2020年10月18日終第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型上課用ppt課件

1、 2008 HFUT自動控制理論1School of Electrical Engineering and Automation2-2 控制系統(tǒng)的微分方程控制系統(tǒng)的微分方程2-3 線性定常系統(tǒng)的傳送函數(shù)線性定常系統(tǒng)的傳送函數(shù) (transfer function)2-4 控制系統(tǒng)的構(gòu)造圖控制系統(tǒng)的構(gòu)造圖2-5 控制系統(tǒng)的信號流圖控制系統(tǒng)的信號流圖2-6 閉環(huán)控制系統(tǒng)中幾個常用的傳送函數(shù)概念閉環(huán)控制系統(tǒng)中幾個常用的傳送函數(shù)概念2.1 引言引言 2008 HFUT自動控制理論2School of Electrical Engineering and Automation6.掌握由系統(tǒng)微分方程組建立

2、動態(tài)構(gòu)造圖的方法。7.掌握用動態(tài)構(gòu)造圖等效變換求傳送函數(shù)和用梅森公式求傳送函數(shù)的方法。8.掌握系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)、閉環(huán)傳送函數(shù)，對參考輸入和對干擾的系統(tǒng)閉環(huán)傳送函數(shù)及誤差傳送函數(shù)的概念。 2008 HFUT自動控制理論3School of Electrical Engineering and Automation系統(tǒng)的數(shù)學模型是指描畫系統(tǒng)輸入輸出變量以及內(nèi)部各變量系統(tǒng)的數(shù)學模型是指描畫系統(tǒng)輸入輸出變量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學表達式。之間關(guān)系的數(shù)學表達式。 靜態(tài)數(shù)學模型靜態(tài)數(shù)學模型 動態(tài)數(shù)學模型動態(tài)數(shù)學模型 動態(tài)數(shù)學模型有多種方式：動態(tài)數(shù)學模型有多種方式： 1、時域中的數(shù)學模型：、時域中的數(shù)

3、學模型： 微分方程、差分方程、形狀方程微分方程、差分方程、形狀方程 2、復域中的數(shù)學模型：、復域中的數(shù)學模型： 傳送函數(shù)、動態(tài)構(gòu)造圖、信號流圖傳送函數(shù)、動態(tài)構(gòu)造圖、信號流圖 3、頻域中的數(shù)學模型：、頻域中的數(shù)學模型： 頻率特性頻率特性 建立控制系統(tǒng)數(shù)學模型的方法有分析法和實驗法建立控制系統(tǒng)數(shù)學模型的方法有分析法和實驗法 要求模型盡能夠符合實踐物理系統(tǒng)的特性，并且準確可靠；要求模型盡能夠符合實踐物理系統(tǒng)的特性，并且準確可靠；在滿足精度要求的情況下，建立的數(shù)學模型應(yīng)盡能夠簡單。在滿足精度要求的情況下，建立的數(shù)學模型應(yīng)盡能夠簡單。 2008 HFUT自動控制理論4School of Electric

4、al Engineering and Automationu解析法：根據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵照的物理、化學定律解析法：根據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵照的物理、化學定律列寫出變量間的數(shù)學表達式，并實驗驗證。列寫出變量間的數(shù)學表達式，并實驗驗證。u實驗法：對系統(tǒng)或元件輸入一定方式的信號階躍信號、單位實驗法：對系統(tǒng)或元件輸入一定方式的信號階躍信號、單位脈沖信號、正弦信號等，根據(jù)系統(tǒng)或元件的輸出呼應(yīng)，經(jīng)過數(shù)脈沖信號、正弦信號等，根據(jù)系統(tǒng)或元件的輸出呼應(yīng)，經(jīng)過數(shù)據(jù)處置而辨識出系統(tǒng)的數(shù)學模型。據(jù)處置而辨識出系統(tǒng)的數(shù)學模型。o分析和設(shè)計任何一個控制系統(tǒng)，首要義務(wù)是建立系統(tǒng)的數(shù)學模型。分析和設(shè)計任何一個控制

5、系統(tǒng)，首要義務(wù)是建立系統(tǒng)的數(shù)學模型。o系統(tǒng)的數(shù)學模型是描畫系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系系統(tǒng)的數(shù)學模型是描畫系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學表達式。的數(shù)學表達式。o建立數(shù)學模型的方法分為解析法和實驗法建立數(shù)學模型的方法分為解析法和實驗法總結(jié)：總結(jié)： 解析方法適用于簡單、典型、常見的系統(tǒng)，而解析方法適用于簡單、典型、常見的系統(tǒng)，而實驗方法適用于復雜、非常見的系統(tǒng)。實踐上經(jīng)常是把實驗方法適用于復雜、非常見的系統(tǒng)。實踐上經(jīng)常是把這兩種方法結(jié)合起來建立數(shù)學模型更為有效。這兩種方法結(jié)合起來建立數(shù)學模型更為有效。 2008 HFUT自動控制理論5School of Electric

6、al Engineering and Automation一、建立系統(tǒng)或元件的微分方程的根本步驟：一、建立系統(tǒng)或元件的微分方程的根本步驟：1、根據(jù)控制義務(wù)要求，確定系統(tǒng)和各組成元件的輸入、輸出、根據(jù)控制義務(wù)要求，確定系統(tǒng)和各組成元件的輸入、輸出變量。變量。2、根據(jù)各個變量之間遵照的物理或化學定律，列寫出一組描、根據(jù)各個變量之間遵照的物理或化學定律，列寫出一組描畫各變量之間關(guān)系的微分方程和代數(shù)方程。畫各變量之間關(guān)系的微分方程和代數(shù)方程。3、消去中間變量，得到系統(tǒng)輸入變量和輸出變量之間的微分、消去中間變量，得到系統(tǒng)輸入變量和輸出變量之間的微分方程。方程。4、對微分方程進展整理，寫成規(guī)范方式。即將輸

7、出量及其各、對微分方程進展整理，寫成規(guī)范方式。即將輸出量及其各階導數(shù)項放在等號左邊，輸入量及其各階導數(shù)項放在等號階導數(shù)項放在等號左邊，輸入量及其各階導數(shù)項放在等號右邊，并按降冪陳列。右邊，并按降冪陳列。 2008 HFUT自動控制理論6School of Electrical Engineering and Automation解解: 設(shè)回路電流為設(shè)回路電流為 i(t) , 由基爾霍夫定律可寫出回路方程為由基爾霍夫定律可寫出回路方程為1)()( )idLRdti ti ttdtiu tC1( )( )ou tdtCi tui(t)uo(t)CRLi(t)圖圖2-1 RLC2-1 RLC無源網(wǎng)絡(luò)

8、無源網(wǎng)絡(luò)例例2-1 圖為由電阻圖為由電阻R、電感、電感L電容電容C組成的無源網(wǎng)絡(luò)組成的無源網(wǎng)絡(luò),試列寫以試列寫以 ui(t) 為輸入量為輸入量, 以以uo(t)為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程. 2008 HFUT自動控制理論7School of Electrical Engineering and Automation消去中間變量消去中間變量i(t) ,便得到描畫網(wǎng)絡(luò)輸入輸出關(guān)系的微分方程為便得到描畫網(wǎng)絡(luò)輸入輸出關(guān)系的微分方程為)()()()(22tutudttduRCdttudLCiooo(2-1)(2-1)假定假定R、L、C都是常數(shù)，這是一個二階常系數(shù)線性微分方程都是常數(shù)，這

9、是一個二階常系數(shù)線性微分方程,也就是上圖無源網(wǎng)絡(luò)的時域數(shù)學模型。也就是上圖無源網(wǎng)絡(luò)的時域數(shù)學模型。 2008 HFUT自動控制理論8School of Electrical Engineering and Automation 例例2-2 圖圖2-2a)所示為彈簧、質(zhì)所示為彈簧、質(zhì)量、阻尼系統(tǒng)。當受外力量、阻尼系統(tǒng)。當受外力F(t)作用時，要求寫出系統(tǒng)的微分作用時，要求寫出系統(tǒng)的微分方程。方程。F(t)x(t)mF2(t)F1(t)圖圖2-2 2-2 機械位移系統(tǒng)機械位移系統(tǒng)b)F(t)x(t)mKfa)解：質(zhì)量解：質(zhì)量 m m 上受力情況如圖示。上受力情況如圖示。根據(jù)牛頓第二運動定律有：根據(jù)

10、牛頓第二運動定律有：1222( )( )( )d x tF tmtF tF td2-22-2 2008 HFUT自動控制理論9School of Electrical Engineering and Automation式中式中:)(1tF阻尼器阻力。其大小與運動速度成正比，方向阻尼器阻力。其大小與運動速度成正比，方向 與運動方向相反，阻尼系數(shù)為與運動方向相反，阻尼系數(shù)為f f，即：，即：1()dfFx tttd)(2tF彈簧力。設(shè)為線性彈簧，根據(jù)虎克定律有：彈簧力。設(shè)為線性彈簧，根據(jù)虎克定律有：2)()FKxttK彈簧剛度彈簧剛度聯(lián)立以上三式聯(lián)立以上三式(消除中間變量將消除中間變量將F1(t

11、)和和F2(t)并整理得：并整理得：)()()()(22tFtKxdttdxfdttxdm2-32-3假定假定m、k、f均為常數(shù)，上式就是二階常系數(shù)線性微分方程。均為常數(shù)，上式就是二階常系數(shù)線性微分方程。 2008 HFUT自動控制理論10School of Electrical Engineering and Automation例例2-3 列寫兩級列寫兩級RC電路的微分方程電路的微分方程 解：根據(jù)基爾霍夫定律，可寫出以下方程組解：根據(jù)基爾霍夫定律，可寫出以下方程組 )()()(111tutiRtur)()()(221tutiRtucdtiiCtu)(1)(2111dttiCtuc)(1)(

12、22消去中間變量消去中間變量 1u1i2i 121122112222( )( )()( )( )cccrd u tdu tRC R CRCR Cu tuddRtCtt上式是二階常系數(shù)線性微分方程。上式是二階常系數(shù)線性微分方程。 2008 HFUT自動控制理論11School of Electrical Engineering and Automation留意：該電路是由兩個一級留意：該電路是由兩個一級RC電路串聯(lián)而成，后一級電路串聯(lián)而成，后一級RC電路中的電流影電路中的電流影響著前一級響著前一級RC電路的輸出電壓電路的輸出電壓 ，這就是負載效應(yīng)。，這就是負載效應(yīng)。 假設(shè)要消除負載效應(yīng)，可在兩個

13、假設(shè)要消除負載效應(yīng)，可在兩個RC電路之間設(shè)置隔離放大器電路之間設(shè)置隔離放大器 這時所列寫的微分方程為前兩個方程消除這時所列寫的微分方程為前兩個方程消除i1,后兩個方程消除后兩個方程消除i2,最后消除最后消除u1 )()()()()(2211222211tutudttduCRCRdttudCRCRrccc1i2i1i111( )( )ri tu tRu t212()( )(ci tu tRu t111()t1(iu tdtC22()(1ciutCttd1111du(t)( )d)Ctru tuRt111di (u ( )t)tdtCc22c1du( )(t)C( )dtu tRu t221di

14、(u ( )t)tdtC上式是二階常系數(shù)線性微分方程。上式是二階常系數(shù)線性微分方程。 2008 HFUT自動控制理論12School of Electrical Engineering and Automation有源網(wǎng)絡(luò)如下圖。列寫輸出與輸入之間的微分方程有源網(wǎng)絡(luò)如下圖。列寫輸出與輸入之間的微分方程 解：由運算放大器的根本特性和基爾霍夫定律，列寫出以下方程解：由運算放大器的根本特性和基爾霍夫定律，列寫出以下方程11( )iiuttR21342( )( )( ) )( )ocu tu tRi ti ti tR21( )( )(cdCittui ttd2213( )()(oitRiutt R消去

15、中間變量消去中間變量i1,后兩個方程消除后兩個方程消除i2,最后消除最后消除uc，可得：，可得： )()()()uRRRdttduCRRRRRRRtudttduCRiioocu上式是二階常系數(shù)線性微分方程。上式是二階常系數(shù)線性微分方程。 2008 HFUT自動控制理論13School of Electrical Engineering and AutomationaaaaamcmmfuLRiemmfi電樞輸入電壓電樞電感電樞電阻電樞電流電樞反電勢電動機轉(zhuǎn)角負載力矩電磁轉(zhuǎn)矩電動機軸上粘性摩擦系數(shù)勵磁回路電流列寫電樞控制的他勵直流電動機的微分方程。列寫電樞控制的他勵直流電

16、動機的微分方程。ua取為輸入量，取為輸入量，m為輸出量。為輸出量。電樞轉(zhuǎn)動慣量，電樞轉(zhuǎn)動慣量，mJ2,4mGDJGDg(其中轉(zhuǎn)動慣量電樞重量電樞直徑) 2008 HFUT自動控制理論14School of Electrical Engineering and Automation電樞回路電壓平衡方程電樞回路電壓平衡方程式中式中 Ea(V) 是電樞反電勢是電樞反電勢,它是當電樞旋轉(zhuǎn)時產(chǎn)生的電勢它是當電樞旋轉(zhuǎn)時產(chǎn)生的電勢,其大其大小與激磁磁通及轉(zhuǎn)速成正比小與激磁磁通及轉(zhuǎn)速成正比,方向與電樞電壓方向與電樞電壓 ua(t) 相反相反,即即 是反電勢系數(shù)是反電勢系數(shù).)/(, )(sradVCtCEem

17、eaaaaaaaEtiRdttdiLtu)()()(解：電樞控制直流電動機的任務(wù)本質(zhì)是將輸入的電能轉(zhuǎn)換為機械解：電樞控制直流電動機的任務(wù)本質(zhì)是將輸入的電能轉(zhuǎn)換為機械能，也就是由輸入的電樞電壓能，也就是由輸入的電樞電壓 在電樞回路中產(chǎn)生電樞電流在電樞回路中產(chǎn)生電樞電流 ，再由電流再由電流 與激磁磁通相互作用產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩與激磁磁通相互作用產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩 ，從而拖動，從而拖動負載運動。直流電動機的運動方程可由以下三部分組成：負載運動。直流電動機的運動方程可由以下三部分組成：( )au ti ( )ati ( )atmM ( ) t(2-5)(2-5) 2008 HFUT自動控制理論15School o

18、f Electrical Engineering and Automation 電磁轉(zhuǎn)矩方程電磁轉(zhuǎn)矩方程)()(tiCtMamm(2-3)(2-3) 電動機軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程電動機軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程)()()()(tMtMtfdttdJcmmmmm(2-6)(2-6)式中式中, 是電動機和負載折合到電動機軸上的粘是電動機和負載折合到電動機軸上的粘性摩擦系數(shù)性摩擦系數(shù); 是電動機和負載折合到電動機軸上是電動機和負載折合到電動機軸上的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量.)/(sradmNfm)(2smkgJm式中式中 是電動機轉(zhuǎn)矩系數(shù)是電動機轉(zhuǎn)矩系數(shù) , 是電樞電流是電樞電流產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩.)/(A

19、mNCm)(MNtMm 2008 HFUT自動控制理論16School of Electrical Engineering and Automation 由式由式(2-3)、式、式(2-5)、式、式(2-6消去中間變量消去中間變量 ia(t) , Ea 及及 Mm(t) , 便可得到以便可得到以 m(t) 為輸出量為輸出量,以以ua(t)為輸入量的直流為輸入量的直流電機微分方程為電機微分方程為22( )( )()()( )( )( )( )ammmmmammcmaaeacmaadtdtJfR JtdtdtdR fMtC u tRC CLLMtdtL(2-7)(2-7)工程中電樞電路電感工程中電

20、樞電路電感 La 較小較小, 常忽略不計常忽略不計,因此上式可簡化因此上式可簡化為為12( )( )( )( )mmmacdttu tMtTKdKt(2-8)(2-8)式中式中 Tm=RaJm/(Rafm+CmCe) 是電動機機電時間常數(shù)是電動機機電時間常數(shù)(s);K1=Cm/(Rafm+CmCe) , K2=Ra/(Rafm+CmCe)是電動機傳送是電動機傳送系數(shù)系數(shù). 2008 HFUT自動控制理論17School of Electrical Engineering and Automation22( )( )()()( )( )( )( )mmmmmaaaamamemcmacadtdtJ

21、ffC CtdtdtdMLLLtC u tMRtdR JRt(2-7)(2-7)1( )( )( )mmmadttu tdtTK假設(shè)假設(shè) Ra 和和 Jm 都很小而忽略不計時都很小而忽略不計時,式式(2-6)還可進一步簡化為還可進一步簡化為這時這時,m(t)與與ua(t)成正比成正比,于是于是,電動機可作為測速發(fā)電機運用電動機可作為測速發(fā)電機運用.此外，我們可以得到電動機轉(zhuǎn)角此外，我們可以得到電動機轉(zhuǎn)角 以及電動機的轉(zhuǎn)速以及電動機的轉(zhuǎn)速m(t)與電與電樞電壓樞電壓ua(t)的關(guān)系式的關(guān)系式p21：)()(tutCame(2-9)(2-9)m221( )( )( )mmamdtdtu tdtTK

22、dt(2-11)(2-11)(2-(2-12)12) 2008 HFUT自動控制理論18School of Electrical Engineering and Automation直流調(diào)速控制系統(tǒng)如下圖。以給定電壓為系統(tǒng)的參考輸直流調(diào)速控制系統(tǒng)如下圖。以給定電壓為系統(tǒng)的參考輸入，電動機轉(zhuǎn)速為系統(tǒng)的輸出，列寫微分方程。入，電動機轉(zhuǎn)速為系統(tǒng)的輸出，列寫微分方程。 )()()(tututeTr 解： )()(teKtuaa)()()(tuKtdttdTammmm)()(tKtumtT消去中間變量消去中間變量e、ua、uT )()()1 ()(tuKKtKKKdttdTrmamtmamm測速發(fā)電機的

23、電壓與電動機的角速度成正比：測速發(fā)電機的電壓與電動機的角速度成正比： 2008 HFUT自動控制理論19School of Electrical Engineering and Automation分別是電動機軸上的轉(zhuǎn)動慣量和粘性摩擦系數(shù)分別是電動機軸上的轉(zhuǎn)動慣量和粘性摩擦系數(shù)分別是負載軸上的轉(zhuǎn)動慣量和粘性摩擦系數(shù)分別是負載軸上的轉(zhuǎn)動慣量和粘性摩擦系數(shù)負載軸上的外加阻力矩負載軸上的外加阻力矩分別是減速器大、小齒輪的齒數(shù)分別是減速器大、小齒輪的齒數(shù)給定轉(zhuǎn)角給定轉(zhuǎn)角 任務(wù)機械的轉(zhuǎn)角任務(wù)機械的轉(zhuǎn)角橋式電位計輸出電壓橋式電位計輸出電壓電樞電壓電樞電壓電樞電阻電樞電阻電樞電感電樞電感電樞反電勢電樞反電勢

24、電動機的角位移電動機的角位移rcsuauaRaLae,mJmfm,LJLfLm2,z1zmr位置隨動系統(tǒng)如圖位置隨動系統(tǒng)如圖 所示，以手柄給定轉(zhuǎn)角所示，以手柄給定轉(zhuǎn)角 為系統(tǒng)的輸入，為系統(tǒng)的輸入，任務(wù)機械的轉(zhuǎn)角任務(wù)機械的轉(zhuǎn)角 為系統(tǒng)的輸出，列寫系統(tǒng)的微分方程。為系統(tǒng)的輸出，列寫系統(tǒng)的微分方程。 c 2008 HFUT自動控制理論20School of Electrical Engineering and Automation1、橋式電位計 2、放大器、放大器 m( )( )( )ercttt( )( )sseu tKt( )aasutK u t（）max(/sKE比例系數(shù)） 2008 HFUT

25、自動控制理論21School of Electrical Engineering and Automation3、電動機、電動機 電機輸入輸出方程為電機輸入輸出方程為 3232()()mmmcaaaamemaaacddddmJLJRfLfRC CC uLR mdtdtdtdtm22( )( )( )mmcmdtdtmtdtdJfmtt( )( )mm amtC i t( )( )maedte tCdt( )( )( )( )aaaa aadi tu tLR i te tdt思索了負載效應(yīng) 2008 HFUT自動控制理論22School of Electrical Engineering and

26、 Automation4、減速器 mci15、任務(wù)機械 21(/izz減速比)均折算到電動機軸上，折算后：均折算到電動機軸上，折算后：,LJ,LfLm2/,mLJJJi2/,mLfffi( )(/)Lcmmtit m 2008 HFUT自動控制理論23School of Electrical Engineering and Automation消去中間變量并將折算公式消去中間變量并將折算公式 帶入，得到帶入，得到3232()()cccsamaaecamadddK K CJJRffRC CdtdtdtLiLaL0Lm iRCKKKamasaemRCCfF假設(shè)忽略假設(shè)忽略 的數(shù)值，思索的數(shù)值，思索

27、令令rcccKKdtdFdtdJ2222aasamrLLLRdmmiiKdtK Ci可簡化為可簡化為22()ccsamaamecddK K CJRfRC CdtdtisamrK K Ci二階線性定常系統(tǒng)二階線性定常系統(tǒng)/cLmmi位置隨動系統(tǒng)的數(shù)學模型是一個二階線性常系數(shù)微分方程位置隨動系統(tǒng)的數(shù)學模型是一個二階線性常系數(shù)微分方程 2008 HFUT自動控制理論24School of Electrical Engineering and Automationo 在實踐工程中，構(gòu)成系統(tǒng)的元件都具有不同程度的非在實踐工程中，構(gòu)成系統(tǒng)的元件都具有不同程度的非線性，如以下圖所示。線性，如以下圖所示。 2

28、008 HFUT自動控制理論25School of Electrical Engineering and Automation于是，建立的動態(tài)方程就是非線性微分方程，對其求解有諸于是，建立的動態(tài)方程就是非線性微分方程，對其求解有諸多困難，因此，對非線性問題做線性化處置確有必要。多困難，因此，對非線性問題做線性化處置確有必要。對弱非線性的線性化對弱非線性的線性化如上圖如上圖a，當輸入信號很小時，忽略非線性影響，近似，當輸入信號很小時，忽略非線性影響，近似為放大特性。對為放大特性。對b和和c，當死區(qū)或間隙很小時相對，當死區(qū)或間隙很小時相對于輸入信號同樣忽略其影響，也近似為放大特性，如圖中于輸入信號

29、同樣忽略其影響，也近似為放大特性，如圖中虛線所示。虛線所示。平衡位置附近的小偏向線性化平衡位置附近的小偏向線性化輸入和輸出關(guān)系具有如以下圖所示的非線性特性。輸入和輸出關(guān)系具有如以下圖所示的非線性特性。 2008 HFUT自動控制理論26School of Electrical Engineering and Automation在平衡點在平衡點Ax0，y0處，當系統(tǒng)遭到干擾，處，當系統(tǒng)遭到干擾，y只在只在A附近變化，那么可對附近變化，那么可對A處的輸出處的輸出輸入輸入關(guān)系函數(shù)按泰勒級數(shù)展開，由數(shù)學關(guān)系可知，關(guān)系函數(shù)按泰勒級數(shù)展開，由數(shù)學關(guān)系可知，當當 很小時，可用很小時，可用A處的切線方程替代

30、曲線方處的切線方程替代曲線方程非線性，即小偏向線性化。程非線性，即小偏向線性化。x 2008 HFUT自動控制理論27School of Electrical Engineering and Automation可得可得 ，簡記為，簡記為 y=kx。假設(shè)非線性函數(shù)由兩個自變量，如假設(shè)非線性函數(shù)由兩個自變量，如zfx,y，那么在平衡點處可展成忽略高次項那么在平衡點處可展成忽略高次項 0|xdfyxk xdx0000(,)(,)|xyxyvffzxyxy 經(jīng)過上述線性化后，就把非線性關(guān)系變成了線性關(guān)經(jīng)過上述線性化后，就把非線性關(guān)系變成了線性關(guān)系，從而使問題大大簡化。但對于如圖系，從而使問題大大簡化

31、。但對于如圖d所示為強所示為強非線性，只能采用第七章的非線性實際來分析。對于線非線性，只能采用第七章的非線性實際來分析。對于線性系統(tǒng)，可采用疊加原理來分析系統(tǒng)。性系統(tǒng)，可采用疊加原理來分析系統(tǒng)。 2008 HFUT自動控制理論28School of Electrical Engineering and Automation運用小偏向法的步驟：運用小偏向法的步驟：1 1將非線性元件線性化將非線性元件線性化 設(shè)非線性元件的輸入輸出特性可用非線性函數(shù)表示，且設(shè)非線性元件的輸入輸出特性可用非線性函數(shù)表示，且可以在平衡點的鄰域內(nèi)展開成泰勒級數(shù)，忽略展開式中的可以在平衡點的鄰域內(nèi)展開成泰勒級數(shù)，忽略展開式

32、中的高次項，那么元件的輸入輸出特性可近似寫成線性化增量高次項，那么元件的輸入輸出特性可近似寫成線性化增量方程。方程。2 2將非線性微分方程增量化將非線性微分方程增量化 由于非線性元件的線性化描畫是一個增量方程，為方便由于非線性元件的線性化描畫是一個增量方程，為方便起見，需求將系統(tǒng)中的變量轉(zhuǎn)換成增量方式，使描畫系統(tǒng)起見，需求將系統(tǒng)中的變量轉(zhuǎn)換成增量方式，使描畫系統(tǒng)的微分方程增量化。詳細做法為：將微分方程中的各個變的微分方程增量化。詳細做法為：將微分方程中的各個變量用平衡點處的值和增量值之和的方式表示，并且思索平量用平衡點處的值和增量值之和的方式表示，并且思索平衡點處各變量之間的關(guān)系，就可以得到增

33、量化的非線性微衡點處各變量之間的關(guān)系，就可以得到增量化的非線性微分方程。分方程。3 3將非線性微分方程線性化將非線性微分方程線性化 將非線性元件的線性增量方程與系統(tǒng)的非線性增量微分將非線性元件的線性增量方程與系統(tǒng)的非線性增量微分方程聯(lián)立，求得描畫系統(tǒng)的線性增量微分方程。方程聯(lián)立，求得描畫系統(tǒng)的線性增量微分方程。 2008 HFUT自動控制理論29School of Electrical Engineering and Automation小偏向法的運用條件：小偏向法的運用條件：1 1要求輸入輸出變量在平衡點附近作小范圍變化，要求輸入輸出變量在平衡點附近作小范圍變化，否那么忽略泰勒展開式的二次方

34、以上各項，會產(chǎn)生大否那么忽略泰勒展開式的二次方以上各項，會產(chǎn)生大的誤差。的誤差。2 2要求非線性特性曲線在平衡點處延續(xù)可導，對某要求非線性特性曲線在平衡點處延續(xù)可導，對某些非線性特性，平衡點處的導數(shù)不存在，不能運用小些非線性特性，平衡點處的導數(shù)不存在，不能運用小偏向法。偏向法。 2008 HFUT自動控制理論30School of Electrical Engineering and Automationu疊加原理疊加原理疊加原理含有兩重含義，即可疊加性和均勻性或疊加原理含有兩重含義，即可疊加性和均勻性或叫齊次性。叫齊次性。例：例： 設(shè)線性微分方程式為設(shè)線性微分方程式為2( )( )( )(

35、)d c tdc tc tr tdtdt假設(shè) 時，方程有解 ，而 時，方程有解 ，分別代入上式且將兩式相加，那么顯然有，當 時，必存在解為 ，即為可疊加性。1( )( )r tr t1( )c t2( )( )r tr t2( )c t1( )( )r tr t2( )r t12( )( )( )c tc tc t線性系統(tǒng)的根本特性線性系統(tǒng)的根本特性 2008 HFUT自動控制理論31School of Electrical Engineering and Automation 上述結(jié)果闡明，兩個外作用同時加于系統(tǒng)產(chǎn)生的呼應(yīng)等于各個外作用單獨作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的呼應(yīng)之和，而且外作用加強假設(shè)干倍，系

36、統(tǒng)呼應(yīng)也加強假設(shè)干倍，這就是疊加原理。假設(shè) 時， 為實數(shù)，那么方程解為 ，這就是齊次性。1( )( )r tar t1( )( )c tac ta 2008 HFUT自動控制理論32School of Electrical Engineering and Automation單容水箱液位系統(tǒng)如下圖。單容水箱液位系統(tǒng)如下圖。 1q為水箱的流入量，為水箱的流入量， 2q為流出量，水箱液面高度為為流出量，水箱液面高度為 h，水箱的截面積為 S列寫列寫 h1q與與 之間的線性化微分方程。之間的線性化微分方程。 1qh2q解：解： 設(shè)流體是不可緊縮的，根據(jù)物質(zhì)守恒定律，有設(shè)流體是不可緊縮的，根據(jù)物質(zhì)守恒

37、定律，有 12qqdhdtS經(jīng)過負載閥節(jié)流閥的液體是紊流，根據(jù)流膂力學經(jīng)過負載閥節(jié)流閥的液體是紊流，根據(jù)流膂力學 2qa h是與負載閥的特性有關(guān)的系數(shù)，閥的開度一定時為常數(shù)。是與負載閥的特性有關(guān)的系數(shù)，閥的開度一定時為常數(shù)。 a1a非線性元件 2008 HFUT自動控制理論33School of Electrical Engineering and Automation11dhahqdtSS這是一個一階非線性微分方程。這是一個一階非線性微分方程。 液位系統(tǒng)在平衡點附近小范圍內(nèi)任務(wù)時，各變量可以表示為液位系統(tǒng)在平衡點附近小范圍內(nèi)任務(wù)時，各變量可以表示為 011012202 hhhqqqqqq00

38、22222200021)()()()2!h hh hdqd qq hq hhhhhdhdh（02220( )h hdqq hq hhdh（0202h hdqadhh2hR q ahR02稱為水阻稱為水阻 2a非線性微分方程1b非線性元件線性化增量方式 2008 HFUT自動控制理論34School of Electrical Engineering and Automation思索平衡點處思索平衡點處 00hhdtdh1020qq12qqd hdtS1d hRShR qdt 是系統(tǒng)的非線性微分方程的線性化結(jié)果，是平衡點附近的線性增量方程。是系統(tǒng)的非線性微分方程的線性化結(jié)果，是平衡點附近的線性增

39、量方程。 簡記為簡記為 1dhRShRqdt2b非線性微分方程增量化3 非線性微分方程 2008 HFUT自動控制理論35School of Electrical Engineering and Automation鐵芯線圈及其非線性特性如圖鐵芯線圈及其非線性特性如圖 ru為輸入，為輸入， i為輸出為輸出 列寫微分方程并進展線性化。列寫微分方程并進展線性化。解：解： RiuuLr( )( )Ldidi diudtdidt( )LdiuL idtruRidtid)(是一個非線性微分方程。是一個非線性微分方程。 非線性微分方程為線圈的自感應(yīng)電勢。為線圈的自感應(yīng)電勢。Lu為線圈的磁鏈為線圈的磁鏈/通

40、。通。( ) i 2008 HFUT自動控制理論36School of Electrical Engineering and Automation202200)(! 21)()(00iididiididiiiii忽略二次方以上的各項，得到忽略二次方以上的各項，得到 )(000iididiiididii0iL ruuiiRdtd000)()(rd iLR iudt 運用小偏向法進展線性化時，須留意滿足它的運用條件：運用小偏向法進展線性化時，須留意滿足它的運用條件：1要求輸入輸要求輸入輸出變量在平衡點附近作小范圍變化，否那么忽略泰勒展開式的二次方以上各出變量在平衡點附近作小范圍變化，否那么忽略泰勒

41、展開式的二次方以上各項，會產(chǎn)生大的誤差。項，會產(chǎn)生大的誤差。2要求非線性特性曲線在平衡點處延續(xù)可導，對要求非線性特性曲線在平衡點處延續(xù)可導，對某些非線性特性，平衡點處的導數(shù)不存在，不能運用小偏向法。某些非線性特性，平衡點處的導數(shù)不存在，不能運用小偏向法。 非線性元件線性化增量方式非線性微分方程增量化非線性元件rd iLR iud t非線性微分方程 2008 HFUT自動控制理論37School of Electrical Engineering and Automation線性常系數(shù)微分方程的求解可以采用拉氏變換法。求解過程如下：線性常系數(shù)微分方程的求解可以采用拉氏變換法。求解過程如下： 1對

42、微分方程進展拉氏變換，得到以對微分方程進展拉氏變換，得到以s為變量的代數(shù)為變量的代數(shù)方程，又稱變換方程。方程，又稱變換方程。2將輸入量和初始條件代入變換方程進展求解，得到將輸入量和初始條件代入變換方程進展求解，得到輸出量的拉氏變換函數(shù)表達式。輸出量的拉氏變換函數(shù)表達式。3將輸出量的拉氏變換函數(shù)表達式化為部分分式。將輸出量的拉氏變換函數(shù)表達式化為部分分式。4對部分分式進展拉氏反變換，得到輸出量的時域表對部分分式進展拉氏反變換，得到輸出量的時域表達式，即為微分方程的全解。達式，即為微分方程的全解。 2008 HFUT自動控制理論38School of Electrical Engineering

43、and Automation拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)變換變換 定義：定義：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(t)f(t)當當t 0t 0時時,f(t),f(t)有定義，有定義，且積分且積分 在在s s的某一域內(nèi)收斂的某一域內(nèi)收斂, ,那么稱那么稱F(s)F(s)為為f(t) f(t) 的拉氏變的拉氏變換，記作換，記作F(s)=Lf(t) , F(s)F(s)=Lf(t) , F(s)又稱為象函數(shù)，又稱為象函數(shù)， f(t)f(t)稱為原函數(shù)。稱為原函數(shù)。0)()(dtetfsFst (2-11)(s(s是一個復參量是一個復參量) ) 假設(shè)假設(shè)F(s)F(s)是是f(t) f(t) 的拉氏變換，稱的拉氏變

44、換，稱f(t)f(t)為為F(s)F(s)的拉的拉氏逆變換，記作氏逆變換，記作f(t) =L-1F(s). F(s)f(t) =L-1F(s). F(s)和和f(t)f(t)為為 一個一個拉氏變換對。拉氏變換對。 2008 HFUT自動控制理論39School of Electrical Engineering and Automation 拉氏變換表拉氏變換表表表2 21 1 拉氏變換表拉氏變換表f(t)F(s) (t)11(t)1 / st1 / 1 / s2s2tn-1/(n-1)!1 /sne-at1/(s+a1/(s+a) )sint /(s2+ 2)costs/(s2+2) 1ba

45、(e-ate-bt)1/(s+a)(s+b1/(s+a)(s+b) ) 2008 HFUT自動控制理論40School of Electrical Engineering and Automation 位移定理：位移定理：)()(sFetfLs)()(asFtfeLat 根本定理根本定理設(shè)設(shè)F(s)=Lf(t) , F1(s)=Lf1(t), F(s)=Lf(t) , F1(s)=Lf1(t), F2(s)=Lf2(t),F2(s)=Lf2(t),為常數(shù)為常數(shù) 線性定理：線性定理：)()()()(2121sFsFtftfL)()()()(21211sfsftFtFL 類似定理：類似定理：)()

46、(sFtfL為實常數(shù)為實常數(shù) 微分定理：微分定理：)0()()(fssFdttdfL)0()0()0()0()()()1()2(21 nnnnnnnfsffsfssFsdttfdL 2008 HFUT自動控制理論41School of Electrical Engineering and Automation當當f(t)及其各階導數(shù)的初始值都為零時：及其各階導數(shù)的初始值都為零時：)()(sFsdttfdLnn 積分定理：積分定理： sfssFdttfL)0()()(1式中：式中： 為在為在 處的值處的值dttff)()0(10tL LL L 2008 HFUT自動控制理論42School of

47、 Electrical Engineering and Automation 終值定理：終值定理：)(lim)(lim)(0sFstffst 拉氏反變換拉氏反變換定義：定義：)0,()(21)(tjsdsesFjtfjjst拉氏反演積分拉氏反演積分求拉氏逆變換的方法求拉氏逆變換的方法 在實踐運用時，采用部分分式展開法，即將復雜函在實踐運用時，采用部分分式展開法，即將復雜函數(shù)展開成簡單函數(shù)的和數(shù)展開成簡單函數(shù)的和當：當： 時時)()()()(21sFsFsFsFn 初值定理：初值定理： 2008 HFUT自動控制理論43School of Electrical Engineering and A

48、utomation)()()()()()()(21121111tftftfsFLsFLsFLsFLnn 其中：其中： 可查表。可查表。 )()(1sFLtfiini,2 ,1 普通地，象函數(shù)普通地，象函數(shù)F(s)F(s)是復變數(shù)是復變數(shù)s s的有理代數(shù)分式的有理代數(shù)分式 2008 HFUT自動控制理論44School of Electrical Engineering and Automation附例附例1解解(1) A(s)=0無重根時，可有無重根時，可有或或(2-12)根據(jù)拉氏變換的線性性質(zhì)有根據(jù)拉氏變換的線性性質(zhì)有(2-13) 2008 HFUT自動控制理論45School of Ele

49、ctrical Engineering and Automation那么那么有有根據(jù)式根據(jù)式(2-12)(2-12)根據(jù)式根據(jù)式(2-13),(2-13),得原函數(shù)得原函數(shù) 2008 HFUT自動控制理論46School of Electrical Engineering and Automation(2) A(s)=0(2) A(s)=0有重根有重根時時重根項的待定系數(shù)重根項的待定系數(shù)(2-14)(2-14) 2008 HFUT自動控制理論47School of Electrical Engineering and Automation故有原函數(shù)故有原函數(shù)(2-15)(2-15) 2008

50、HFUT自動控制理論48School of Electrical Engineering and Automation附例附例2 2根據(jù)式根據(jù)式(2-14)(2-14)根據(jù)式根據(jù)式(2-12)(2-12)根據(jù)式根據(jù)式(2-15)(2-15) 2008 HFUT自動控制理論49School of Electrical Engineering and Automation求得求得RLC無源網(wǎng)絡(luò)的輸入輸出微分方程無源網(wǎng)絡(luò)的輸入輸出微分方程 )()()()(22tutudttduRCdttudLCiooo1HL 1FC 1R )( 1)(ttui(0)0.1Vou(0)0.1Ai)(tuo知知求輸出電

51、壓求輸出電壓對微分方程兩邊進展拉氏變換對微分方程兩邊進展拉氏變換 解：解： 21( )(0)(0) ( )(0)( )oooooos UssuusUsuUss(0)(0)0.1AoiCu(0)0.1Vous) 1(12 . 01 . 0)(22ssssssUo43)21(35. 043)21()21(9 . 0118 . 09 . 01)(222sssssssssUo0 50.5323( )1 0.9cos0.35sin223ttou tetet . 2008 HFUT自動控制理論50School of Electrical Engineering and Automation2.2.32.2

52、.3續(xù)用拉氏變換求解線性常系數(shù)微分方程續(xù)用拉氏變換求解線性常系數(shù)微分方程 例例2-10 在例在例2-1中，假設(shè)知中，假設(shè)知L1H，CIF，Rl，且電容上初，且電容上初始電壓始電壓uo(0)=0.1V，初始電流，初始電流i(0)=0.1A，電源電壓，電源電壓ui(t)= 1V。試求。試求輸出電壓輸出電壓uo(t)。ui(t)uo(t)CRLi(t)解解 在例在例2-12-1中得網(wǎng)絡(luò)微分方程為中得網(wǎng)絡(luò)微分方程為 2008 HFUT自動控制理論51School of Electrical Engineering and AutomationssUussUususUsoooooo1)() 0 ()()

53、 0 () 0 ()(2(0)(0)0.1AoiCu(0)0.1Vous)1(12 .01 .0)(22ssssssUo43)21(35. 043)21()21( 9 . 0118 . 09 . 01)(222sssssssssUo050.5323( ) 1 0.9cos0.35sin223ttou tetet . 2008 HFUT自動控制理論52School of Electrical Engineering and Automation 用拉氏變換法求解線性定常微分方程的過用拉氏變換法求解線性定常微分方程的過程可歸結(jié)如下：程可歸結(jié)如下：思索初始條件，對微分方程中的每一項分別進展思索初始條

54、件，對微分方程中的每一項分別進展拉氏變換，將微分方程轉(zhuǎn)換為變量拉氏變換，將微分方程轉(zhuǎn)換為變量s s的代數(shù)方程；的代數(shù)方程；由代數(shù)方程求出輸出量拉氏變換函數(shù)的表達式；由代數(shù)方程求出輸出量拉氏變換函數(shù)的表達式；對輸出量拉氏變換函數(shù)求反變換，得到輸出量的對輸出量拉氏變換函數(shù)求反變換，得到輸出量的時域表達式，即為所求微分方程的解。時域表達式，即為所求微分方程的解。 2008 HFUT自動控制理論53School of Electrical Engineering and Automationu2.3.1傳送函數(shù)的概念與定義傳送函數(shù)的概念與定義u 線性定常系統(tǒng)在輸入、輸出初始條線性定常系統(tǒng)在輸入、輸出初

55、始條件均為零的條件下，輸出的拉氏變換件均為零的條件下，輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比，稱為該系統(tǒng)與輸入的拉氏變換之比，稱為該系統(tǒng)的傳送函數(shù)。的傳送函數(shù)。 2008 HFUT自動控制理論54School of Electrical Engineering and Automation這里，這里，“初始條件為零有兩方面含義：初始條件為零有兩方面含義：0u一指輸入作用是一指輸入作用是t0后才加于系統(tǒng)的，因此輸入量后才加于系統(tǒng)的，因此輸入量及其各階導數(shù)及其各階導數(shù) ， 在在t = 時的值為零。時的值為零。0u二指輸入信號作用于系統(tǒng)之前系統(tǒng)是靜止的，二指輸入信號作用于系統(tǒng)之前系統(tǒng)是靜止的，即即t=

56、時時 ，系統(tǒng)的輸出量及各階導數(shù)為零。，系統(tǒng)的輸出量及各階導數(shù)為零。許多情況下傳送函數(shù)是能完全反映系統(tǒng)的動許多情況下傳送函數(shù)是能完全反映系統(tǒng)的動態(tài)性能的態(tài)性能的 。 2008 HFUT自動控制理論55School of Electrical Engineering and AutomationG(s)Ur(s)Uc(s)s(U)s(U)s(Grc 2008 HFUT自動控制理論56School of Electrical Engineering and Automation4傳送函數(shù)是關(guān)于復變量傳送函數(shù)是關(guān)于復變量s的有理真分式，它的的有理真分式，它的分子，分母的階次是：。分子，分母的階次是：。

57、nm1傳送函數(shù)僅適用于線性定常系統(tǒng)，否那么無法用傳送函數(shù)僅適用于線性定常系統(tǒng)，否那么無法用拉氏變換導出；拉氏變換導出；2傳送函數(shù)完全取決于系統(tǒng)內(nèi)部的構(gòu)造、參數(shù)，而傳送函數(shù)完全取決于系統(tǒng)內(nèi)部的構(gòu)造、參數(shù)，而與輸入、輸出無關(guān)；與輸入、輸出無關(guān)；3傳送函數(shù)只闡明一個特定的輸入、輸出關(guān)系，對傳送函數(shù)只闡明一個特定的輸入、輸出關(guān)系，對于多輸入、多輸出系統(tǒng)來說沒有一致的傳送函數(shù)；于多輸入、多輸出系統(tǒng)來說沒有一致的傳送函數(shù)；可定義傳送函數(shù)矩陣，見第九章可定義傳送函數(shù)矩陣，見第九章 2008 HFUT自動控制理論57School of Electrical Engineering and Automation

58、6傳送函數(shù)的拉氏反變換為該系統(tǒng)的脈沖呼應(yīng)函傳送函數(shù)的拉氏反變換為該系統(tǒng)的脈沖呼應(yīng)函數(shù)，由于數(shù)，由于( )( )( )G sC sR s當當 時，時， ，所以，所以， ( )( )r tt( )1R s 111( )( )( ) ( )( )c tLC sLG s R sLG s5 一定的傳送函數(shù)有一定的零、極點分布圖與一定的傳送函數(shù)有一定的零、極點分布圖與之對應(yīng)。這將在第四章根軌跡中詳述。之對應(yīng)。這將在第四章根軌跡中詳述。傳送函數(shù)是在零初始條件下建立的，因此，它傳送函數(shù)是在零初始條件下建立的，因此，它只是系統(tǒng)的零形狀模型，有一定的局限性，但它有只是系統(tǒng)的零形狀模型，有一定的局限性，但它有現(xiàn)實意

59、義，而且容易實現(xiàn)?，F(xiàn)實意義，而且容易實現(xiàn)。 2008 HFUT自動控制理論58School of Electrical Engineering and Automationq 例例1.q 如下圖的如下圖的RLC無源無源網(wǎng)絡(luò)，圖中電感為網(wǎng)絡(luò)，圖中電感為L亨利，電阻為亨利，電阻為R歐姆，電容為歐姆，電容為C法，試求輸入電法，試求輸入電壓壓ui(t)與輸出電壓與輸出電壓uo(t)之間的傳送函數(shù)。之間的傳送函數(shù)。uiRCucLi 2008 HFUT自動控制理論59School of Electrical Engineering and Automation解：為了改善系統(tǒng)的性能，常引入圖示的無源網(wǎng)絡(luò)解

60、：為了改善系統(tǒng)的性能，常引入圖示的無源網(wǎng)絡(luò)作為校正元件。無源網(wǎng)絡(luò)通常由電阻、電容、電感作為校正元件。無源網(wǎng)絡(luò)通常由電阻、電容、電感組成，利用電路實際可方便地求出其動態(tài)方程，對組成，利用電路實際可方便地求出其動態(tài)方程，對其進展拉氏變換即可求出傳送函數(shù)。這里用直接求其進展拉氏變換即可求出傳送函數(shù)。這里用直接求的方法。由于電阻、電容、電感的復阻抗分別為的方法。由于電阻、電容、電感的復阻抗分別為R、1Cs、Ls，它們的串并聯(lián)運算關(guān)系類同電阻。，它們的串并聯(lián)運算關(guān)系類同電阻。那么傳送函數(shù)為那么傳送函數(shù)為2( )1/1( )1/1oiUssCU sLsRsCLCsRCs( )1/( )iU sLsRsCI