高等代數(shù)課件第7章歐式空間7.2歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基

1、 正交的概念正交的概念 正交向量組的概念正交向量組的概念. ,0,yxyx與與稱向量稱向量時時當(dāng)當(dāng) 正交正交., 0,與任何向量都正交與任何向量都正交則則若若由定義知由定義知 xx 若一非零向量組中的向量兩兩正交，則稱該向若一非零向量組中的向量兩兩正交，則稱該向量組為正交向量組量組為正交向量組正交向量組的概念及求法正交向量組的概念及求法, 0021111 T由由.01 從而有從而有. 02 r 同理可得同理可得.,21線性無關(guān)線性無關(guān)故故r 使使設(shè)有設(shè)有r ,21證明證明02211 r 得得左左乘乘上上式式兩兩端端以以,1aT0111 T 正交向量組的性質(zhì)正交向量組的性質(zhì)線性無關(guān).線性無關(guān).,

2、 , , ,則則非零向量,非零向量,是一組兩兩正交的是一組兩兩正交的, , , ,維向量維向量若若定理定理rrn 2121 1例例1 1 已知三維向量空間中兩個向量已知三維向量空間中兩個向量 121,11121 正交，試求正交，試求 使使 構(gòu)成三維空間的一個正交構(gòu)成三維空間的一個正交基基.3 321 , 歐氏空間的正交基歐氏空間的正交基., 212121的正交基歐氏空間是則稱組是兩兩正交的非零向量且的一個基是向量空間若VVrrr即即 02,0,3213232131xxxxxx 解之得解之得. 0,231 xxx則則有有若若令令, 13 x 1013213xxx 由上可知由上可知 構(gòu)成三維空間的

3、一個正交基構(gòu)成三維空間的一個正交基.321 ,則有則有0,3231 解解 ., 0, 213213正正交交且且分分別別與與設(shè)設(shè) Txxx 標(biāo)準(zhǔn)正交基標(biāo)準(zhǔn)正交基. ,)( , 3212121 的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基是則稱向量兩兩正交且都是單位如果的一個基是向量空間維向量設(shè)定義VeeeeeeRVVeeenrrnr.212100,212100,002121,0021214321 eeee例如例如.212100,212100,002121,0021214321 eeee . 4 , 3 , 2 , 1, 1,. 4 , 3 , 2 , 1, 0,jijieejijieejiji且且且且由于由于.,44321

4、的的一一個個規(guī)規(guī)范范正正交交基基為為所所以以Reeee.1000,0100,0010,00014321 同理可知同理可知.4的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基也為R（1）正交化正交化，取，取 ，11ab ,1112122bbbabab ,21的一個基的一個基為向量空間為向量空間若若Vaaar 求標(biāo)準(zhǔn)正交基的方法求標(biāo)準(zhǔn)正交基的方法稱稱為為這這樣樣一一個個問問題題價價等等與與使使位位向向量量的的單單就就是是要要找找一一組組兩兩兩兩正正交交的的一一個個規(guī)規(guī)范范正正交交基基要要求求的的一一個個基基是是向向量量空空間間設(shè)設(shè),21212121rrrreeeeeeVV ., 21范范正正交交化化這這個個基基規(guī)規(guī)把把r 111

5、122221111, rrrrrrrrrbbbabbbbabbbbabab.,111等價等價與與且且兩兩正交兩兩正交那么那么rrraabbbb（2）單位化單位化，取，取,222111rrrbbebbebbe .,21的的一一個個規(guī)規(guī)范范正正交交基基為為那那么么Veeer222321113133,bbbabbbbabab 例例 用施密特正交化方法，將向量組用施密特正交化方法，將向量組)1, 1 , 5 , 3(),4 , 0 , 1, 1(),1 , 1 , 1 , 1(321 aaa正交規(guī)范化正交規(guī)范化.解解 先先正交化正交化， 1 , 1 , 1 , 111 ab 1112122,bbbab

6、ab 1 , 1 , 1 , 111114114 , 0 , 1, 1 3 , 1, 2, 0 取取.,11 稱稱為為的的過過程程向向量量組組構(gòu)構(gòu)造造出出正正交交上上述述由由線線性性無無關(guān)關(guān)向向量量組組rrbbaa施密特正交化過程施密特正交化過程222321113133,bbbabbbbabab 3 , 1, 2, 014141 , 1 , 1 , 1481, 1 , 5 , 3 0 , 2, 1 , 1 再再單位化單位化， 143,141,142, 03 , 1, 2, 0141222bbe 0 ,62,61,610 , 2, 1 , 161333bbe得規(guī)范正交向量組如下得規(guī)范正交向量組如

7、下 21,21,21,211 , 1 , 1 , 121111bbe例例.,014,131,121 321量規(guī)范正交化量規(guī)范正交化特正交化過程把這組向特正交化過程把這組向試用施密試用施密設(shè)設(shè) aaa解解;11ab 取取bbbaab1212221, 12164131;11135 bbbabbbaab222312133321, 1113512131014.1012 再把它們單位化，取再把它們單位化，取bbe111 ,12161 bbe222 ,11131 bbe333 .10121 .,321即合所求即合所求eeea1a3a2幾何解釋幾何解釋b1;11ab ,12121111221221bbbabbbbacbac 即即上的投影向量上的投影向量在在為為;222cab c2b2,2133平面上的投影向量平面上的投影向量的的在平行于在平行于為為bbacc3,2223121332313323121332121bbbabbbacccccbbacbb 即即之和之和及及向量向量上的投影上的投影分別在分別在等于等于故故由于由于c31c32.333cab b3例例.,111 321321兩兩正交兩兩正交使使求一組非零向量求一組非零向量已知已知aaaaaa 解解. 0, 0,321132 xxxxaaaT 即即應(yīng)滿足方程應(yīng)滿