數(shù)學(xué)建模-基于概率分布法的機(jī)票預(yù)訂策略

1、大學(xué)生數(shù)學(xué)建模承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了數(shù)學(xué)建模的規(guī)則.我們完全明白，在競(jìng)賽開(kāi)始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開(kāi)的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。所屬班級(jí)（請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜?09級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班 隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 王 * 茜 2. 丁*燕 3. 畢*瑞 4. 李*

2、洋 5. 王*彬 小組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 李*洋 日期： 2012 年 7 月 1 日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：題目：基于概率分布法的機(jī)票預(yù)訂策略摘要：機(jī)票預(yù)訂是向廣大用戶提供各大航空公司機(jī)票預(yù)訂服務(wù)和交易的方式。而如何使航空公司在不損害公司形象的前提下，使利益最大化是眾多航空公司關(guān)心的問(wèn)題。本文采用隨機(jī)數(shù)學(xué)建模方法，在合理假設(shè)的前提下，摒除對(duì)所求利潤(rùn)帶來(lái)復(fù)雜影響的參量，從最根本的角度建立出利潤(rùn)（利潤(rùn)=收入成本）的數(shù)學(xué)模型，最后對(duì)模型進(jìn)行求解。關(guān)鍵字： 機(jī)票預(yù)訂 概率分布 隨機(jī)模型一、 問(wèn)題重述在激烈的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)中，航空公司為爭(zhēng)取更多的客源而開(kāi)展的一個(gè)優(yōu)質(zhì)服務(wù)項(xiàng)目是預(yù)訂票

3、業(yè)務(wù)。公司承諾，預(yù)先訂購(gòu)機(jī)票的乘客如果未能按時(shí)前來(lái)登機(jī)，可以乘坐下一班機(jī)或退票，無(wú)需附加任何費(fèi)用，當(dāng)然也可以訂票時(shí)只訂座，登機(jī)時(shí)才付款，這兩種辦法對(duì)于下面討論是等價(jià)的。設(shè)某種型號(hào)的飛機(jī)容量為，若公司限制預(yù)訂張機(jī)票，那么由于總會(huì)有一些訂了機(jī)票的乘客不按時(shí)來(lái)登機(jī)，致使飛機(jī)因?yàn)椴粷M員飛行而利潤(rùn)降低，甚至虧本，如果不限制訂票數(shù)量呢，那么當(dāng)持票按時(shí)前來(lái)登機(jī)的乘客超過(guò)飛機(jī)容量時(shí)，必然會(huì)引起那些不能登機(jī)飛走的乘客（以下稱被擠掉者）的抱怨，試建立一個(gè)面對(duì)航空公司訂票決策的數(shù)學(xué)模型，使得航空公司的在不損聲譽(yù)的情況下利潤(rùn)最大！二、 符號(hào)說(shuō)明維持航班的總費(fèi)用（成本）乘坐航班的乘客數(shù)量每名乘客支付的運(yùn)費(fèi)（機(jī)票票價(jià)）航

4、班的滿客載客數(shù)量誤機(jī)的乘客數(shù)人誤機(jī)的概率預(yù)定航班的乘客數(shù)量航班的收支差額（利潤(rùn)）安置一名剩余乘客的費(fèi)用訂票乘客登機(jī)的概率訂票乘客誤機(jī)的概率（）三、 基本假設(shè)假設(shè)預(yù)訂票的乘客是否按時(shí)前來(lái)登記是隨機(jī)的；假設(shè)已預(yù)訂票的乘客不能前來(lái)登記的乘客數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量；假設(shè)飛機(jī)的飛行費(fèi)用與乘客多少無(wú)關(guān)四、 問(wèn)題分析從題目要求出發(fā)，主要需要解決三個(gè)問(wèn)題：航班利潤(rùn)表達(dá)式的確定，它會(huì)受到哪些因素的影響；如何確定誤機(jī)的概率和預(yù)測(cè)誤機(jī)乘客的人數(shù)；在考慮安排誤機(jī)乘客費(fèi)用的情況下，求出使得利潤(rùn)最大的預(yù)售票數(shù)上限。針對(duì)問(wèn)題一：本文首先摒除對(duì)所求利潤(rùn)帶來(lái)復(fù)雜影響的參量，從利潤(rùn)的最根本角度出發(fā)建立基本模型：利潤(rùn)=收入成本。針對(duì)問(wèn)題

5、二：考慮到誤機(jī)者會(huì)影響滿艙，所以加入乘客誤機(jī)的概率這一參量。針對(duì)問(wèn)題三：本文建立航空公司的利潤(rùn)模型，利用數(shù)學(xué)知識(shí)和隨即模擬的方法對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解對(duì)比。五、 模型的建立與求解5.1變量結(jié)構(gòu)和問(wèn)題結(jié)構(gòu)從假設(shè)中得知，乘客誤機(jī)會(huì)影響滿艙，最終影響航空公司的利潤(rùn)，而乘客誤機(jī)的概率又是一隨機(jī)變量，故本文可用概率分布模型進(jìn)行建模求解。本文的變量結(jié)構(gòu)如下：數(shù)據(jù)對(duì)象 個(gè)乘客誤機(jī)的概率目標(biāo)變量 航空公司的利潤(rùn)決策變量 訂票數(shù)目指標(biāo)變量 參數(shù)變量 航班運(yùn)行成本、每名乘客支付費(fèi)用本文的問(wèn)題結(jié)構(gòu)為，確定航空公司每日最大的預(yù)定票數(shù)，以確保公司在不影響聲譽(yù)的前提下，是公司利潤(rùn)最大。5.2模型建立模型一：初步建模首先，剔除對(duì)所

6、求利潤(rùn)帶來(lái)復(fù)雜影響的參量，從利潤(rùn)最根本的角度出發(fā)建立基本模型：利潤(rùn)=收入成本一趟航班運(yùn)行成本基本與實(shí)際達(dá)成乘客數(shù)量無(wú)關(guān)。航班的成本包括了航空公司支付的薪水、燃料費(fèi)用，以及一些其他費(fèi)用，不管航班是否滿倉(cāng)，航空公司都必須給飛行員等工作人員支付薪金。而相對(duì)于半艙的航班，滿艙航班所都消耗的燃料在總的燃料中所占比例不大。一趟航班運(yùn)行的成本記為，收入取決與實(shí)際乘客人數(shù)，不同類型的乘客支付不同的運(yùn)費(fèi)。例如頭等艙、公務(wù)艙、經(jīng)濟(jì)艙都有各自定價(jià)。為了建模方便，假設(shè)所有的乘客都支付同樣的運(yùn)費(fèi)。如果一趟航班實(shí)際搭載了名乘客，則所得利潤(rùn)其中為每名乘客支付的運(yùn)費(fèi)。當(dāng)乘客的數(shù)目增加時(shí)，利潤(rùn)也跟著增加，最大可的利潤(rùn)是其中是航

7、班的滿艙載客量。當(dāng)乘客所付的總運(yùn)費(fèi)恰好能維持航班的費(fèi)用時(shí)，達(dá)到一個(gè)臨界人數(shù)當(dāng)乘客人數(shù)少于它時(shí)，航班的經(jīng)營(yíng)將會(huì)造成損失。容易看出，為了獲得盡可能大的利潤(rùn)，航空公司應(yīng)當(dāng)讓每一趟航班達(dá)到滿艙。誤機(jī)者會(huì)影響滿艙。因此，需要在基本模型上加入反映“乘客誤機(jī)”這一條件的參量，并考察其對(duì)利潤(rùn)的影響。模型二：擴(kuò)充模型考慮到發(fā)生乘客誤機(jī)的情況，使得即使訂票數(shù)為時(shí)也不一定能保證利潤(rùn)達(dá)到最大，則訂票上限不應(yīng)局限于。假設(shè)訂票的總?cè)藬?shù)是（有可能超出），當(dāng)有個(gè)人誤機(jī)時(shí)，航空公司的利潤(rùn)為乘客沒(méi)有搭乘航班屬于偶然事件，要反映這一事件，則必須加進(jìn)乘客誤機(jī)的概率這一參量。設(shè)有個(gè)人誤機(jī)的概率是，則所得利潤(rùn)的表達(dá)方式只能是利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期

8、望值，不妨用表示，則有 有名乘客乘坐的航班所得利潤(rùn) 如果，則第一項(xiàng)和不存在，僅由第二項(xiàng)和表出，并且求和下限由0代替。為研究對(duì)的影響，將上式改寫為 根據(jù)的定義知，因此有 而在和都為正數(shù)的條件下有，則唯一能達(dá)到預(yù)期利潤(rùn)最大值的方法是降低所有的，即當(dāng)訂票數(shù)量充分的大于時(shí)，可以達(dá)到所要結(jié)果。在這個(gè)模型中，對(duì)訂票的超額數(shù)量并沒(méi)有任何限制，它甚至可能是航班載客量的好幾倍。但是，一旦實(shí)行了超額訂票策略之后，除了對(duì)航班的利潤(rùn)帶來(lái)保障外，也會(huì)帶來(lái)一些負(fù)面影響。剩余乘客（人數(shù)為）會(huì)造成航空公司兩方面的損失：一是滯留費(fèi)用；二是來(lái)自乘客的抱怨，影響公司形象的潛在費(fèi)用。因此，需要在模型中加進(jìn)代表“剩余乘客所支出的費(fèi)用”

9、這一參量，并考察其對(duì)所求利潤(rùn)的影響，以及它與的相互關(guān)系。模型三：改進(jìn)的模型若航空公司解決一名剩余乘客所需費(fèi)用是，則利潤(rùn)有名乘客乘坐的航班所得利潤(rùn) = = =其中（期望）表示預(yù)計(jì)的誤機(jī)人數(shù)。在每一名訂票的乘客都抵達(dá)了機(jī)場(chǎng)這種情況下，有，則上式簡(jiǎn)化為 這個(gè)結(jié)果表明，如同預(yù)測(cè)的一樣（此時(shí)），若有名乘客預(yù)定了載客量為的航班且他們都抵達(dá)了機(jī)場(chǎng)，那么利潤(rùn)將是滿艙的收支差額減去承擔(dān)名剩余乘客的費(fèi)用。相對(duì)于基本模型，此時(shí)的模型已經(jīng)考慮了“乘客誤機(jī)”與“安排剩余乘客”兩種情況。但“有名乘客誤機(jī)”這一偶然事件的概率還需進(jìn)一步分解以方便估計(jì)與計(jì)算。最簡(jiǎn)單地，假設(shè)任一乘客登機(jī)的概率為，誤機(jī)的概率為，并設(shè)乘客是否抵達(dá)機(jī)

10、場(chǎng)兩兩無(wú)關(guān)，則由二項(xiàng)分布得由此可知估計(jì)的誤機(jī)人數(shù)為，從而利潤(rùn)上式中表達(dá)的平均利潤(rùn)依賴于和，但是成本，票價(jià)和費(fèi)用則在航空公司短期控制范圍之外（因運(yùn)費(fèi)不是由個(gè)別的航空公司決定），和由客觀因素約束，所以只有訂票數(shù)目上限是航空公司可以改變的參數(shù)。特別的，當(dāng)時(shí)，平均利潤(rùn)可化簡(jiǎn)為它是一個(gè)關(guān)于的增函數(shù)。5.3模型求解航空公司綜合考慮大量的因素，通常取臨界人數(shù)（少于這個(gè)數(shù)就虧本）大約是航班載客量的60%，即，則期望利潤(rùn)率對(duì)一個(gè)具體的航空公司而言，在，和的值給定后，可用過(guò)數(shù)值模擬的方法確定使達(dá)到最大值。當(dāng)很大時(shí)，可以用泊松分布計(jì)算。另外，“至少有個(gè)剩余乘客”的概率可以按照如下公式計(jì)算：以波音737-300為例，

11、在給定各數(shù)值的條件下進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬，得到的部分結(jié)果如下：取，在不同的下，期望利潤(rùn)率與訂票水平的變化情況如圖1所示，隨著的減小，最大期望利潤(rùn)率減小，相應(yīng)的訂票水平顯著升高，被擠掉的人數(shù)顯著增多。取，在不同的下，期望利潤(rùn)率與訂票水平的變化情況如圖2所示，隨著的增大，最大期望利潤(rùn)率減小，相應(yīng)的訂票水平有所減小。在最大期望利潤(rùn)率的訂票水平下，分別算得”至少有5位剩余乘客“的概率分別為0.08（），0.15（）和0.03（）這表明被擠掉的人數(shù)對(duì)的變化較為敏感，相反最大期望利潤(rùn)率對(duì)于這種變化相對(duì)不敏感。因此，在實(shí)際中，航空公司的決策制定者很容易過(guò)高的估計(jì)而犯錯(cuò)。其實(shí)要精確估計(jì)這筆支出費(fèi)用是相當(dāng)困難的，在降

12、低平均利潤(rùn)的條件下，高估一個(gè)小數(shù)目雖然也有益處，但要降低乘客座位沖撞概率到一個(gè)有意義的數(shù)字的難度還是很大的。所以，為了爭(zhēng)取更多的客源，提高客座率，航空公司往往采取超額售票的方式來(lái)追求利潤(rùn)的最大化。同時(shí)，對(duì)被擠掉的乘客進(jìn)行經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償以減少由此造成的不利影響。5.4系統(tǒng)仿真1. 系統(tǒng)仿真：使用計(jì)算機(jī)對(duì)一個(gè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和行為進(jìn)行動(dòng)態(tài)模擬，為決策提供必要的參考信息。 特點(diǎn)：對(duì)象真實(shí)、復(fù)雜，進(jìn)行模仿。2. 仿真模型：由計(jì)算機(jī)程序控制運(yùn)行，從數(shù)值上模仿實(shí)際系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為。3. 仿真過(guò)程 1. 現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)的分析：了解背景，明確目的，提出總體方案。 2. 組建模型：確定變量，明確關(guān)系，設(shè)計(jì)流程，編制程序。 3. 運(yùn)

13、行檢驗(yàn)：確定初始狀態(tài)，參量數(shù)值，運(yùn)行程序，檢驗(yàn)結(jié)果，改進(jìn)模型。4. 輸出結(jié)果在概率分布中，通常只能采用數(shù)值方法進(jìn)行求解，而系統(tǒng)模擬則可以在解析法不易求解時(shí)對(duì)模型進(jìn)行求解，也可以在求出解的情況下作為一種檢驗(yàn)方法。編寫Matlab程序?qū)υ撐哪Ｐ瓦M(jìn)行仿真求解，其結(jié)果如下：f1 = 151y = 74943即當(dāng)售票數(shù)為151張的時(shí)候，航空公司的利潤(rùn)最大。六、 模型評(píng)價(jià)優(yōu)點(diǎn)：一、 模型在合理假設(shè)的基礎(chǔ)上，由基礎(chǔ)模型開(kāi)始，不斷深化改進(jìn)，更能逼近真實(shí)情景。二、 模型摒除了對(duì)所求利潤(rùn)帶來(lái)復(fù)雜影響的參量，使問(wèn)題在保證一定真實(shí)性的基礎(chǔ)上，變得簡(jiǎn)單。缺點(diǎn)：一、摒除復(fù)雜影響變量雖然簡(jiǎn)化了問(wèn)題，但卻使問(wèn)題的精確度變得低

14、了。七、 模型的改進(jìn)與推廣資源的所有者在將其對(duì)外出借、出租或出售時(shí)，必須制定關(guān)于未來(lái)提供給顧客的服務(wù)能否實(shí)現(xiàn)的決策。航班訂票只是這一大類型中的一個(gè)，類似問(wèn)題還有很多。1. 圖書館圖書館有可能購(gòu)買一些暢銷書籍的多種版本，特別是在學(xué)院或大學(xué)圖書館里，時(shí)常購(gòu)買一系列課本，某些版本極有可能僅限在圖書館內(nèi)，以方便學(xué)生們使用，可以嘗試建立書籍使用模型。2. 酒店酒店接受房間預(yù)訂主要是建立在誠(chéng)信之上，因此通常不會(huì)再接受有過(guò)失信記錄的顧客預(yù)訂。一些酒店在接受預(yù)訂時(shí)會(huì)要求顧客交納押金，以此來(lái)確保顧客住房的概率（實(shí)行這種方案的一般是低價(jià)酒店，因?yàn)樗麄兊闹苻D(zhuǎn)資金往往不多），而另一些酒店則可能會(huì)個(gè)長(zhǎng)期訂房或是預(yù)付房費(fèi)

15、的顧客打折，這種多價(jià)格系統(tǒng)的經(jīng)營(yíng)方式是可以考慮的。3. 汽車出租公司汽車出租公司一般會(huì)保留固定數(shù)量的汽車以出租給顧客。出租公司可能會(huì)為頻繁租借汽車的顧客打折，以此來(lái)確保公司能有最低量的收入。而一些長(zhǎng)期出租品（一次出租一周或一個(gè)月）也會(huì)標(biāo)上優(yōu)惠價(jià)格，因?yàn)檫@給出了一個(gè)至少確定了未來(lái)的一段日子會(huì)有收入的策略。在預(yù)測(cè)一些車輛的預(yù)訂可能會(huì)被取消的情況下，出租公司有可能充分的留出比他們計(jì)劃中要多的汽車。八、 參考文獻(xiàn)1 白其崢.數(shù)學(xué)建模案例分析.北京：海洋出版社，2000. 2 趙靜，但琦，嚴(yán)尚安，楊秀文.數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（第3版）.北京：高等教育出版社.2008.3 王建偉 曲中水 凌斌.MATLAB 7.X 程序設(shè)計(jì).北京：中國(guó)水利水電出版社.2007.九、 附錄Matla