函數(shù)導(dǎo)數(shù)任意存在型問題歸納

1、函數(shù)導(dǎo)數(shù)任意性和存在性問題探究導(dǎo)學(xué)語函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題是高考試題中占比重最大的題型，前期所學(xué)利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)圖像切線、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)極值最值等問題的方法，僅可稱之為解決這類問題的“戰(zhàn)術(shù)”，若要更有效地徹底解決此類問題還必須研究“戰(zhàn)略”，因?yàn)榇祟悊栴}是函數(shù)導(dǎo)數(shù)結(jié)合全稱命題和特稱命題形成的綜合性題目.常用戰(zhàn)略思想如下：題型分類解析 一單一函數(shù)單一“任意”型戰(zhàn)略思想一：“，恒成立”等價(jià)于“當(dāng)時(shí)，”；“，恒成立”等價(jià)于“當(dāng)時(shí)，”.例1 ：已知二次函數(shù)，若時(shí)，恒有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：，；即；當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立，aR.當(dāng)時(shí)，由得：，而，.又，綜上得a的范圍是. 二單一函數(shù)單一“存在”型戰(zhàn)略思想二：“，

2、使得成立”等價(jià)于“當(dāng)時(shí)，”；“，使得成立”等價(jià)于“當(dāng)時(shí)，”.例2. 已知函數(shù)()，若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解析：.，且等號(hào)不能同時(shí)取，所以，即，因而， ，令，又，當(dāng)時(shí)，從而（僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)），所以在上為增函數(shù)，故的最小值為，所以a的取值范圍是三單一函數(shù)雙“任意”型戰(zhàn)略思想三：，都有分別是的最小值和最大值，min是同時(shí)出現(xiàn)最大值和最小值的最短區(qū)間.例3. 已知函數(shù)，若對(duì)，都有成立，則的最小值為_.解 對(duì)任意xR，不等式恒成立，分別是的最小值和最大值.對(duì)于函數(shù)，取得最大值和最小值的兩點(diǎn)之間最小距離是，即半個(gè)周期.又函數(shù)的周期為4，的最小值為2.戰(zhàn)略思想四： 成立在A上是上凸函數(shù)例4

3、. 在這四個(gè)函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，使恒成立的函數(shù)的個(gè)數(shù)是() A.0B.1C.2D.3解：本題實(shí)質(zhì)就是考察函數(shù)的凸凹性，即滿足條件的函數(shù)，應(yīng)是凸函數(shù)的性質(zhì)，畫草圖即知符合題意；戰(zhàn)略思想五： 成立在A上是增函數(shù) 例5 已知函數(shù)定義域?yàn)?，若，時(shí)，都有，若對(duì)所有，恒成立，求實(shí)數(shù)取值范圍.解：任取，則，由已知，又，即在上為增函數(shù).，恒有；要使對(duì)所有，恒成立，即要恒成立，故恒成立，令，只須且，解得或或.戰(zhàn)略思想六： （為常數(shù)）成立t=例6. 已知函數(shù)，則對(duì)任意（）都有 恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)=_，=_時(shí)取等號(hào).解：因?yàn)楹愠闪?，由，易求得?戰(zhàn)略思想七：例7. 已知函數(shù)滿足：(1)定義域?yàn)椋?2)方程至少有兩個(gè)實(shí)根和；

4、(3)過圖像上任意兩點(diǎn)的直線的斜率絕對(duì)值不大于1.(1)證明:； (2)證明：對(duì)任意，都有.證明 (1)略；(2)由條件(2)知，不妨設(shè)，由(3)知，又；例8. 已知函數(shù)，對(duì)于時(shí)總有成立，求實(shí)數(shù)的范圍.解 由，得，當(dāng)時(shí)，評(píng)注 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知道，函數(shù)圖像上任意兩點(diǎn)連線的斜率的取值范圍，就是曲線上任一點(diǎn)切線的斜率(如果有的話)的范圍，利用這個(gè)結(jié)論，可以解決形如|或(m0)型的不等式恒成立問題.四雙函數(shù)“任意”+“存在”型： 戰(zhàn)略思想八：，使得成立；，使得成立.例9已知函數(shù)，若存在，對(duì)任意，總有成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解析：題意等價(jià)于在上的最大值大于或等于在上的最大值.，由得，或，當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)

5、時(shí)，所以在（0，1）上，.又在上的最大值為，所以有，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.戰(zhàn)略思想九：“，使得成立”“的值域包含于的值域”.例10設(shè)函數(shù)（1）求的單調(diào)區(qū)間（2）設(shè)，函數(shù)若對(duì)于任意，總存在，使得成立，求的取值范圍解析：（1） ，令，即，解得：，的單增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為和.（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，即；又，且，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，即，又對(duì)于任意，總存在，使得成立， 即，解得： 例11已知函數(shù);(1) 當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，若對(duì)，,使，求實(shí)數(shù)的取值范圍；解：（1）（解答過程略去，只給出結(jié)論）當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)在（0,1）上單調(diào)遞減，在（1，+）上單調(diào)遞增；當(dāng)a=時(shí)

6、，函數(shù)f(x)在（0，+）上單調(diào)遞減；當(dāng)0<a<時(shí)，函數(shù)在（0,1）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+），（x）=a+=，a=時(shí)，由（x）=0可得x1=1,x2=3.因?yàn)閍=（0,），x2=3（0,2）,結(jié)合（1）可知函數(shù)f(x)在（0,1）上單調(diào)遞減，在（1,2）上單調(diào)遞增，所以f(x) 在（0,2）上的最小值為f(1)= .由于“對(duì)x1（0,2），x21,2,使f(x1) g(x2)”等價(jià)于“g(x)在1,2上的最小值不大于f(x) 在（0,2）上的最小值f(1)= ”. （）又g(x)=(xb)2+4b2, x1,2,所以 當(dāng)b<1時(shí)，

7、因?yàn)間(x)min=g(1)=52b>0,此時(shí)與（）矛盾； 當(dāng)b1,2時(shí), 因?yàn)間(x)min=4b20，同樣與（）矛盾； 當(dāng)b（2，+）時(shí)，因?yàn)間(x)min=g(2)=84b.解不等式84b，可得b.綜上，b的取值范圍是,+).五雙函數(shù)“任意”+“任意”型戰(zhàn)略思想十：，使得成立例12.已知函數(shù)，若對(duì)任意，都有，求的范圍.解：因?yàn)閷?duì)任意的，都有成立，令得x3或x-1；得；在為增函數(shù)，在為減函數(shù).，.，.例13已知兩個(gè)函數(shù);(1) 若對(duì),都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2) 若,使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3) 若對(duì),都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；解：（1）設(shè),（1）中的問題可轉(zhuǎn)化為：時(shí)，

8、恒成立，即.；當(dāng)變化時(shí)，的變化情況列表如下：-3(-3,-1)-1(-1,2)2(2,3)3(x)+00+h(x)k-45增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)k-9因?yàn)?所以，由上表可知，故k-450，得k45,即k45,+).小結(jié)：對(duì)于閉區(qū)間I，不等式f(x)<k對(duì)xI時(shí)恒成立f(x)max<k, xI;不等式f(x)>k對(duì)xI時(shí)恒成立f(x)min>k, xI. 此題常見的錯(cuò)誤解法：由f(x)maxg(x)min解出k的取值范圍.這種解法的錯(cuò)誤在于條件“f(x)maxg(x)min”只是原題的充分不必要條件，不是充要條件，即不等價(jià).（2）根據(jù)題意可知，（2）中的問題等價(jià)于

9、h(x)= g(x)f(x) 0在x-3,3時(shí)有解,故h(x)max0.由（1）可知h(x)max= k+7，因此k+70，即k7,+).(3)根據(jù)題意可知，（3）中的問題等價(jià)于f(x)maxg(x)min，x-3,3.由二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)可得, x-3,3時(shí), f(x)max=120k.仿照（1），利用導(dǎo)數(shù)的方法可求得x-3,3時(shí), g(x)min=21.由120k21得k141,即k141,+).說明：這里的x1,x2是兩個(gè)互不影響的獨(dú)立變量.從上面三個(gè)問題的解答過程可以看出,對(duì)于一個(gè)不等式一定要看清是對(duì)“x”恒成立，還是“x”使之成立，同時(shí)還要看清不等式兩邊是同一個(gè)變量，還是兩個(gè)獨(dú)立的變量,然后再根據(jù)不同的情況采取不同的等價(jià)條件,千萬不要稀里糊涂的去猜.六雙函數(shù)“存在”+“存在”型戰(zhàn)略思想十一：，使得成立； ，使得成立.例14已知函數(shù)，.若存在，使，求實(shí)數(shù)取值范圍.解析：，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，.依題意有，所