2017全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽

1、2017年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題 初二卷第一試一、 選擇題：（本題滿分 42 分，每小題 7 分）1. 已知實(shí)數(shù)滿足，則的值為（ ）.A. 2 B. 1 C. 0 D.2-1-c-n-j-y2. 已知實(shí)數(shù)滿足，則的值為（ ）.A. 125 B. 120 C. 100 D. 813. 若正整數(shù)滿足且，則稱為好數(shù)組.那么好數(shù)組的個(gè)數(shù)為（ ）.A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【出處：21教育名師】4. 已知正整數(shù)滿足，則的值為（ ）.A. 424 B. 430 C. 441 D. 4605. 梯形ABCD中，ADBC，則梯形的面積為（ ）.A. B. C. D.21*cnjy*com6. 如

2、圖，梯形ABCD中，ADBC，點(diǎn)E在AB上，若，則的值為（ ）.A. 56 B. 58 C. 60 D. 62二、 填空題：（本題滿分 28 分，每小題 7 分）1. 使得等式成立的實(shí)數(shù)的值為_.2. 已知ABC的三個(gè)內(nèi)角滿足.用表示中的最小者，則的最大值為_.3. 設(shè)是兩個(gè)互質(zhì)的正整數(shù)，且為質(zhì)數(shù).則的值為_.4. 20個(gè)都不等于7的正整數(shù)排成一行，若其中任意連續(xù)若干個(gè)數(shù)之和都不等于7，則這20個(gè)數(shù)之和的最小值為_.21cnjycom第二試一、 （本題滿分 20 分）設(shè)是兩個(gè)不同的兩位數(shù)，且是由交換個(gè)位數(shù)字和十位數(shù)字所得，如果是完全平方數(shù)，求的值.21cnjy二、 （本題滿分 25 分）如圖，

3、ABC中，D為BC的中點(diǎn)，平分，平分，P為AD與EF的交點(diǎn).證明：.21世紀(jì)*教育網(wǎng)三、 （本題滿分 25 分）已知是不全相等的正整數(shù)，且為有理數(shù)，求的最小值.參考答案第一試一、 選擇題：（本題滿分 42 分，每小題 7 分）1. 已知實(shí)數(shù)滿足，則的值為（ ）.A. 2 B. 1 C. 0 D.答案：B對(duì)應(yīng)講次：所屬知識(shí)點(diǎn)：方程思路：因?yàn)樗蠓质降奶攸c(diǎn)可以想到把，看成一個(gè)整體變量求解方程.解析：已知等式可變形為，解得，所以.【版權(quán)所有：21教育】2. 已知實(shí)數(shù)滿足，則的值為（ ）.A. 125 B. 120 C. 100 D. 81答案：C對(duì)應(yīng)講次：所屬知識(shí)點(diǎn)：方程思路：可以想到換元法.解析：

4、設(shè)，則，由.則.21教育名師原創(chuàng)作品3. 若正整數(shù)滿足且，則稱為好數(shù)組.那么好數(shù)組的個(gè)數(shù)為（ ）.A. 4 B. 3 C. 2 D. 1答案：B對(duì)應(yīng)講次：所屬知識(shí)點(diǎn)：數(shù)論思路：先通過且的限定關(guān)系確定可能的種類，再通過枚舉法一一驗(yàn)證.解析：若為好數(shù)組，則，即，顯然或.若，則，即，可得或，共個(gè)好數(shù)組.若，則或，可得；，不是整數(shù)舍去，共個(gè)好數(shù)組.共個(gè)好數(shù)組.4. 已知正整數(shù)滿足，則的值為（ ）.A. 424 B. 430 C. 441 D. 460答案：C對(duì)應(yīng)講次：所屬知識(shí)點(diǎn)：方程思路：由已知等式消去整理后，通過是正整數(shù)的限制，枚舉出所有可能，并一一代入原方程驗(yàn)證，最終確定結(jié)果.解析：聯(lián)立方程可得，

5、則，即.當(dāng)時(shí)，均無與之對(duì)應(yīng)的正整數(shù)；當(dāng)時(shí)，符合要求，此時(shí)，代入驗(yàn)證滿足原方程.因此，則.www.21-cn-5. 梯形ABCD中，ADBC，則梯形的面積為（ ）.A. B. C. D.答案：A對(duì)應(yīng)講次：所屬知識(shí)點(diǎn)：平面幾何思路：通過作平行四邊形把邊長關(guān)系轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中來.解析：作AEDC，AHBC，則ADCE是平行四邊形，則，則ABE是等腰三角形，經(jīng)計(jì)算可得.所以梯形ABCD的面積為.21*cnjy*com6. 如圖，梯形ABCD中，ADBC，點(diǎn)E在AB上，若，則的值為（ ）.A. 56 B. 58 C. 60 D. 62答案：B對(duì)應(yīng)講次：所屬知識(shí)點(diǎn)：平面幾何思路：補(bǔ)形法，把直角梯形先補(bǔ)成

6、正方形，再利用旋轉(zhuǎn)把邊長關(guān)系轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形RtEAD中去，利用勾股定理求解.解析：作CFAD，交AD的延長線于點(diǎn)F，將CDF繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至CGB，則ABCF為正方形，可得ECGECD，.設(shè)，則，.在RtEAD中，有，解得.21教育網(wǎng)二、 填空題：（本題滿分 28 分，每小題 7 分）1. 使得等式成立的實(shí)數(shù)的值為_.答案：8對(duì)應(yīng)講次：所屬知識(shí)點(diǎn)：方程思路：通過等式兩邊都6次方可以去掉最外面根式，再用換元法化簡等式，最后要驗(yàn)證結(jié)果是否滿足最初的等式.解析：易得.令，則，代入整理可得，解得，舍負(fù)，即或，驗(yàn)證可得.【來源：21cnj*y.co*m】2. 已知ABC的三個(gè)內(nèi)角滿足.用表示中的最

7、小者，則的最大值為_.答案：對(duì)應(yīng)講次：所屬知識(shí)點(diǎn)：代數(shù)思路：一般來說，求幾個(gè)中最小者的最大值時(shí)，就是考慮這幾個(gè)都相等的情況.解析：，又當(dāng)時(shí)，可以取到.則的最大值為.www-2-1-cnjy-com3. 設(shè)是兩個(gè)互質(zhì)的正整數(shù)，且為質(zhì)數(shù).則的值為_.答案：7對(duì)應(yīng)講次：所屬知識(shí)點(diǎn)：數(shù)論思路：因?yàn)槭琴|(zhì)數(shù)，只能拆成1和p，另一方面通過、a、b兩兩互質(zhì)來拆分的可能種類，最后分類討論，要么與條件矛盾，要么得出結(jié)果.解析：因?yàn)榛ベ|(zhì)，所以、a、b兩兩互質(zhì)，因?yàn)橘|(zhì)數(shù)，所以可得，不是質(zhì)數(shù)舍；可得，符合題意.則.4. 20個(gè)都不等于7的正整數(shù)排成一行，若其中任意連續(xù)若干個(gè)數(shù)之和都不等于7，則這20個(gè)數(shù)之和的最小值為_

8、.答案：34對(duì)應(yīng)講次：所屬知識(shí)點(diǎn)：數(shù)論思路：考慮滿足題設(shè)要求，其和為34，接下來只需要考慮該數(shù)列是否為和最小的數(shù)列.解析：設(shè)該正整數(shù)列為，考慮，依抽屜原理必然有兩項(xiàng)模7的余數(shù)相同，則該兩項(xiàng)的差是7的倍數(shù)，于是任意連續(xù)7項(xiàng)之中必有連續(xù)子列之和為7的倍數(shù)，又不能為7，則最小為14.于是20個(gè)數(shù)中至少有2組這樣的子列其總和不小于28，剩下6個(gè)數(shù)之和不小于6，于是該數(shù)列之和不小于34.由可知，存在數(shù)列和為34的情況.第二試一、 （本題滿分 20 分）設(shè)是兩個(gè)不同的兩位數(shù)，且是由交換個(gè)位數(shù)字和十位數(shù)字所得，如果是完全平方數(shù)，求的值.答案：對(duì)應(yīng)講次：所屬知識(shí)點(diǎn)：數(shù)論思路：對(duì)于需要考慮不同位數(shù)上數(shù)字的情況，

9、可以把一個(gè)兩位數(shù)設(shè)為，轉(zhuǎn)為為代數(shù)問題，再利用完全平方數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解式也是以完全平方數(shù)對(duì)的形式出現(xiàn)，綜合分析所有限定下可能性，最終確定結(jié)果.解析：設(shè)，則，由不同得，. 5分由是完全平方數(shù)，則，可得， 10分也是完全平方數(shù)，所以或. 15分若，則，；若，則沒有正整數(shù)解.因此，. 20分【來源：21世紀(jì)教育網(wǎng)】二、 （本題滿分 25 分）如圖，ABC中，D為BC的中點(diǎn)，平分，平分，P為AD與EF的交點(diǎn).證明：.對(duì)應(yīng)講次：所屬知識(shí)點(diǎn)：平面幾何思路：因?yàn)?、都在DEF中，所以想辦法推出其性質(zhì)，比較容易得出，此時(shí)若能得出，則自然可以得到結(jié)論.解析：由平分，平分，可得. 5分由得BEDF，則. 10分又，則BEDDFC，. 15分得四邊形BDFE是平行四邊形，. 20分又EDF是直角三角形，. 25分21世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有三、 （本題滿分 25 分）已知是不全相等的正整數(shù)，且為有理數(shù)，求的最小值.答案：3對(duì)應(yīng)講次：所屬知