第十三講微分概念及運(yùn)算ppt課件

1、 設(shè)有邊長為設(shè)有邊長為x的的正方形金屬薄片正方形金屬薄片,因受因受溫度變化的影響溫度變化的影響,邊長邊長由由x增加到增加到x+x,問此薄片的面積改變問此薄片的面積改變了多少了多少?引例引例xx解解 正方形金屬薄片變正方形金屬薄片變化前的面積為化前的面積為 2Sx變化后的面積為變化后的面積為 20()Sxx22()Sxxx 薄片面積的改變量是薄片面積的改變量是 22()x xx 第十三講第十三講 函數(shù)的微分函數(shù)的微分22()Sxxx 面積的改變量是面積的改變量是 22()x xx xx當(dāng)當(dāng)x很小時很小時,2()2xxx比小 得 多主部主部次要部分次要部分因而因而,22()Sxxxx一般的一般的,

2、 對于任一函數(shù)對于任一函數(shù)( )yfx只要在只要在x處可導(dǎo)處可導(dǎo),都有都有( )yfxx微分的概念微分的概念定義定義: 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在在x處可導(dǎo)處可導(dǎo),則稱則稱如如2sinyxx( )fxx為函數(shù)為函數(shù)y=f(x)在在x處的微分處的微分. 記作記作dy或或df(x)即即( )dyfxx由于由于f(x)=x時時,可得可得dx=x故有故有( )dyfx dx設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)那么那么 函數(shù)在函數(shù)在x處的微分為處的微分為:2(sin )dyd xx2(sin )xx dx(2cos )xx dxdxxfdy)( 例例1: 知知 3yx2|xdydy求及解解: 3()dyxdx由微分的定義由微分

3、的定義 得得 23x dx22|3( 2)xdydx12dx解解 sin(21)dydxcos(21) (21)xxdx考慮？考慮？求求 微分微分sin(21)yx2cos(21)xdx解解22)(xxxy22xxx01. 0, 2xx將將代入，得代入，得201.001.022y0401.00001.004.0 xydyxx2204. 001. 04例求函數(shù)例求函數(shù) 在在 時的改變量及時的改變量及微分。微分。2xy 01. 0, 2xx顯然顯然yd y()( )yf xxf x ydy微分運(yùn)算公式微分運(yùn)算公式) 1 ()(cd0)2()(xddxx1) 3()(xadadxaxln) 4()(

4、xeddxex)5()(logxdadxax ln1)6()(ln xddxx1)7()(sin xdxdxcos)8()(cos xdxdxsin)9()(tan xdxdx2sec)10()(cot xdxdx2csc)11()(sec xdxdxxtansec)12()(csc xdxdxxcotcsc)13()(arcsinxddxx211)14()(arccosxddxx211)15()(arctan xddxx211)16()cot(xarcddxx211微分的四則運(yùn)算法則微分的四則運(yùn)算法則 記記),(),(xvvxuu那那么么)0()()4()()3()()2()() 1 (2v

5、vudvvduvudcducudvduudvuvddvduvud(4)2tanxyex(1)3sinyxx(6)sin2yarcx5(5)(21)yx21(2)yx4(3)lnyxx3(7)521Stt(8)3qu求下列各函數(shù)的微分求下列各函數(shù)的微分練習(xí)練習(xí)例例3 3 設(shè)設(shè),cos2xy 求求.dy解法一解法一 用公式用公式 得得dxxfdy)( dxxdy )(cos2.sin22dxxx解法二解法二 由一階微分的形式不變性，得由一階微分的形式不變性，得)(cos2xddy 22sindxx.sin22dxxx舉例舉例例例4 4 設(shè)設(shè),2cosxy 求求.dy解法一解法一 用公式用公式 得得

6、dxxfdy)( dxdyx)2(cosdxxx)sin(2ln2cos.sin2ln2cosxdxx解法二解法二 由一階微分的形式不變性，得由一階微分的形式不變性，得)2(cos xddy )(cos2ln2cosxdx.sin2ln2cosxdxx提高部分提高部分例例5 5223xxyy解解于是于是, ,所求隱函數(shù)微分為所求隱函數(shù)微分為: :求方程求方程所確定隱函數(shù)所確定隱函數(shù)( )yf x的微分的微分dy 對方程兩邊求微分，得對方程兩邊求微分，得)3()(22dyxyxd0)(22dyxyddx022ydyydxxdyxdx即即dyyxdxyx)2()2(dxyxyxdy22）（還能得到

7、隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)為還能得到隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)為: :yxyxdxdy22練習(xí)練習(xí)求下列函數(shù)的微分求下列函數(shù)的微分xxy21) 1 (xxy2sin) 2(2)1ln()3(xyxexy22)4(dxxxdxxdxxdxxdxxxdxdxxddy)11(11)(2)1()(2)1()21(122）解：（dxxxxxdxxxdxxdxxxdxxxddxxxxddy)2cos22(sin2cos22sin)2(2cos2sin)2(sin2sin)2sin(2）解：（dxxxdxxxxdxxxdxdy1)1ln(2)(1)1ln(2)1 (11)1ln(2)1ln()1ln(23）解：（dxxxedxexdxxexdexdxxeedxxdeexddyxxxxxxxx)1 (222)2()()()()(422222222222222）解：（一一. .微分的概念微分的概念: :熟記公式熟記公式小 結(jié)12二二.微分的運(yùn)算微分的運(yùn)算三三. 注意注意:符號符號dy和和y的區(qū)別和聯(lián)系的區(qū)別和聯(lián)系.初等函數(shù)微分的基本公式初等函數(shù)微分的基本公式微分的運(yùn)算法則微分的運(yùn)算法則( )dyfx dx達(dá)標(biāo)檢測十三達(dá)標(biāo)檢測十三填空填空21.5,yx設(shè)則dy_2.sin3xyx設(shè)則dy_3