北師大版六年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)同步奧數(shù)培優(yōu)02659

1、第一講 圓的周長(zhǎng)與面積（一）【知識(shí)概述】 圓是由曲線圍成的平面圖形。在日常生活和學(xué)習(xí)中我們經(jīng)常會(huì)遇到與圓的周長(zhǎng)和面積有關(guān)的問(wèn)題。圓的周長(zhǎng)除以它的直徑的商是一個(gè)固定不變的數(shù)，這個(gè)結(jié)果被稱為“圓周率”。圓周率是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)，用字母“”表示，圓的周長(zhǎng)=圓周率x直徑，即C=d或C=2r。圓的面積等于圓周率與半徑平方的乘積，即S=。下圖圓的陰影部分是一個(gè)扇形，它的面積是一個(gè)圓的面積的四分之一，它的周長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的四分之一再加上兩條半徑的長(zhǎng)?！纠}精學(xué)】例1：把4個(gè)啤酒瓶扎在一起（如圖所示）捆4圈至少用繩子多少厘米？ (接頭部分用去15厘米）思路點(diǎn)撥：用繩子捆4圈的長(zhǎng)度就是指周長(zhǎng)的4倍。這個(gè)圖形的周

2、長(zhǎng)可分為兩類：線段的長(zhǎng)度和弧的長(zhǎng)度。而這四條弧正好可以拼成一個(gè)圓，每條線段的長(zhǎng)正好是圓的直徑的長(zhǎng)。所以繩子捆1圈的長(zhǎng)度就是圖中一個(gè)圓的周長(zhǎng)加上4條直徑的長(zhǎng)度之和?！就骄珶挕?、 計(jì)算下圖中陰影部分的周長(zhǎng)。（單位：厘米）2、 一個(gè)街心花園如下圖的形狀,中間正方形的邊長(zhǎng)是 20 米,四周為半圓 形,這個(gè)街心花園的周長(zhǎng)是多少米? 3、 在學(xué)校200米的跑道中,每條跑道寬1.2米.由于有彎道,為了公平,外道和內(nèi)道選手的起跑線不在同一地點(diǎn).如：A點(diǎn)處是小明的起跑線,B是小強(qiáng)的起跑線,AB兩點(diǎn)的距離是?例2：如下圖，從點(diǎn)A到點(diǎn)B沿著大圓走和沿著中,小圓周走的路程相同嗎?思路點(diǎn)撥：從點(diǎn)A到點(diǎn)B有

3、兩種走法：第一種是大圓的周長(zhǎng)的一半；第二種是由A到C的中圓周長(zhǎng)的一半與C到B的小圓周長(zhǎng)的一半的和。設(shè)小圓的直徑為a，中原的直徑為b，則大圓的直徑為a+b。那么第一種走法的路程為C1=a2+b2；第二種走法的路程為C2=a2+b2，所以C1=C2.【同步精煉】1、 下圖中，從A點(diǎn)到B點(diǎn)沿著大圓周走和沿著小圓周走，路程相同嗎？2、 已知AB=50cm，求圓中各圓的周長(zhǎng)總和。3、 已知一個(gè)大圓中緊緊的排列著三個(gè)半徑不同的小圓（如圖），并且這四個(gè)圓的圓心恰好在同一條直線上。如果大圓的周長(zhǎng)是30cm，那么三個(gè)小圓的周長(zhǎng)之和是多少？例3：將半徑分別是3厘米和2厘米的兩個(gè)半圓按下圖形狀放置，求陰影部分的周長(zhǎng)

4、。思路點(diǎn)撥：陰影部分的周長(zhǎng)為小半圓的弧長(zhǎng)加上大半圓的弧長(zhǎng)，再加上兩條線段的長(zhǎng)。 兩個(gè)半圓的弧長(zhǎng)是2×2×3.14÷2+2×3×3.14÷2=15.7（厘米） 兩條線段的長(zhǎng)是3+（2×2-3）=4（厘米）這樣就求出陰影部分的周長(zhǎng)了?！就骄珶挕?、 一個(gè)半圓的周長(zhǎng)是20.56厘米，這個(gè)半圓的直徑是多少厘米？2、 以B與C為圓心的兩個(gè)半圓的直徑都是4分米，求陰影部分的周長(zhǎng)。3、 下圖中圓的面積等于長(zhǎng)方形的面積，已知圓的周長(zhǎng)是36厘米，那么圖中的陰影部分的周長(zhǎng)是多少厘米？例3：下圖是由正方形和半圓組成的圖形，其中P點(diǎn)為半圓的中點(diǎn)，

5、Q點(diǎn)為正方形一邊上的中點(diǎn)，那么陰影部分的面積是多少？（單位：厘米）思路點(diǎn)撥：求陰影部分的面積最常用的方法叫做“排空法”。所謂排空法就是指用圖形外圍的面積減去空白部分的面積就是陰影部分的面積。此題中圖形外圍的面積應(yīng)該是正方形和半圓面積之和，比較好求。空白部分是個(gè)不規(guī)則的四邊形，我們可以用分割的方法把它分成幾塊基本圖形再求面積。連接BP，則圖中陰影部分面積可以用正方形與半圓面積的和減去三角形ABP與三角形BPQ的面積之和?！就骄珶挕?、 下圖小半圓的半徑為4厘米，求陰影部分的面積。2、 下圖中三角形的面積是12平方厘米，求陰影部分的面積。第二講 圓的周長(zhǎng)與面積（二）【知識(shí)概述】 在上一講中，我們

6、知道了求陰影部分面積常用的方法是“排空法”。除此之外，還經(jīng)常用到“二次求差法”、“平移旋轉(zhuǎn)法”。所謂“二次求差法”就是利用“排空法”求圖中陰影部分的面積，而空白部分的面積也要通過(guò)兩個(gè)圖形面積相減求得。有些不規(guī)律的組合圖形（或陰影部分）的面積計(jì)算，無(wú)法直接或較難直接求得，但是通過(guò)將這些圖形分割，或?qū)⑦@些圖形平移、旋轉(zhuǎn)后重新組成一個(gè)面積大小不變的新圖形，這時(shí)面積很容易求得。這種方法就是“平移旋轉(zhuǎn)法”。【例題精學(xué)】例1：在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=6厘米，BC=4厘米，扇形ABE的半徑AE=6厘米，扇形CBF的半徑CF=4厘米，求圖中陰影部分的面積。思路點(diǎn)撥：觀察圖形，不難看出圖中的陰影部分面積可以用

7、扇形ABE的面積減去空白部分ABFD的面積，而空白部分ABFD的面積又可以用長(zhǎng)方形ABCD的面積減去扇形BCF的面積，這就是“二次求差法”的利用。【同步精煉】1、 如下圖，扇形AFB恰為一個(gè)圓的四分之一，BCDE是正方形，AFBG是正方形，則圖中陰影部分的面積是多少？（單位：厘米）2、 求下圖中陰影部分的面積。（單位：厘米）3、 下圖正方形的邊長(zhǎng)是4厘米，求陰影部分的面積。例2：如下圖，OA,OB分別是小半圓的直徑，且OA=OB=6厘米，BOA=90°，陰影部分的面積是多少平方厘米？思路點(diǎn)撥：連接AB與CO(如右圖)，經(jīng)過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)：陰影部分a的面積與空白部分b的面積相等，陰影部分

8、c的面積與空白面積d的面積相等。這樣a和c就可以移至b和d的位置。原圖的陰影部分的面積就可以轉(zhuǎn)化為三角形ABO的面積。【同步精煉】1、 求下圖中陰影部分的面積。（單位：厘米）2、 2、求下圖中陰影部分的面積。（單位：厘米）3、 如下圖，半徑分別為2,3,4厘米的同心圓被八等分，求陰影部分的面積。例3：已知正方形的邊長(zhǎng)為10厘米，以兩條邊長(zhǎng)為直徑作兩個(gè)半圓（如下圖），求陰影部分的面積。思路點(diǎn)撥：有些學(xué)生面臨這道題時(shí)可能會(huì)想到“排空法”，即用正方形的面積減去空白部分的面積，但解題時(shí)就會(huì)發(fā)現(xiàn)求空白部分的面積是比較麻煩的。我們利用正方形的對(duì)稱性連接正方形的對(duì)角線，把其中一塊陰影部分分割成和兩個(gè)部分。（

9、如下圖） 而可以逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°移至處，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°移至處。這樣，通過(guò)分割和旋轉(zhuǎn)的方法，可以把原圖中的陰影部分拼成一個(gè)三角形，再求這個(gè)三角形的面積就簡(jiǎn)單多了?！就骄珶挕?、求下圖中陰影部分的面積。（單位：厘米）2、求下圖中陰影部分的面積。（單位：厘米）3、求下圖中陰影部分的面積。（單位：厘米）例4：下圖中兩塊陰影部分的面積相等，三角形ABC是直角三角形，BC是直徑，長(zhǎng)40厘米，求AB的長(zhǎng)度。思路點(diǎn)撥：由圖中兩塊陰影部分的面積相等可知：三角形ABC的面積=陰影部分面積（）+空白部分面積（）；半圓的面積=陰影部分面積（）+空白部分面積（）。這說(shuō)明三角形ABC的面積等于半圓

10、的面積。求出半圓的面積也就知道了三角形ABC的面積。再根據(jù)“高=三角形面積×2÷底”就可以求出AB的長(zhǎng)了?！就骄珶挕?、 下圖中三角形ABC是直角三角形，陰影（）比陰影（）的面積小23平方米，BC的長(zhǎng)度是多少米？2、 在下圖中，直角三角形ABC的直角邊AB是圓的直徑，且AB=20厘米，如果陰影（）比陰影（）的面積大7厘米，求BC的長(zhǎng)。3、 在下圖中，長(zhǎng)方形的寬為1厘米，以B點(diǎn)喝C點(diǎn)為圓心，以寬為半徑的扇形相較于點(diǎn)G，形成兩個(gè)陰影部分。已知兩個(gè)陰影部分的面積相等，求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)。第三講 分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算【知識(shí)概述】 在進(jìn)行分?jǐn)?shù)計(jì)算時(shí)，不僅要熟練地掌握四則運(yùn)算的法則和運(yùn)算定律，而且

11、還常常要根據(jù)算式中數(shù)的特點(diǎn)和算式結(jié)構(gòu)，運(yùn)用一些運(yùn)算技巧，靈活選擇計(jì)算方法，使一些較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)計(jì)算化難為易、化繁為簡(jiǎn)?！纠}精學(xué)】例1： (1) ×17 (2) 28× 思路點(diǎn)撥：觀察這兩道題中數(shù)的特點(diǎn)，第(1)中的比1少，把寫成1減的差與17相乘，在運(yùn)用乘法分配律使計(jì)算簡(jiǎn)便；同樣，第(2) 中的28與中的分母相差1，把28分成27加1的和與相乘，在運(yùn)用乘法分配律使計(jì)算簡(jiǎn)便?！就骄珶挕?、×19 2、 36× 3、×126 4、 8× 例2： 1998÷1998 思路點(diǎn)撥：這道題先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)：1998 ，先不要急著算

12、出分子，觀察數(shù)的特點(diǎn)，再去除1998算出最后結(jié)果?！就骄珶挕?、 238÷238 2、 1999÷1999例3： 思路點(diǎn)撥：仔細(xì)觀察分子、分母中各數(shù)的特點(diǎn)，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，分子1999+2000×1998=1999+2000×（19991）=1999+2000×19992000=2000×19991，這樣就把分子轉(zhuǎn)化成與分母完全相同的式子，結(jié)果為1. 【同步精煉】1、 2、 例3： +思路點(diǎn)撥：在這道題中，每個(gè)分?jǐn)?shù)的分子都是1，分母是兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積。 =1， =， =， =， =，= 把每個(gè)分?jǐn)?shù)都寫成兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差，使部分分?jǐn)?shù)相互抵

13、消，使計(jì)算簡(jiǎn)便。【同步精煉】1、+ 3、 + 3、1+第四講 分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算 稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題【知識(shí)概述】 有些稍微復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中的兩個(gè)或兩個(gè)以上單位“1”的量，這時(shí)一般先用轉(zhuǎn)換法統(tǒng)一單位“1”，有時(shí)還要根據(jù)解題需要，把分率轉(zhuǎn)化成比，然后才能進(jìn)行解答?！纠}精學(xué)】例1：甲、乙、丙、丁四人向希望工程捐款，結(jié)果甲捐了另外三人總數(shù)的一半，乙捐了另外三人總數(shù)的，丙捐了另外三人總數(shù)的，丁捐了91元。甲、乙、丙、丁四人共捐了多少元？思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意可知，甲、乙、丙、丁四人捐款的總數(shù)是一定的，把四人的總數(shù)看成單位“1”?！凹拙枇肆硗馊丝倲?shù)的一半”，則甲的捐款是四人捐款總數(shù)的，同理，乙的捐款是四人捐款

14、總數(shù)的，而丙的捐款是四人捐款總數(shù)的。那么我們就可以求出丁捐的91元所對(duì)應(yīng)的分率，在求出四人的捐款總數(shù)?！就骄珶挕?、甲、乙、丙、丁四個(gè)數(shù)，甲數(shù)是其他三個(gè)數(shù)之和的，乙數(shù)是其他三個(gè)數(shù)之和的，丙數(shù)是其他三個(gè)數(shù)之和的，已知丁數(shù)是260，則四個(gè)數(shù)的和是多少？甲數(shù)是多少？2、三個(gè)小朋友合買一枚價(jià)值24元的2012年奧運(yùn)會(huì)紀(jì)念章，第一個(gè)孩子付的錢是其他孩子付的總錢數(shù)的一半，第二個(gè)孩子付的錢是其他孩子付的總錢數(shù)的。問(wèn)：第三個(gè)孩子付了多少元？4、 學(xué)校有數(shù)學(xué)、氣象、航模三個(gè)興趣小組，其中數(shù)學(xué)小組的人數(shù)是其他兩組人數(shù)的，氣象小組的人數(shù)是其他兩組人數(shù)的，航模小組比數(shù)學(xué)小組少3人。三個(gè)小組共有多少人？例2：乙隊(duì)原有

15、的人數(shù)是甲隊(duì)的?，F(xiàn)在甲隊(duì)派30人到乙隊(duì)，則乙隊(duì)人數(shù)是甲隊(duì)的。原來(lái)兩隊(duì)一共有多少人？思路點(diǎn)撥：當(dāng)“甲隊(duì)派30人到乙隊(duì)” 后，甲、乙兩隊(duì)的人數(shù)都發(fā)生了變化，但是兩隊(duì)的總?cè)藬?shù)沒(méi)有變化，因此我們把甲、乙兩隊(duì)的總?cè)藬?shù)看成單位“1” ?！耙谊?duì)原有的人數(shù)是甲隊(duì)的” ，則乙隊(duì)占總?cè)藬?shù)的，后來(lái)乙隊(duì)占總?cè)藬?shù)的，求出30人所對(duì)應(yīng)的分率，再求出原來(lái)的總?cè)藬?shù)?！就骄珶挕?、甲、乙兩個(gè)糧庫(kù)，甲糧庫(kù)庫(kù)存的噸數(shù)是乙糧庫(kù)的?，F(xiàn)在從乙糧庫(kù)調(diào)6噸糧食到甲糧庫(kù)，則甲糧庫(kù)存糧的噸數(shù)是乙糧庫(kù)的。原來(lái)兩個(gè)糧庫(kù)各存糧多少噸？2、甲、乙兩人共有郵票若干枚，其中甲占，若乙給甲12枚，則乙余下的枚數(shù)占總數(shù)的。兩人共有郵票多少枚？3、六（一）班在

16、一次聚會(huì)中，請(qǐng)假人數(shù)是出席人數(shù)的，中途又有一人離開(kāi)，這樣請(qǐng)假人數(shù)是出席人數(shù)的。六（一）班共有多少人？例3：一堆糖果，其中奶糖占，再放入16塊水果糖后，奶糖就只占。這一堆糖果原來(lái)一共有多少塊？思路點(diǎn)撥：解答這道題時(shí)，應(yīng)該抓住奶糖不變這個(gè)條件。因?yàn)樵诳倝K數(shù)發(fā)生變化的情況下，有變化的是水果糖的塊數(shù)，而奶糖的塊數(shù)沒(méi)有變，所以應(yīng)該把奶糖的塊數(shù)看成單位“1”，通過(guò)水果糖塊數(shù)的變化，求出奶糖的塊數(shù)，最后求出糖的總塊數(shù)?！就骄珶挕?、 袋里有若干個(gè)球，其中紅球占，后來(lái)又往袋里放了6個(gè)紅球，這時(shí)紅球占總數(shù)的。原來(lái)袋里有多少個(gè)球？2、 某科技發(fā)明興趣小組中女生占，后來(lái)又轉(zhuǎn)來(lái)了15名女生，這樣女生占總?cè)藬?shù)的。這個(gè)

17、興趣小組男生有多少人？3、 科技活動(dòng)小組中，女生人數(shù)占，后來(lái)又轉(zhuǎn)來(lái)了4名女生，這時(shí)女生人數(shù)占小組人數(shù)的。這個(gè)科技活動(dòng)小組男生有多少人？現(xiàn)在共有多少人？例4：兩個(gè)筑路隊(duì)合修一條公路，甲隊(duì)修的相當(dāng)于乙隊(duì)修的。甲隊(duì)比乙隊(duì)多修了10千米，兩隊(duì)共修了多少千米？思路點(diǎn)撥：因?yàn)榧钻?duì)修的路×=乙隊(duì)修的路×，所以甲隊(duì)修的路 ：乙隊(duì)修的路=：=5：4，甲隊(duì)修了5份，乙隊(duì)修了4份，總共9份。“甲隊(duì)比乙隊(duì)多修了10千米”，甲隊(duì)比乙隊(duì)多修了1份，那么1份就是10千米，一共9份，就是90千米。【同步精煉】1、 兩袋大米，第二袋比第一袋重15千克，已知第一袋大米的恰好與第二袋大米的相等。兩袋大米各重多少

18、千克？2、 桃樹(shù)棵數(shù)的和梨樹(shù)棵數(shù)的相等。兩種果樹(shù)各有多少棵？3、 兩根繩子共長(zhǎng)27米，如果從第一根繩子上剪下，從第二根繩子上剪下3米，那么兩根繩子剩下的部分一樣長(zhǎng)。兩根繩子原來(lái)各長(zhǎng)多少米？第五講 觀察物體【知識(shí)概述】1、 物體的三視圖：將人的視線規(guī)定為平行投影線，然后正對(duì)著物體看過(guò)去，將所見(jiàn)物體的輪廓用正投影法繪制出來(lái)，該圖形稱為視圖。一個(gè)物體有六個(gè)視圖：從物體的前面向后面投射所得的視圖稱主視圖（正視圖）能反映物體的前面形狀，從物體的上面向下面投射所得的視圖稱俯視圖能反映物體的上面形狀，還有其他三個(gè)視圖不是很常用。三視圖就是主視圖（正視圖）、俯視圖、左視圖（側(cè)視圖）的總稱。2、 觀察位置由低到

19、高的變化，所觀察到物體的畫面也發(fā)生相應(yīng)的變化。觀察物體的時(shí)候，站的越高，看到的物體完整。3、 觀察位置由遠(yuǎn)到近變化，所觀察景物的范圍也相應(yīng)變化。觀察物體的時(shí)候，距離越近，觀察到的景物越大，觀察景物范圍越?。痪嚯x越遠(yuǎn)，觀察到的景物越小，觀察景物范圍越大。4、 識(shí)別和判斷拍攝地點(diǎn)與照片中的對(duì)應(yīng)關(guān)系：可以假設(shè)自己在拍攝地點(diǎn)處，根據(jù)圖中景物特點(diǎn)，聯(lián)系自己的生活經(jīng)驗(yàn)，想想究竟能看到什么，再下結(jié)論。判斷照片拍攝的先后順序時(shí)可以假設(shè)自己隨著拍攝者的行走路線游覽，想象自己先看到哪些景物，從而判斷出照片拍攝的先后順序?！纠}精學(xué)】例1：從正面看是（ ），從上面看是（ ），從側(cè)面看是（ ）。在下面中選擇。思路點(diǎn)撥

20、： 假想自己站在每個(gè)方位看一看。從正面看到的應(yīng)該是C答案所示圖形，從上面看到的應(yīng)該是E所示圖形，從側(cè)面看（一般指左側(cè)面）看到的應(yīng)該是A所示圖形。【同步精煉】1、 用六個(gè)同樣大小的正方體分別擺成下面的樣子。從（ ）面和（ ）面看，這三個(gè)物體的形狀完全相同；從（ ）面看，這三個(gè)物體的形狀不同。2、 (1)從側(cè)面看到的是的圖形的物體有（ ）(2)從上面看到的是的的圖形的物體有（ ）從上面看到的是的的圖形的物體有（ ）從上面看到的是的的圖形的物體有（ ）(3)從左面看到的是的的圖形的物體有（ ）3、連一連。例2：一個(gè)立體圖形從上面看到的是，從側(cè)面看到的是，從正面看到的是，搭這個(gè)立體圖形至少要用幾個(gè)？思路點(diǎn)撥：從上面看到的是，說(shuō)明至少要用4個(gè)，并且擺一擺，從正面看到的是，說(shuō)明有兩層，在第二層上至少要放一個(gè)，為方便表述，把第一層的四個(gè)小正方體編號(hào)，那么第二層的這