空間。 而仿射變

10、換的矩陣表示根本就是4 x 4 的。又扯遠(yuǎn)了，有興趣的讀者可以去看計(jì)算機(jī)圖形學(xué)幾何工具算法詳解。一旦我們理解了“變換”這個(gè)概念，矩陣的定義就變成：“矩陣是線性空間里的變換的描述?！钡竭@里為止， 我們終于得到了一個(gè)看上去比較數(shù)學(xué)的定義。 不過(guò)還要多說(shuō)幾句。教材上一般是這么說(shuō)的， 在一個(gè)線性空間 V 里的一個(gè)線性變換T， 當(dāng)選定一組基之后，就可以表示為矩陣。因此我們還要說(shuō)清楚到底什么是線性變換， 什么是基，什么叫選定一組基。線性變換的定義是很簡(jiǎn)單的，設(shè)有一種變換T,使得對(duì)于線性空間V中問(wèn)任何兩個(gè)不相同的對(duì)象x和y,以及任意實(shí)數(shù)a和b,有：T(ax + by) = aT(x) + bT(y) ， 那

11、么就稱 T 為線性變換。接著往下說(shuō)， 什么是基呢這個(gè)問(wèn)題在后面還要大講一番， 這里只要把基看成是線性空間里的坐標(biāo)系就可以了。注意是坐標(biāo)系，不是坐標(biāo)值，這兩者可是一個(gè)“對(duì)立矛盾統(tǒng)一體”。 這樣一來(lái)， “選定一組基”就是說(shuō)在線性空間里選定一個(gè) 坐標(biāo)系。就這意思。好，最后我們把矩陣的定義完善如下：“矩陣是線性空間中的線性變換的一個(gè)描述。 在一個(gè)線性空間中， 只要我們 選定一組基，那么對(duì)于任何一個(gè)線性變換，都能夠用一個(gè)確定的矩陣來(lái)加以描述。”同樣的， 對(duì)于一個(gè)線性變換，只要你選定一組基，那么就可以找到一個(gè)矩陣來(lái)描述這個(gè)線性變換。換一組基， 就得到一個(gè)不同的矩陣。 所有這些矩陣都是這 同一個(gè)線性變換的描

12、述，但又都不是線性變換本身。但是這樣的話， 問(wèn)題就來(lái)了如果你給我兩張豬的照片， 我怎么知道這兩張照片上的是同一頭豬呢同樣的， 你給我兩個(gè)矩陣， 我怎么知道這兩個(gè)矩陣是描述的同一個(gè)線性變換呢如果是同一個(gè)線性變換的不同的矩陣描述，那就是本家兄弟了，見面不認(rèn)識(shí)，豈不成了笑話。好在，我們可以找到同一個(gè)線性變換的矩陣兄弟們的一個(gè)性質(zhì)，那就是：若矩陣A與B是同一個(gè)線性變換的兩個(gè)不同的描述（之所以會(huì)不同，是因?yàn)檫x定了不同的基，也就是選定了不同的坐標(biāo)系） ， 則一定能找到一個(gè)非奇異矩陣 P,使得A B之間滿足這樣的關(guān)系：A = P-1BP線性代數(shù)稍微熟一點(diǎn)的讀者一下就看出來(lái)，這就是相似矩陣的定義。沒錯(cuò)，所謂相

13、似矩陣，就是同一個(gè)線性變換的不同的描述矩陣。按照這個(gè)定義， 同一頭 豬的不同角度的照片也可以成為相似照片。俗了一點(diǎn)，不過(guò)能讓人明白。而在上面式子里那個(gè)矩陣P,其實(shí)就是A矩陣所基于的基與B矩陣所基于的 基這兩組基之間的一個(gè)變換關(guān)系。 關(guān)于這個(gè)結(jié)論， 可以用一種非常直覺的方法來(lái) 證明（而不是一般教科書上那種形式上的證明），如果有時(shí)間的話，我以后在blog 里補(bǔ)充這個(gè)證明。這樣一來(lái)，矩陣作為線性變換描述的一面，基本上說(shuō)清楚了。但是，事情沒有那么簡(jiǎn)單，或者說(shuō)，線性代數(shù)還有比這更奇妙的性質(zhì)，那就是，矩陣不僅可以作為線性變換的描述，而且可以作為一組基的描述。而作為變換的矩陣， 不但可以把線性空間中的一個(gè)點(diǎn)

14、給變換到另一個(gè)點(diǎn)去， 而且也能夠把線性空間中的一個(gè)坐標(biāo)系（基）表?yè)Q到另一個(gè)坐標(biāo)系（基）去。而且，變換點(diǎn)與變換坐標(biāo)系，具有異曲同工的效果。線性代數(shù)里最有趣的奧妙，就蘊(yùn)含在其中。理解了這些內(nèi)容，線性代數(shù)里很多定理和規(guī)則會(huì)變得更加清晰、直覺。二、學(xué)習(xí)心得線性代數(shù)是一門對(duì)理工科學(xué)生極其重要數(shù)學(xué)學(xué)科。 線性代數(shù)主要處理的是線 性關(guān)系的問(wèn)題，隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，線性代數(shù)的含義也不斷的擴(kuò)大。 它的理論不僅 滲透到了數(shù)學(xué)的許多分支中，而且在理論物理、理論化學(xué)、工程技術(shù)、國(guó)民經(jīng)濟(jì)、 生物技術(shù)、航天、航海等領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用。同時(shí)，該課程對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生 的邏輯推理和抽象思維能力、空間直觀和想象能力具有重要的作用。線

15、代課本的前言上就說(shuō)：“在現(xiàn)代社會(huì)，除了算術(shù)以外，線性代數(shù)是應(yīng)用最 廣泛的數(shù)學(xué)學(xué)科了?！蔽覀兊木€代教學(xué)的一個(gè)很大的問(wèn)題就是對(duì)線性代數(shù)的應(yīng)用 涉及太少，課本上涉及最多的只能算解線性方程組了， 但這只是線性代數(shù)很初級(jí) 的應(yīng)用。我自己對(duì)線性代數(shù)的應(yīng)用了解的也不多。但是，線性代數(shù)在計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、算法、密碼學(xué)、對(duì)策論等等中都有著相當(dāng)大的作用。沒有應(yīng)用到的內(nèi)容很容易忘，就像現(xiàn)代一樣，我現(xiàn)在高數(shù)還基本記得。因?yàn)?高數(shù)在很多課程中都有廣泛的應(yīng)用，比如在開設(shè)的大學(xué)物理課中。所以，如果有時(shí)間的話，要盡可能地到網(wǎng)上或圖書館了解線性代數(shù)在各方面的應(yīng)用。如： 線 性代數(shù)（居余馬等編，清華大學(xué)出版社）上就有線性代數(shù)在“人

16、口模型”、“馬 爾可夫鏈”、“投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型”、“圖的鄰接矩陣”等方面的應(yīng)用。也可以 試著用線性代數(shù)的方法和知識(shí)證明以前學(xué)過(guò)的定理或高數(shù)中的定理，如老的高中解析幾何課本上的轉(zhuǎn)軸公式，它就可以用線性代數(shù)中的過(guò)渡矩陣來(lái)證明。線性代數(shù)被不少同學(xué)稱為“天書”，足見這門課給同學(xué)們?cè)斐傻睦щy。在這 門課的學(xué)習(xí)過(guò)程中，很多同學(xué)遇到了上課聽不懂，一上課就想睡覺，公式定理理解不了，知道了知識(shí)但不會(huì)做題，記不住等問(wèn)題。我認(rèn)為，每門課程都是有章可 循的，線性代也不例外，只要有正確的方法，再加上自己的努力，就可以學(xué)好它。一定要重視上課聽講，不能使線代的學(xué)習(xí)退化為自學(xué)。上課時(shí)干別的會(huì)受到 老師講課的影響，那為什么不利用好這一小時(shí)四十分鐘呢上課時(shí)，老師的一句話 就可能使你豁然開朗，就可能改變你的學(xué)習(xí)方法甚至改變你的一生。上課時(shí)一定 要“虛心”，即使老師講的某個(gè)題自己會(huì)做也要聽一下老師的思路。上完課后不少同學(xué)喜歡把上課的內(nèi)容看一遍再做作業(yè)實(shí)際上應(yīng)該先試著做題，不會(huì)時(shí)看書后或做完后看書。這樣，作業(yè)可以幫你回憶老師講的內(nèi)容，重要 的是這些內(nèi)容是自己回憶起來(lái)的， 這樣能記得更牢，而且可以通過(guò)作業(yè)發(fā)現(xiàn)自己 哪些部分還沒掌握好。作業(yè)盡量在上課的當(dāng)天或第二天做， 這樣能減少遺忘給做 作業(yè)造成的困難。做作業(yè)時(shí)遇到不會(huì)的題可以問(wèn)別人或參考同學(xué)的解答，但一定要真正理解別人的思路，