第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式ppt課件

1、第五節(jié)第五節(jié) 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式一、一個(gè)方程的情形一、一個(gè)方程的情形二、方程組的情形二、方程組的情形一、一個(gè)方程的情形一、一個(gè)方程的情形引例引例:知知 確定確定 , 求求)(xy )(xyy 0 xyeyx一般地一般地 , , 可確定可導(dǎo)函數(shù)可確定可導(dǎo)函數(shù) , , 如何求導(dǎo)如何求導(dǎo)? ?)(xyy 0),( yxF0),(. 1 yxF隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理 1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxF在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yxP的的 某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且0),(00 yxF， 0),(00 yxFy，則方程，則方程0),( yxF在點(diǎn)在點(diǎn)),(00

2、yxP的的 某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù))(xfy ，它滿(mǎn)足條件，它滿(mǎn)足條件)(00 xfy ， 并有并有 yxFFxy dd. . 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式解解令令1( , )sin2F x yyyx 那那么么1,xF 11cos ,2yFyxyFdydxF 2.2cos y 前述引例前述引例:0 xyeyx, 0)( xyex,yFyx令令,0)(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xex,yFyxy就可確定可導(dǎo)函數(shù)就可確定可導(dǎo)函數(shù) , 且且)(xyy yxFFxy dd.xeyeyxyx 例例 2 2 已已知知xyyxarct

3、anln22 ，求求xydd. 解解 法一法一 那那么么,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFxy dd.xyyx 令令法二法二 方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)求導(dǎo),視視y為為x的函數(shù)的函數(shù):.dd, )tan(3xzxyeyyxzyx求求確確定定由由方方程程：設(shè)設(shè)例例 解解.),(tan(可求全導(dǎo)數(shù)可求全導(dǎo)數(shù) xyxz)1)(secdd2yyxxz , 0)( xyex,yFyx令令, yeFyxx ,xeFyxy yxFFy ,xeyeyxyx )1)(secdd2yyxxz ).1)(sec2xeyeyxyxyx 隱函

4、數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理 2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(zyxF在點(diǎn)在點(diǎn),(0 xP ),00zy的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且,(0 xF 0),00 zy，0),(000 zyxFz，則方程，則方程,(yxF 0) z在點(diǎn)在點(diǎn)),(000zyxP的某一鄰域內(nèi)恒能唯的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)),(yxfz ，它滿(mǎn)足條件，它滿(mǎn)足條件),(000yxfz ， 并有并有 zxFFxz ， zyFFyz . . 0),( zyxF2. 推廣到三元以上推廣到三元以上解法一：用公式法解法一：用公式法解法二：

5、兩邊同時(shí)對(duì)解法二：兩邊同時(shí)對(duì) x (或或 y )求偏導(dǎo)求偏導(dǎo)解法三：用全微分形式不變性解法三：用全微分形式不變性例例 5 5 設(shè)設(shè)),(xyzzyxfz ，求求xz ，yx ，zy . 思路：思路：把把 z 看成看成 x , y 的函數(shù)對(duì)的函數(shù)對(duì) x 求偏導(dǎo)數(shù)得求偏導(dǎo)數(shù)得xz， 把把 x 看成看成 y , z 的函數(shù)對(duì)的函數(shù)對(duì) y 求偏導(dǎo)數(shù)得求偏導(dǎo)數(shù)得yx， 把把 y 看成看成 z , x 的函數(shù)對(duì)的函數(shù)對(duì) z 求偏導(dǎo)數(shù)得求偏導(dǎo)數(shù)得zy， 解解令令, zyxu ,xyzv 那那么么),(vufz 把把z看看成成yx,的的函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)x求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)得得xz )1(xzfu ),(xzxyyz

6、fv 整理得整理得xz ,1vuvuxyffyzff 把把x看看成成yz,的的函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)y求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)得得)1(0 yxfu),(yxyzxzfv 整理得整理得,vuvuyzffxzff yx 把把y看看成成zx,的的函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)z求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)得得)1(1 zyfu),(zyxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvuxzffxyff 3. 求隱函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)求隱函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)0023451),(2 yxyxzyzxzzyxzz隱隱函函數(shù)數(shù)，求求確確定定的的是是由由方方程程：設(shè)設(shè)例例得得視視求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)方方程程兩兩邊邊分分別別對(duì)對(duì)),(,yxzzyx )1(03452344 xx

7、xzyzzxzzzz)2(03452334 yyyzyzzzxzzz,5151)2()1(1, 0, 00,0(0,0( ），得：得：、代入代入將將yxzzzyx,1, 0, 0 zyx得得解解：由由:)()1(的函數(shù)的函數(shù)、均為均為、求偏導(dǎo)求偏導(dǎo)兩邊對(duì)兩邊對(duì)方程方程yxzzyx得：得：代入代入將將）)3(51,51,1, 0, 00,0(0,0( yxzzzyx.2530,0( ）xyz)3(034)345()3610(223222 xyxyyxzzzzzyxzzzzzyxzzz求隱函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)常用方法有兩種：求隱函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)常用方法有兩種：,zxFFxz 先求出一階偏導(dǎo)數(shù)先求出一階

8、偏導(dǎo)數(shù)方法一方法一有有：求求導(dǎo)導(dǎo)再再對(duì)對(duì),x zxFFxxz22 2zzxxzFxFFxFF ).,(yxzzz 要要視視作作此此時(shí)時(shí).222yxzyz 及及類(lèi)類(lèi)似似地地，可可求求得得.導(dǎo)兩次導(dǎo)兩次直接對(duì)原方程接連求偏直接對(duì)原方程接連求偏方法二方法二 ).,(yxzzz 要要視視作作此此時(shí)時(shí), 0: xzFFxzx求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)得得方方程程兩兩邊邊對(duì)對(duì), 02:222 xzFxzFxzFFxzzzxzxx求偏導(dǎo)得求偏導(dǎo)得上式兩邊再對(duì)上式兩邊再對(duì).22代入求出結(jié)果代入求出結(jié)果并將并將由上式解出由上式解出xzxz .222yxzyz 及及類(lèi)類(lèi)似似地地，可可求求得得 0),(0),()1(zyxGzy

9、xF二、方程組的情形二、方程組的情形隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理 3 3 設(shè)設(shè)),(zyxF、),(zyxG在點(diǎn)在點(diǎn)),(000zyxP的某一鄰域內(nèi)有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)的某一鄰域內(nèi)有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且數(shù)，且0),(000 zyxF, ,0),(000 zyxG，且偏導(dǎo)數(shù)所，且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式（或稱(chēng)雅可比式）組成的函數(shù)行列式（或稱(chēng)雅可比式） zGyGzFyFzyGFJ ),(),( 在點(diǎn)在點(diǎn)),(000zyxP不等于不等于零，零， 則方程組則方程組 0),(0),(zyxGzyxF 在點(diǎn)在點(diǎn)),(000zyxP的某的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一對(duì)單值連續(xù)且具有連續(xù)一鄰域內(nèi)恒能唯一確

10、定一對(duì)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) )()(xzzxyy，它們滿(mǎn)足條件，它們滿(mǎn)足條件)(00 xyy , ,)(00 xzz ，并有，并有 ),(),(),(),(ddzyGFzxGFxy ,zxzxzxzxGGFFGGFF ),(),(),(),(ddzyGFxyGFxz ,zyzyxyxyGGFFGGFF 解解1直接代入公式直接代入公式.解解2運(yùn)用公式推導(dǎo)的方法運(yùn)用公式推導(dǎo)的方法.將所給方程的兩邊分別對(duì)將所給方程的兩邊分別對(duì) 求導(dǎo)，求導(dǎo)，視視x).(, )(xzzxyy 0),(0),()2(vuyxGvuyxF隱隱函函數(shù)數(shù)存存在在定定理理 4 4 設(shè)設(shè)),(vuyxF、),

11、(vuyxG在在點(diǎn)點(diǎn)),(0000vuyxP的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有對(duì)對(duì)各各個(gè)個(gè)變變量量的的連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且0),(0000 vuyxF, ,),(0000vuyxG 0 ，且且偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)所所組組成成的的函函數(shù)數(shù)行行列列式式（或或稱(chēng)稱(chēng)雅雅可可比比式式） vGuGvFuFvuGFJ ),(),( 在在點(diǎn)點(diǎn)),(0000vuyxP不不等等于于零零，則則方方程程組組 0),( vuyxF、 0),( vuyxG 在在點(diǎn)點(diǎn)),(0000vuyxP的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)恒恒能能唯唯一一確確定定一一組組單單值值連連續(xù)續(xù)且且具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的函函數(shù)數(shù)),(yxuu ，),(y

12、xvv ，它它們們滿(mǎn)滿(mǎn)足足條條件件),(000yxuu , ,vv 0),(00yx，并并有有 ,),(),(1vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu vuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv ),(),(1,),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu .),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv 例例2: 設(shè)設(shè).,cossinxvxuvueyvuexuu 求求分析分析: 該方程組確定該方程組確定方程組兩邊分別對(duì)方程組兩邊分別對(duì)x求偏導(dǎo)求偏導(dǎo),可求得可求得),(, ),(yxvvyxuu .,xvxu 例例3 : 設(shè)設(shè) y = g ( x ,

13、z ) , 而而 z 由由 f ( x z, x y )= 0 所所確定確定 , 求求.ddxz解解:這類(lèi)問(wèn)題可看成是由兩個(gè)方程確定了這類(lèi)問(wèn)題可看成是由兩個(gè)方程確定了y = y ( x ) , z = z ( x ) , 用方程組確定的隱函數(shù)求導(dǎo)法用方程組確定的隱函數(shù)求導(dǎo)法.利用隱函數(shù)求導(dǎo)，可證明偏導(dǎo)數(shù)滿(mǎn)足給定的關(guān)系式利用隱函數(shù)求導(dǎo)，可證明偏導(dǎo)數(shù)滿(mǎn)足給定的關(guān)系式. .)(bzyazx ),(yxzz 1 yzbxza 例、例、 證明方程證明方程 確定確定 的滿(mǎn)足的滿(mǎn)足 ，其中，其中 為可微為可微. .0),(1xzzyxyxxF ，求，求：已知：已知例例求偏導(dǎo)求偏導(dǎo)解：方程兩邊對(duì)解：方程兩邊對(duì)

14、 x0)1(321 xzFFF3321FFFFxz xfxyzzyxzyxzxyzyxf 求求滿(mǎn)滿(mǎn)足足而而：例例, 03,),(222232)3(),(232xzxzzyxfyxzz 解解：由由方方程程可可確確定定，xyzyzxFFxzzx3232 xyzyzxzxyzyxf323232232 （分以下幾種情況）（分以下幾種情況）隱函數(shù)的求導(dǎo)法則隱函數(shù)的求導(dǎo)法則0),()1( yxF0),()2( zyxF 0),(0),()3(zyxGzyxF四、小結(jié)四、小結(jié) 0),(0),()4(vuyxGvuyxF.)5(復(fù)復(fù)合合隱隱函函數(shù)數(shù)求求導(dǎo)導(dǎo)已知已知)(zyzx ，其中，其中 為可微函數(shù)，為可微

15、函數(shù)，求求? yzyxzx思考題思考題思考題解答思考題解答記記)(),(zyzxzyxF , 則則zFx1 ，,1)(zzyFy ,)()(22zyzyzxFz ,)(zyyxzFFxzzx ,)()(zyyxzyzFFyzzy 于于是是zyzyxzx .一、一、 填空題填空題: :1 1、 設(shè)設(shè)xyyxarctanln22 , ,則則 dxdy_._. 2 2、設(shè)、設(shè)zxyz , ,則則 xz_,_, yz_._.二、二、 設(shè)設(shè),32)32sin(2zyxzyx 證明：證明：. 1 yzxz練練 習(xí)習(xí) 題題三三、 如如 果果 函函 數(shù)數(shù)),(zyxf對(duì)對(duì) 任任 何何t恒恒 滿(mǎn)滿(mǎn) 足足 關(guān)關(guān)

16、系系 式式),(),(zyxfttztytxfk , ,則則稱(chēng)稱(chēng)函函數(shù)數(shù)),(zyxf為為 k次次齊齊次次函函數(shù)數(shù), ,試試證證: :k次次齊齊次次函函數(shù)數(shù)滿(mǎn)滿(mǎn)足足方方程程 ),(zyxkfzfzyfyxfx . .四四、設(shè)設(shè).,3233yxzaxyzz 求求五五、求求由由下下列列方方程程組組所所確確定定的的函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)或或偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù): :1 1、 設(shè)設(shè) 203222222zyxyxz , ,求求.,dxdzdxdy2 2、 設(shè)設(shè) ),(),(2yvxugvyvuxfu，求求.,xvxu （其其中中g(shù)f ,具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)）六六、 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xu由由方方程程組組 0),(0),(),(zxhzyxgyxfu所所確確定定, , 且且., 0, 0dxduzhyg求求 ( (hgf,均均可可微微) )七七、 設(shè)設(shè)),(txfy 而而t是是由由方方程程0),( tyxF所所確確定定的的yx,的的函函數(shù)數(shù), ,求求.dxdy八八、 設(shè)設(shè)),(yxzz 由由方方程程),(xzyyxxF = =0 0 所所確確定定, , 證證明明: :xyzyzyxzx . .一、一、1 1、yxyx ； 2 2、yyxzzzzxxln